《数列基础》课件

5.1数列基础第5章数

列选修三

1.理解数列的概念,了解数列的几种分类.2.理解数列通项公式的概念及意义.3.了解数列与函数的关系.4.能够利用通项公式求数列的项,能够根据数列的已知项,求数列的通

项公式.5.逐步体会递推公式是数列的一种表示方法.6.理解递推公式的概念及含义,能够根据递推公式写出数列的前几项.7.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法.8.理解数列的前n项和,会根据数列的前n项和Sn求通项an.知识梳理（1）定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.（2）项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个

数列的第1项,常用符号a1表示;第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2

表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫

做首项.（3）表示:数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}.（4）组成数列的数的个数称为数列的项数.（5）一般地，项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列.（4）有穷数列的最后一项一般也称为末项.1.数列知识梳理注意：①数列是按一定的“顺序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性.

数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,

例如1,2,3,…与3,2,1…就是不同的数列.②符号{an}和an是不同的概念,{an}表示一个数列,而an表示数列中的第n项.知识梳理（1）因为数列从首项起，每一项都与正整数对应，所以数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,

其中an表示数列的第n项(也称n为an的序号，其中n为正整数，即n∈N+),称为

数列的通项，此时，一般将整个数列简记为｛an｝,这里的小写字母a也可以

换成其他小写英文字母.（2）一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an=f(n)

来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式

为这个数列的一个通项公式.

显然，根据数列的通项公式，能够写出这个数列的任意一项.2.数列的通项知识梳理知识梳理知识梳理（1）数列｛an｝总可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就

是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式

也就是相应函数的解析式，这也就提示我们，数列也可以用平面直角坐

标系中的点来直观地表示.（2）我们可以用类似函数性质的术语来描述数列.

从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列称为递增数列；

从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列称为递减数列；

各项都相等的数列称为常数数列(简称为常数列)3.数列与函数的关系知识梳理知识梳理（1）如果一个数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则

称这个公式为数列的递推关系

（也称为递推公式或递归公式）．4.数列的递推关系同步练习知识梳理同步练习知识梳理同步练习知识梳理5.数列的前n项和（1）一般地，给定数列｛an｝，称Sn=a1+a2+a3+…+an

为数列｛an｝的前n项和．（2）一般地,如果数列{an}的前n项和为Sn,那么当n≥2,有Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1,Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an,

所以

Sn=Sn-1+an.

因此同步练习同步练习同步练习同步练习同步练习同步练习答案：a1=2,a2=4,a3=8解析：数列的项从第1项开始依次排列。根据题目给出的数列2，

4,8,16...,第1项a1对应数值2，第2项a2对应数值4，

第3项a3对应数值8，根据数列排列顺序直接对应:

a1=2，a2=4，a3=8.同步练习同步练习答案：（1）an=n+1;(2)an=-3n.同步练习答案:递增数列解析：因为an=2n-3,所以an+1=2(n+1)-3=2n-1,因为an+1-an=(2n-1)-(2n-3)=2>0,所以数列{an}是递增数列.同步练习同步练习同步练习同步练习同步练习同步练习同步练习同步练习同步练习同步练习同步练习同步练习同步练习同步练习同步练习同步练习同步练习同步练习同步练习同步练习同步练习同步练习感受高考12345678910111213141516A级必备知识基础练1718192021B123456789101112131415161718192021D123456789101112131415161718192021A.70 B.28

C.20

D.8C1234567891011121314151617181920214.[探究点三]数列2,-5,8,-11,…,(-1)n-1(3n-1),…的第2n项为(

)A.6n-1 B.-6n+1 C.6n+2 D.-6n-2B解析

由数列可知奇数项为正数,偶数项为负数,即可表示为(-1)n-1,又首项为2,故数列的通项公式为an=(-1)n-1(3n-1),所以第2n项为a2n=(-1)2n-1(6n-1)=-(6n-1)=-6n+1.1234567891011121314151617181920215.[探究点二·2023陕西西安检测]数列-2,4,-6,8,…的通项公式可能为(

)A.an=(-1)n+12n B.an=(-1)n2nC.an=(-1)n+12n

D.an=(-1)n2nB解析

数列-2,4,-6,8,…的奇数项为负,偶数项为正,且均为2的倍数,故an=(-1)n2n.故选B.123456789101112131415161718192021AB1234567891011121314151617181920217.[探究点一](多选题)下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是(

)CD解析

选项C,D既是无穷数列又是递增数列.1234567891011121314151617181920218.[探究点四(角度2)]已知数列{an}的通项公式为an=2021-3n,则使an>0成立的正整数n的最大值为

.

673又因为n∈N*,所以正整数n的最大值为673.1234567891011121314151617181920219.[探究点三]已知数列{an}的通项公式,写出这个数列的前5项,并作出它的图象:(1)an=2;123456789101112131415161718192021解

列表法给出这两个数列的前5项:n12345an22222bn1-43-165它们的图象分别为

12345678910111213141516171819202110.[探究点二]写出以下各数列的一个通项公式.(2)an=11-n;(3)an=n2+1;12345678910111213141516171819202111.[探究点三]已知数列{an},an=n2-pn+q,且a1=0,a2=-4.(1)求a5.(2)150是不是该数列中的项?若是,是第几项?(2)令an=n2-7n+6=150,解得n=16(n=-9舍去),所以150是该数列中的项,并且是第16项.B级关键能力提升练123456789101112131415161718192021C12345678910111213141516171819202113.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+25n,则数列{an}的各项中最大项是(

)A.第4项 B.第5项 C.第6项

D.第7项C12345678910111213141516171819202114.(多选题)已知数列{an}的前4项依次为2,0,2,0,则数列{an}的通项公式可以是(

)ABC123456789101112131415161718192021∴a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,故A正确;∵an=1+(-1)n+1,∴a1=1+(-1)2=2,a2=1+(-1)3=0,a3=1+(-1)4=2,a4=1+(-1)5=0,故B正确;故选ABC.123456789101112131415161718192021A12345678910111213141516171819202116.已知数列{an}的通项公式为an=,若数列{an}为递减数列,则实数k的取值范围为

.

(0,+∞)12345678910111213141516171819202117.函数f(x)=x2-2x+n(n∈N*)的最小值记为an,设bn=f(an),则数列{an},{bn}的通项公式分别是an=

,bn=

.

n-1n2-3n+3

解析

当x=1时,f(x)min=f(1)=1-2+n=n-1,即an=n-1;将x=n-1代入f(x)得,bn=f(n-1)=(n-1)2-2(n-1)+n=n2-3n+3.123456789101112131415161718192021(1)0和1是不是数列{an}中的项?如果是,那么是第几项?(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项?解

(1)令an=0,得n2-21n=0,∴n=21或n=0(舍去),∴0是数列{an}中的第21项.令an=1,得

=1,而该方程无正整数解,∴1不是数列{an}中的项.(2)假设存在连续且相等的两项是an,an+1,则有an=an+1,解得n=10,∴存在连续且相等的两项,它们分别是第10项和第11项.C级学科素养创新练12345678910111213141516171819202119.1766年,德国有一位名叫提丢斯的数学老师,把数列0,3,6,12,24,48,96,