2025-2026学年新疆昌吉州昌吉市高一下册期中质量监测数学试题 含答案

/数学满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，若（为虚数单位）是纯虚数，则（）A. B. C.1 D.22.已知平行四边形中，是的中点，则（）A. B. C. D.3.下面关于平面向量的描述正确的有（）A.共线向量是在一条直线上的向量B.起点不同但方向相同且模相等的向量是相等向量C.若，则D.若向量与向量同向，且，则4.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形ABCD的面积是（）A. B. C.8 D.165.已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形6.所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（）A. B. C. D.7.中国历史文化名楼之一的越王楼，位于四川省绵阳市游仙区涪江畔，更因历代诗人登楼作诗而流芳后世.如图，某同学为测量越王楼的高度，在越王楼的正东方向找到一座建筑物，高约为49m，在地面上点处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，越王楼顶部的仰角分别为和，在A处测得楼顶部的仰角为，则越王楼的高度约为（）A.69m B.95m C.98m D.99m8.点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（）A.重心、外心、内心、垂心 B.外心、重心、内心、垂心C.重心、垂心、外心、内心 D.外心、重心、垂心、内心二、多选题（每题6分，共18分）9.已知复数（i为虚数单位），则（）A.z的虚部为 B.z的共轭复数为C. D.10.设、、是任意的非零向量，且相互不共线，下列命题中不正确的是（）A.若，则 B.C.若，则 D.不与垂直11.在锐角中，角的对边分别为，且满足，，则下列说法正确的有（）A.外接圆面积是 B.面积的最大值是C.周长的取值可以是 D.内切圆半径的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数，，则在复平面内对应的点位于第__________象限．13.已知，，则在上的投影向量为__________.14.《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵中，且有鳖臑C1-ABB1和鳖臑，现将鳖臑沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，与鳖臑拼接成的几何体的外接球的表面积是______.四、解答题（共77分，其中第15小题13分，第16小题15分，第17小题15分，第18小题17分，第19小题17分）15.已知向量满足，且．（1）求与的夹角；（2）求．16.在中，内角所对的边分别为，，，已知已知.（1）求角的大小；（2）若，，求的值；（3）若，判断的形状．17.已知圆锥的底面圆半径为2，体积为，两条母线的夹角为（1）求圆锥的侧面积；（2）求三棱锥的体积；（3）求三棱锥的高．18.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.（1）求A；（2）若，则的面积为，求b，c；（3）若，求周长的取值范围；（4）若改成锐角，，求周长的取值范围.19.已知向量，，，.（1）若，求的值；（2）若与的夹角为锐角，求的取值范围；（3）若，求的最大值及对应的.

数学满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，若（为虚数单位）是纯虚数，则（）A. B. C.1 D.2答案：D解析：思路：根据纯虚数的概念列方程求解可得.解答过程：因为（为虚数单位）是纯虚数，所以，解得.故选：D2.已知平行四边形中，是的中点，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：直接根据向量基本定理分解向量即可.解答过程：.故选：A.3.下面关于平面向量的描述正确的有（）A.共线向量是在一条直线上的向量B.起点不同但方向相同且模相等的向量是相等向量C.若，则D.若向量与向量同向，且，则答案：B解析：思路：根据共线向量及相等向量定义可判断A、B；根据零向量与任何向量都平行，即可判断C；根据向量不能比较大小，可判断D.