2025-2026学年浙江杭州市S9联盟高一下册期中联考数学试题 含答案

/数学满分150分，考试时间120分钟；一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一项是符合要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.已知点与点，则（）A. B. C. D.53.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则（）A.1∶4∶9 B.1∶2∶3 C. D.4.函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.5.已知一个正方体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（）A. B.2 C. D.6.如图，是水平放置的的直观图，其中，，则的周长是（）A.12 B.24 C. D.7.已知定义域为的偶函数满足，且当时，，则（）A.2 B. C. D.08.在△ABC所在平面内有一点P，满足，则△PAB与△ABC的面积之比是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.关于复数z与其共轭复数，模，下列说法正确的是（）A. B.C. D.若，则的最大值是310.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，以下判断正确的是（）A.B.若，则C.若，，，则符合条件的△ABC有两个D.若△ABC为锐角三角形，则11.如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，，则下列结论正确的是（）A.圆锥SO的侧面积为B.圆锥SO截面△SAB面积取值范围为C.三棱锥S-ABC体积的最大值为1D.若，E为线段AB上的动点，则的最小值为三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数满足，则复数的虚部为__________.13.已知，，向量，，且，则的最小值为__________.14.若函数在上恰好存在个不同的满足，则的取值范围是__________.四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图所示，在长方体中，，.（1）求此长方体的表面积与体积；（2）求图中棱锥的体积与长方体的体积之比.16.已知向量，，．（1）当时，求k的值；（2）当时，求k的值；（3）若向量且，求实数x，k的值．17.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.（1）若，试判断三角形形状，并说明理由；（2）若，，，求△ABC的面积；（3）若，，，求.18.已知函数.（1）求的最小正周期及的单调递增区间；（2）求在区间上的最大值和最小值，以及取最值时x的值；（3）已知，，求的值.19.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且，求边长a的值；（3）若，求△ABC的周长取值范围.数学满分150分，考试时间120分钟；一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一项是符合要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：集合，，则.2.已知点与点，则（）A. B. C. D.5答案：C解析：解答过程：因为，，所以，所以.3.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则（）A.1∶4∶9 B.1∶2∶3 C. D.答案：D解析：解答过程：因为，所以，，，所以4.函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理，即可判断出零点所在的区间.解答过程：因为函数与在上均是单调增函数，所以函数是上的单调增函数，因为，，又函数的图象连续不间断，所以函数的零点所在的区间为.故选：A方法提示：本题主要考查函数零点存在性定理的应用，属于基础题.5.已知一个正方体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（）A. B.2 C. D.答案：C解析：解答过程：设正方体的棱长为，外接球的半径为，因为正方体的体对角线等于外接球的直径，即，得，球的体积公式为，代入可得：，解得，所以.6.如图，是水平放置的的直观图，其中，，则的周长是（）A.12 B.24 C. D.答案：C解析：思路：由直观图得到原图的形状和边长求和即可.解答过程：由直观图得到原图是一个直角三角形，且，，，所以，所以的周长为.7.已知定义域为的偶函数满足，且当时，，则（）A.2 B. C. D.0答案：A解析：解答过程：由题意知周期，所以又因为为偶函数，所以.8.在△ABC所在平面内有一点P，满足，则△PAB与△ABC的面积之比是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：∵，∴，∴，设AC中点为D，如图所示，所以，，因为、、、四点不共线，连接，∴四边形为平行四边形，所以∴.