2025-2026学年四川省宜宾市南溪第一中学校高三下册适应性训练试题（一）数学试题 含答案

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设A，B为两个事件，且，若，，则（）A. B. C. D.2.若实数且，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.3.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知正方形的边长为，点在线段上，则的最大值为（）A. B. C. D.5.“”是“为幂函数”的（）A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知数列，则数列的前9项和为（）A.3 B.6 C.2 D.47.已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为抛物线的焦点，则的最小值为（）A.8 B.7 C.6 D.58.设的内角的对边分别为，的面积为，，则（）A.20 B.16 C.12 D.8二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9.已知数列的通项公式为，则下列结论正确的是（）A.B.数列是等差数列，且公差C.对于任意的正整数，均有成立D.存在唯一的正整数，使数列的前项和取得最小值10.已知函数，则下列四个命题正确的是（）A.函数在上是增函数B.函数的图像关于中心对称C.的图象上任一点处的切线的斜率一定不小于D.函数的导函数不存在极小值11.在四棱锥中，底面，且，底面是边长为2的菱形，设，则下列说法正确的是（）．A.当增大时，四棱锥的体积逐渐增大B.若，则三棱锥的体积为C.若四棱锥有外接球，则其外接球的表面积为D.若，则三棱锥的内切球半径为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆E于A，B两点．若，轴，则椭圆E的方程为________．13.在中，已知，则的形状为________．14.已知随机变量，且，则函数的最小值为__________．四、解答题（本大题共5小题，共77分）15.在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点.（1）求椭圆的离心率；（2）直线：与椭圆交于不同的两点.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）若，求的值.16.小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车．根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8；若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4．假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足．（1）求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率；（2）已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率；（3）设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为X，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量X的分布，并计算其数学期望和方差．17.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围；（3）当时，直线与曲线有三个交点，设的取值集合为，求的取值范围.18.已知数列满足，．（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列的前n项和；（3）若将数列中满足的项，（）称为数列中的相同项，将数列的前20项中所有的相同项都剔除，求数列的前20项中余下项的和．19.如图，在三棱锥中，平面ABC，．（1）求证：平面平面PBC；（2）设，，点M，A，B、C均在球O的球面上．（ⅰ）当时，求球O的表面积；（ⅱ）设球O的球面与直线PA交于点G（异于点A）．求直线BG与平面PBC所成角最大时的值．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设A，B为两个事件，且，若，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由条件概率公式即可求解.解答过程：由.故选：A．2.若实数且，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：对A，当时，满足题意，但不成立，故A错；对B，当时，满足题意，但不成立，故B错；对C，根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘以同一个负数，不等号的方向会发生改变，因为，所以，故C对；对D，等价于，取，满足题意，但，不成立，故D错.3.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：思路：先化简可得，再利用复数除法运算法则求出，结合复数的几何意义即可判断．解答过程：解：，，则在复平面内对应的点为，位于第一象限．4.已知正方形的边长为，点在线段上，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：建立平面直角坐标系，根据共线定理表示点的坐标，代入表达式根据二次函数求最值.解答过程：已知正方形，以建立平面直角坐标系，，，，，设，点在线段上，，则，，，时，的最大值为.5.“”是“为幂函数”的（）A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：由幂函数的定义求出的值，再由充分必要条件判断即可.解答过程：因为为幂函数，所以，解得：或,所以“”是“为幂函数”的充分且不必要条件.6.已知数列，则数列的前9项和为（）A.3 B.6 C.2 D.4答案：A解析：思路：裂项可得，再分组求和即可得.解答过程：，则、.7.已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为抛物线的焦点，则的最小值为（）A.8 B.7 C.6 D.5答案：D解析：思路：画出图形，利用抛物线的定义以及性质，转化求解最小值．解答过程：由题可知，抛物线焦点，准线方程为，圆心，半径为1，过点作直线，垂足为，如图所示，由抛物线定义可知，，所以，当点在同一直线时，可取到最小值，因为点到直线的距离为6，所以，即的最小值为5．8.设的内角的对边分别为，的面积为，，则（）A.20 B.16 C.12 D.8答案：B解析：思路：先对已知等式两边平方化简,结合三角形内角关系,用三角恒等变换推导出,再结合正弦定理与三角形面积公式求出外接圆半径,最后代入公式算出的值.解答过程：由得，.整理得，所以.整理得.所以.所以，即.所以则，设外接圆的半径为.由正弦定理得，.所以.解得,即.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9.已知数列的通项公式为，则下列结论正确的是（）A.B.数列是等差数列，且公差C.对于任意的正整数，均有成立D.存在唯一的正整数，使数列的前项和取得最小值答案：AB解析：思路：先判断数列类型及公差，由等差数列的前项和公式可以判断选项A，利用等差中项性质可以验证选项C，通过二次函数性质分析前项和最小值情况判断选项D.