解答过程：解：共线向量是向量所在直线平行或共线，故选项A错误；方向相同，且模相等的向量是相等向量，故选项B正确；若，而不共线，仍有，故选项C错误；向量不能比较大小，故选项D错误.故选：B4.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形ABCD的面积是（）A. B. C.8 D.16答案：A解析：思路：根据斜二测画法的规则，由直观图的特征推出原平面图形的形状及相关边长，再利用梯形面积公式计算原平面图形的面积．解答过程：在直观图中作，垂足分别为E，F，则，所以，由斜二测画法可知原平面图形如下：将原平面图形上底，下底，高代入公式，可得四边形ABCD的面积．5.已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形答案：D解析：思路：由正弦定理和得到，，求出，得到答案.解答过程：，即，故，，因为，所以，故，因为，所以，故为等腰直角三角形.故选：D6.所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用小三棱锥和大三棱锥的比例求解即可.解答过程：如图，根据题意可得所得棱台为正三棱台，该棱台的高等于大正三棱锥的高的.设大正三棱锥的高为DH，则：因为大正三棱锥的高为:，所以该棱台的高为.故选：A7.中国历史文化名楼之一的越王楼，位于四川省绵阳市游仙区涪江畔，更因历代诗人登楼作诗而流芳后世.如图，某同学为测量越王楼的高度，在越王楼的正东方向找到一座建筑物，高约为49m，在地面上点处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，越王楼顶部的仰角分别为和，在A处测得楼顶部的仰角为，则越王楼的高度约为（）A.69m B.95m C.98m D.99m答案：C解析：思路：求出AC，，在△ACM中，由正弦定理求出m，从而得到MN的长度.解答过程：在中，（m），在中，可知，由正弦定理：，可得（m），在中，（m），所以越王楼的高度约为98m.故选：C.8.点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（）A.重心、外心、内心、垂心 B.外心、重心、内心、垂心C.重心、垂心、外心、内心 D.外心、重心、垂心、内心答案：D解析：思路：根据模长相等可判断为的外心，利用重心性质以及向量共线定理可判断为重心；由垂直关系的向量表示可得点为垂心；再结合角平分线性质可判断点为内心.解答过程：由可知，点到三点的距离相等，可知为的外接圆圆心，即为的外心，取的中点为，如下图所示：易知，又，可知；即在中线上靠近的三等分点，同理可得为三条中线的交点，即为重心；由可得，即，可得，同理可得，所以点为三条高的交点，因此点为垂心；易知为沿方向上的单位向量，即；令，所以，且为等腰三角形，，如下图：由可得，即,此时为角的平分线，同理由可得为角的平分线，因此可知为三条角平分线的交点，因此点为内心.故选：D二、多选题（每题6分，共18分）9.已知复数（i为虚数单位），则（）A.z的虚部为 B.z的共轭复数为C. D.答案：AC解析：思路：根据复数的除法运算公式，化简复数，判断选项.解答过程：由，故z的虚部为，，，，A、C对，B、D错.10.设、、是任意的非零向量，且相互不共线，下列命题中不正确的是（）A.若，则 B.C.若，则 D.不与垂直答案：ABD解析：思路：选项A：根据数量积运算律及平面向量垂直的判定即可判断；选项B：根据向量的数量积即可判断；选项C：通过计算，及平面向量垂直的判定即可判断；选项D：根据平面向量垂直的判定即可判断．解答过程：因为、、是任意的非零向量，且相互不共线，选项A：由，则，由不共线，可得，得，故A错误；选项B：设和的夹角为，则，则a⋅b2=a选项C：由3a+2b=3选项D：由b⋅所以与垂直，故D错误．11.在锐角中，角的对边分别为，且满足，，则下列说法正确的有（）A.外接圆面积是 B.面积的最大值是C.周长的取值可以是 D.内切圆半径的取值范围是答案：ABD解析：思路：根据，结合正弦定理，可求，结合，可求角.根据三角形外接圆半径满足，可判断A的真假；结合余弦定理和基本（均值）不等式，可判断B的真假；利用为锐角三角形，求出角的取值范围，利用正弦定理表示出，可求周长的取值范围，判断C的真假；根据BC的结论，结合三角形的面积、三角形周长、三角形内切圆半径之间的关系，判断D的真假.解答过程：由，结合正弦定理，可得：.因为在锐角三角形中，，所以.