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.关于复数z与其共轭复数，模，下列说法正确的是（）A. B.C. D.若，则的最大值是3答案：ABD解析：思路：根据共轭复数的定义及复数运算判断AB，根据复数的乘法运算判断C，根据复数的几何意义结合圆上的点到定点的距离判断D.解答过程：设，，则.对于A：，A正确.对于B：，B正确.对于C：，，所以不一定成立，C错误.对于D：表示复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆.表示圆上的点到原点的距离，圆心到原点的距离为1，所以的最大值为，D正确.10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，以下判断正确的是（）A.B.若，则C.若，，，则符合条件的△ABC有两个D.若△ABC为锐角三角形，则答案：BCD解析：解答过程：对于A，由诱导公式知，错误；对于B，由和正弦定理可得，由大边对大角可知，正确；对于C，若，，，则，即，所以符合条件的△ABC有两个，正确；对于D，∵，∴，∴，正确.11.如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，，则下列结论正确的是（）A.圆锥SO的侧面积为B.圆锥SO截面△SAB面积取值范围为C.三棱锥S-ABC体积的最大值为1D.若，E为线段AB上的动点，则的最小值为答案：AC解析：思路：利用条件求出圆锥的母线长和底面半径，对于A，根据圆锥侧面积公式求结论即可判断，对于B，先求，确定范围，再求△SAB面积的范围，对于C，先求的面积最大值，结合体积公式求体积最大值即可，对于D，将以为轴旋转到与共面的位置，结合平面几何知识求结论即可判断.解答过程：在中，，则圆锥的母线长，半径，对于A，圆锥SO的侧面积为：，A正确；对于B，因为轴截面的顶角为，故时，所以面积最大为2，B错误对于C，当时，△ABC的面积最大，此时，则三棱锥S-ABC体积的最大值为：，C正确；对于D，由，，得，，有△SAB为等腰三角形，将△SAB以AB为轴旋转到与△ABC共面的位置，得到为等腰三角形，，，，于是，，所以最小为，D错误．三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数满足，则复数的虚部为__________.答案：解析：思路：利用复数的乘法化简复数，结合复数的概念可得结果.解答过程：由题意可得，故复数的虚部为.13.已知，，向量，，且，则的最小值为__________.答案：解析：解答过程：∵∴∴，当且仅当，即时取等号，又因为，所以，时，有最小值，为.14.若函数在上恰好存在个不同的满足，则的取值范围是__________.答案：解析：思路：由可求得的取值范围，根据题意得出关于的不等式，解之即可.解答过程：因为，当时，所以，由可得，函数在区间上从大到小第二个最小值点为，第三个最小值点为，因为函数在上恰好存在个不同的满足，所以，解得，即正实数的取值范围是.四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图所示，在长方体中，，.（1）求此长方体的表面积与体积；（2）求图中棱锥的体积与长方体的体积之比.答案：（1）表面积，体积（2）解析：（1）表面积体积（2）∴.16.已知向量，，．（1）当时，求k的值；（2）当时，求k的值；（3）若向量且，求实数x，k的值．答案：（1）（2）（3）解析：（1）由，可得，解得．（2）因为，所以，解得．（3）因为，所以，解得．17.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.（1）若，试判断三角形形状，并说明理由；（2）若，，，求△ABC的面积；（3）若，，，求.答案：（1）等腰三角形，理由见解析（2）（3）解析：思路：（1）将已知等式利用正弦定理进行边化角，利用两角差的正弦公式求角.（2）利用余弦定理和三角形面积求角.（3）利用二倍角的余弦公式、余弦函数的图像和性质、正弦定理、两角和的正弦公式求解.（1）由得，∴，∴，∴，△ABC为等腰三角形.（2）因为，，，由余弦定理可得，因为，所以，故△ABC的面积为.（3）因为，所以，由可知A为锐角，即，又因为且余弦函数在上单调递减，由正弦定理得，即，所以，故，所以，由正弦定理得.18.已知函数.（1）求的最小正周期及的单调递增区间；（2）求在区间上的最大值和最小值，以及取最值时x的值；（3）已知，，求的值.答案：（1）；单调递增区间为，（2）时有最大值2；时有最小值（3）1解析：思路：（1）利用最小正周期公式求解，利用正弦函数的图像和单调性的性质求解.（2）利用正弦函数的图像和性质求解.（3）将转化为，利用两角差的余弦公式求解.（1）；令，，得，，故的单调递增区间为，；（2），，，，，，的最大值为2，此时，解得，有最小值为，此时，解得，综上可知，时的最大值为2；时有最小值.（3），∵，∴，∵，∴，∴.19.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且，求边长