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文档简介

第二节定积分的计算第1页，共37页。（优选）第二节定积分的计算第2页，共37页。定理6.1(微积分学基本定理或原函数存在定理)如果在上连续,则是在上的一个原函数,即有证第3页，共37页。例1设求解例2设求解例3设求解和复合而成第4页，共37页。例4设求解第5页，共37页。变上限求导总结(1)上限被积函数在上限处的值(2)上限被积函数在上限处的值乘以上限的导数(3)下限变交换上下限加负号再求导(4)上下限变利用区间可加性拆开再求导第6页，共37页。例5求极限解例6求由方程所确定的隐函数的导数.解方程两边作为的函数同时求导所以第7页，共37页。二.牛顿—莱布尼兹公式定理6.2如果在上连续,是在上的一个原函数,则证因所以令则所以再令得第8页，共37页。例6求解例7求解原式第9页，共37页。例8,求设解第10页，共37页。计算解注这是错误的,因为定理要求连续.第11页，共37页。三.定积分的换元积分法第一类换元积分(凑微分)法具体做题步骤:证第12页，共37页。例9求解令解注不写出新变量时,积分限不换!第13页，共37页。第二类换元积分法具体做题步骤:证第14页，共37页。例10求解原式令则当时当时第15页，共37页。例11求解原式令则当时当时第16页，共37页。例12证明证令则当时当时故第17页，共37页。定积分等式的证明(2)作变量替换:看两端积分限或被积函数令(1)将某一端改换自变量符号(3)如果两端积分限均为:则令则令则令(4)定积分是常数及定积分与积分变量符号无关常被应用第18页，共37页。补例若是定义在内周期为的连续函数,证明证令则当时当时故第19页，共37页。例13(奇偶函数在对称区间上的积分)设在上连续,求证:(1)如果为奇函数,则(2)如果为偶函数,则证令则当时当时故命题成立.第20页，共37页。例14求解原式第21页，共37页。例15求解原式第22页，共37页。例16设在内连续,若求解令第23页，共37页。第24页，共37页。四.定积分的分部积分法定理6.4如果及在上导函数连续则证因所以则故第25页，共37页。例17求解原式第26页，共37页。例18求解原式第27页，共37页。(2003年考研真题4分)补充例题解第28页，共37页。例19求解原式故原式第29页，共37页。设与在上的导数连续,且证明:对任意有(2005年考研真题8分)补充例题证左边第30页，共37页。例20求解令则第31页，共37页。例21设连续,且已知求的值.解令则当时时故故第32页，共37页。故上式两端对求导,得即令得即第33页，共37页。例22设连续,且求的值.解令则当时时故故上式两端对求导,得第34页，共37页。上式两端对求导,得即令得即第35页

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