由，又为锐角，所以.对A：设的外接圆半径为，由，所以，所以外接圆面积为.故A正确.对B：由余弦定理（当且仅当时取“”）.所以.故B正确；对C：因为为锐角三角形，所以，，，所以.由正弦定理：，所以，，所以，因为，所以，所以，所以周长的取值范围为.因为，故C错误；对D：设内切圆半径为，则.又，，，所以，由，所以.故D正确.故选：ABD方法提示：思路点睛：（1）涉及三角形周长或面积的取值范围，可将问题转化为利用基本（均值）不等式求最值或转化为三角函数求值域的问题解决.（2）本题的关键是三角形式锐角三角形，由此确定三角形角的取值范围，是该题的一个关键点.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数，，则在复平面内对应的点位于第__________象限．答案：二解析：思路：利用复数的减法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论.解答过程：因为复数，，则，因此，在复平面内对应的点的坐标为，即在复平面内对应的点位于第而象限.故二.13.已知，，则在上的投影向量为__________.答案：解析：思路：根据投影向量公式直接求解即可.解答过程：因为向量，，所以，在上的投影向量为|a|cos14.《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵中，且有鳖臑C1-ABB1和鳖臑，现将鳖臑沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，与鳖臑拼接成的几何体的外接球的表面积是______.答案：解析：思路：当沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，A点翻折到E点，关于对称，所拼成的几何体为三棱锥，根据外接球的性质及三棱锥性质确定球心，利用勾股定理求出半径即可求解.解答过程：当沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，A点翻折到E点，关于对称，所拼成的几何体为三棱锥,如图，由可得,,即为正三角形，所以外接圆圆心为三角形中心，设三棱锥外接球球心为，连接，则平面，连接,,在中作,垂足为，如图，因为,,所以是的中点，由矩形可知,因为为三角形的中心，所以在中，,所以,故方法提示：本题主要考查了几何体的翻折问题，三棱锥的外接球，球的表面积公式，考查了空间想象力，属于难题.四、解答题（共77分，其中第15小题13分，第16小题15分，第17小题15分，第18小题17分，第19小题17分）15.已知向量满足，且．（1）求与的夹角；（2）求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据数量积的定义和运算律即可求解夹角.（2）根据模长公式即可求解.（1）由，得，因为，所以．（2）由题意得16.在中，内角所对的边分别为，，，已知已知.（1）求角的大小；（2）若，，求的值；（3）若，判断的形状．答案：（1）；（2）；（3）正三角形．解析：思路：（1）利用余弦定理求出的大小作答.（2）代入给定等式计算作答.（3）根据已知条件可得，再结合（1）确定三角形的形状作答.（1）在中，由及余弦定理得，而，所以.（2）由，及，得，所以.（3）由及，得，则，由（1）知，所以为正三角形.17.已知圆锥的底面圆半径为2，体积为，两条母线的夹角为（1）求圆锥的侧面积；（2）求三棱锥的体积；（3）求三棱锥的高．答案：（1）；（2）；（3）.解析：思路：（1）利用圆锥的体积公式求出圆锥的高，进而求出母线长及圆锥的侧面积.（2）由（1）中信息求出三棱锥的体积.（3）由（2），结合等体积法求出高.（1）由圆锥的底面圆半径为2，体积为，得，解得，圆锥的母线，所以圆锥的侧面积为.（2）由（1）知，由母线的夹角为，得为正三角形，则，等腰底边上的高，的面积，所以三棱锥的体积.（3）设三棱锥的高为，由（2）知，由，得，即，解得.所以三棱锥的高为.18.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.（1）求A；（2）若，则的面积为，求b，c；（3）若，求周长的取值范围；（4）若改成锐角，，求周长的取值范围.答案：（1）（2），（3）（4）解析：思路：（1）利用正弦定理将边转化为角，根据三角形的内角和为，以及两角和的正弦公式展开，整理后得到关于角的三角函数方程，进而求角；（2）先