浙江省宁波市2025-2026学年高二下学期6月期末考试 数学 含解析

浙江宁波市2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试题一、单选题1．复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．若集合，，则（

）A． B． C． D．3．已知，，则“”是“且”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．从，，，，这五个数中随机取两个数，则其中一个是另一个两倍的概率为（

）A． B． C． D．5．平面向量，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．6．若，则的值为（

）A． B． C． D．7．某生物种群数量与时间之间的关系可以由函数刻画，其中常数表示该种群数量的初始值，常数表示该种群环境容纳量，常数表示内禀增长率，则（

）A．存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形，且B．存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形，且C．存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形，且D．不存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形8．中国茶文化源远流长，茶壶造型千姿百态．比如起源于巴蜀茶馆的长嘴壶（图1），其细长的壶嘴能隔座注水，既美观又具实用之妙．如图2，一个长嘴壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径16厘米，壶身高12厘米，壶嘴长40厘米，与壶身夹角为60度，壶嘴最低点连接壶底．若将壶身向壶嘴方向转15度时，刚好可以使壶中的水倒出，则将茶壶水平放置时壶中的水面高度为（

）

A． B． C． D．二、多选题9．设直线是三条不同的直线，平面，是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的有（

）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，，，则 D．若，，，则10．定义在上的函数满足为偶函数，且，则（

）A．函数为偶函数 B．函数为周期函数C．函数的图象关于直线对称 D．函数在内至少有个零点11．已知点分别是平面四边形边的中点，且，，，则（

）A． B．C． D．三、填空题12．函数，则______．13．，是两个相互独立的随机事件，且，，则______．14．若对任意的，函数在区间上单调递增，则正实数的取值范围是____．四、解答题15．某市名学生在某次数学竞赛中的成绩的频率分布直方图如下：(1)求频率分布直方图中的值；(2)估计这次数学竞赛成绩的中位数和平均数；（精确到0.1）(3)估计这次数学竞赛中63分以上的人数．16．在中，角，，所对的边分别为，，，满足．(1)求；(2)若，，求的面积．17．如图，在四棱锥中，，，，平面，．

(1)求证：；(2)若，且二面角的大小为，（i）求直线与平面所成角的大小；（ii）求的长．18．已知定义在上的函数．(1)若，求证：对任意成立；(2)给定函数，若满足方程，则称是的一个“不动点”．若函数在上仅有一个“不动点”，求的取值范围．19．已知函数(，)，()．(1)求证：；(2)若对任意，存在，使得，求实数的最大值；(3)记的最大值为，最小值为．解关于的不等式：．参考答案1．D解析：∵复数，∴复数z对应的点的坐标是，∴复数在复平面内对应的点位于第四象限．故选：D．2．C解析：由题可知.3．B解析：满足“”成立，“且”不成立，又因为“且”可以得出“”，所以“”是“且”的必要不充分条件.4．A解析：由题知，从五个数中随机取两个数种类为，又是的二倍，是的二倍，是的二倍，是的二倍，所以其中一个是另一个两倍的情况就四种，所以要求的概率为.5．C解析：因为，，所以，，设与的夹角为，则，所以，所以.6．C解析：，...7．A解析：由题设且，则，令，则，所以，在区间内函数的图象关于点中心对称，因此，，如，使函数在区间上的图象是中心对称图形，且，选项B、C关于大于或小于的描述均错误，选项D的“不存在”描述错误.8．B解析：设茶壶水平放置时壶中的水面高度为，将壶身向壶嘴方向转15度时水面分别与茶壶的边交于点，取的中点为，过点作于点.则，，，，因，则，在中，由正弦定理，得，即（*），又因，，，代入（*），整理得.

9．AD解析：对于A，因为，所以垂直于内的两条相交直线，又，所以垂直于内的两条相交直线，则，故A正确.对于B，若，，，则与可能相交，也可能平行，如都平行于与的交线时，也满足，，，但是与相交，故B错误.对于C，若，，，，当时，或或者与相交；当与相交时，由线面垂直的判定定理可知，故C错误.对于D，若，，则或，又，所以在平面内可找到一条直线垂直于平面，由面面垂直的判定定理可知，故D正确.10．ABD解析：因为是偶函数，所以，因为，所以，将替换为，得，结合，可得，即，A：由上推导可知，所以函数为偶函数，正确，B：由，可得，所以函数是周期为的周期函数，正确，C：由（关于轴对称）和周期为，因为，所以，而，因此，则函数图象关于点对称，不是关于直线对称，错误；D：在中，令，得，因为是偶函数，所以，代入得，解得，结合周期为，可知均为，同理，由，可知也为，在区间内，所有奇数点都是函数的零点，共有个，因此至少有个零点，正确.11．ABC解析：对于A，连接,则,所以，故A正确；对于B，由A可知，平方得，即，解得，故B正确；对于C，因为,故C正确；对于D，因为,所以,即，由已知条件无法确定一定成立，故D错误.

12．3解析：由题意可得，，所以.13．0.8/解析：，是两个相互独立的随机事件，且，，则14．解析：由题意可知，即，∴，即，∵，∴，由题意可知，即，解得，当时，取最小值，当时，取最大值，当，即时，，取，则，且，则，即正实数的取值范围是.15．(1)(2)估计中位数为77.1，平均数为76.5(3)855人解析：（1）由题意得，解得；（2）由（1）得成绩落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为，因为，所以中位数落在上，则可估计中位数为，平均数为；（3）设为63分以上的频率，为63分以上的人数，则，所以，故63分以上的人数估计为855人．16．(1)；(2)或．解析：（1）由余弦定理，得，，从而，，故，，．又，所以；（2）由余弦定理，得，，，，，解得或．当时，；当时，．综上，的面积为或．17．(1)因为平面，平面，所以，又因为，，，所以,所以,所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以.(2)（i）；（ii）解析：（1）略（2）（i）因为平面，由线面角的定义知，为直线与平面所成角的平面角．又因为，故线面所成角的大小为；（ii）因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面．过作垂线，垂足为，又，平面，所以平面．过作垂线，垂足为，则为二面角的平面角．故，因为，所以，故，所以，又，，解得．

18．(1)证明：由，得，解得，此时．因，，当且仅当时，即时取等，，故对任意成立；(2)．解析：（1）略（2）由的定义域为，得恒成立，即恒成立，又，当且仅当时等号成立，故得．设函数在上的“不动点”为，则，即，整理得，，令，则，则在上单调递减，上单调递增，又，，，依题意，要使与的图象在上仅有一个交点，需使或，又，所以或，综上，实数的取值范围是．19．(1)，．(2)(3)解