解答过程：因为，所以为常数，又，故数列是以为首项，3为公差的等差数列，所以选项B正确；由等差中项的性质故C错误；又，所以，所以选项A正确；对于选项D，因为，令，二次函数的对称轴为.由二次函数的对称性知，当或时，取到最小值，所以选项D错误．故选：AB.10.已知函数，则下列四个命题正确的是（）A.函数在上是增函数B.函数的图像关于中心对称C.的图象上任一点处的切线的斜率一定不小于D.函数的导函数不存在极小值答案：ABC解析：思路：对于A，对函数求导，结合函数单调性求解，对于B，判断是否成立即可，对于C、D，化简，分析最小值情况即可.解答过程：因为，所以函数的定义域为．因为，，所以时，恒成立，所以在为增函数，故A正确；因为，，故，即的图象关于点对称，故B正确；因为，，当时，为的最小值，所以的图象上任一点处的切线的斜率一定不小于，故C正确；有最小值，且不在端点处，则必有极小值.故D错误.11.在四棱锥中，底面，且，底面是边长为2的菱形，设，则下列说法正确的是（）．A.当增大时，四棱锥的体积逐渐增大B.若，则三棱锥的体积为C.若四棱锥有外接球，则其外接球的表面积为D.若，则三棱锥的内切球半径为答案：BCD解析：思路：对A，表示出四棱锥的体积，结合正弦函数的性质判断；对B，由结合选项A求解判断；对C，由题可得，将该四棱锥补形成长方体，则四棱锥的外接球即长方体的外接球，运算得解；对D，由分割体积，运算得解.解答过程：对于A，由题可知，，当增大时，的值先增大后减小，所以四棱锥的体积先增大后减小，故A错误；对于B，当时，，故B正确；对于C，若四棱锥有外接球，即菱形有外接圆，则，将该四棱锥补形成长方体，则四棱锥的外接球即长方体的外接球，可得其外接球的半径，所以其外接球的表面积为，故C正确；对于D，若，设三棱锥的内切球半径为，则，所以，解得，故D正确.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆E于A，B两点．若，轴，则椭圆E的方程为________．答案：解析：思路：根据轴，可求得A点坐标，又，得，则可求得B点坐标，代入椭圆方程，即可求得，即可得答案.解答过程：设，因为轴，所以，代入椭圆方程得，设，因为，得，所以，解得，即，又B在椭圆上，将代入椭圆方程得：，又，解得，所以椭圆方程为：故.方法提示：本题考查椭圆的几何性质，将，转化为，可简化计算，考查分析理解，求值计算的能力，属基础题.13.在中，已知，则的形状为________．答案：直角三角形或等腰三角形解析：思路：利用余弦定理、正弦定理角化边化简给定等式即可.解答过程：在中，，由正弦定理和余弦定理得，整理得，则或，所以是直角三角形或等腰三角形.14.已知随机变量，且，则函数的最小值为__________．答案：解析：思路：利用正态分布的对称性求出，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.解答过程：由随机变量，且，得，解得，当时，，当且仅当，即时取等号，所以所求最小值为.故四、解答题（本大题共5小题，共77分）15.在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点.（1）求椭圆的离心率；（2）直线：与椭圆交于不同的两点.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）若，求的值.答案：（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）解析：思路：（1）由条件确定，再由椭圆的定义求得，即可求解；（2）设，，（ⅰ）联立直线与椭圆的方程，由判别式大于0即可求解；（ⅱ）由，借助于韦达定理代入计算即得.（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为.依题意可得，又，所以，则.故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率（2）（ⅰ）设，.联立，整理得.由，解得或.即的取值范围为.（ⅱ）由（ⅰ）可得，，，（*）则.因为，所以，则得，将（*）代入，可得.解得，满足.所以的值为.16.小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车．根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8；若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4．假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足．（1）求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率；（2）已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率；（3）设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为X，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量X的分布，并计算其数学期望和方差．答案：（1）0.7（2）（3）；；解析：思路：（1）设相应事件，根据题意结合全概率公式运算求解；（2）根据题意结合贝叶斯公式运算求解；（3）分析可知，结合二项分布求分布列、期望和方差.（1）设“小明上学出发时下雨”为事件A，“小明选择骑共享单车去学校”为事件B．由题意可知：，，，，由全概率公式可得，所以小明在本周某天选择骑共享单车去学校的概率为0.7．（2）由题意可知：，所以小明出发时不下雨的概率为．（3）由题意可知：，则，；；；可知X的分布列为，所以X的数学期望，方差．17.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围；（3）当时，直线与曲线有三个交点，设的取值集合为，求的取值范围.答案：（1）（2）（3）.解析：思路：（1）先求出函数在处的函数值与导数值，再利用点斜式写出切线方程；（2）先对因式分解，分析的零点个数与的关系，再通过分类讨论不同下的单调性与极值点情况，确定的取值范围；（3）先求出的表达式，构造差函数，再通过求导分析的单调性与端点极限，从而确定的取值范围.（1），所以，又，所以，所以切线方程为，即.（2）当或时，只有一个零点，不可能有两个极值点；当时，令，得或，当时，与的变化情况如下表：0+0-0+极大值极小值当时，与的变化情况如下表：0+0-0+极大值极小值综上：的取值范围为.（3）由（2）可得，，令，，令，则在恒成立，所以在单调递增，即在单调递增，，单调递减，又时，，时，.所以的取值范围为.18.已知数列满足，．（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列的前n项和；（3）若将数列中满足的项，（）称为数列中的相同项，将数列的前20项中所有的相同项都剔除，求数列的前20项中余下项的和．答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）利用等差数列的定义证明；（2）数列中奇数项与偶数项分别构成等差数列，根据等差数列前项和公式计算求解；（3）结合（2）利用通项列举出两个数列相同的项，即可计算求解数列的前20项中余下项的和.（1）数列满足，，设，则，有，所以，所以数列是首项为3，公差为3的等差数列，即数列为等差数列；（2）由（1）可知，，设，同理可证数列是首项为12，公差为9的等差数列，即，当时，前项包含个奇数项和个偶数项；所以，将代入可得，当时，，将代入可得，所以；