2025二次函数专题复习-平行四边形存在性问题两种题型赏析以及对应练习

2025二次函数专题复习—平行四边形存在性问题两种题型赏析以及对应练习在初中数学的知识体系中，二次函数无疑是一座重要的里程碑，它不仅是代数知识的集大成者，更常与几何图形相结合，形成综合性强、难度层次丰富的探究性问题。其中，平行四边形的存在性问题，因其涉及的知识点多、对学生分析问题和解决问题的能力要求高，成为近年来各地中考试题中的热门考点。这类问题往往将二次函数的图象与性质、平行四边形的判定与性质、动态几何等知识融为一体，既考察学生的直观想象能力，也考验其逻辑推理和代数运算能力。本文旨在梳理二次函数背景下平行四边形存在性问题的两种典型题型，通过实例赏析，提炼解题策略，并辅以针对性练习，希望能为同学们的专题复习提供有益的参考。一、题型一：已知三个定点，探求第四个顶点构成平行四边形（一）题型特征分析此类问题通常给出平面直角坐标系中三个定点的坐标（这三个点可能有两个在二次函数图象上，或一个，甚至三个都在，具体依题目而定），然后要求在二次函数图象上或其对称轴上、坐标轴上，或其他给定的直线上，寻找第四个点，使得这四个点构成平行四边形。问题的核心在于确定第四个点的坐标，并判断其是否符合题目的特定要求（如在指定图形或直线上）。（二）解题策略与方法提炼解决此类问题的关键在于灵活运用平行四边形的性质。在平面直角坐标系中，平行四边形的性质可以转化为点的坐标之间的关系。常用的思路有：1.利用平行四边形对边平行且相等的性质：即若A、B、C、D四点构成平行四边形，则向量AB等于向量DC，或向量AC等于向量DB等。通过坐标运算，列出方程组求解。2.利用平行四边形对角线互相平分的性质：即平行四边形两条对角线的中点重合。若已知A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、C(x₃,y₃)，设D(x,y)，则根据不同的对角线组合（AB与CD，AC与BD，AD与BC），可列出中点坐标相等的方程，从而求解D点坐标。这种方法由于考虑了不同的对角线情况，能有效避免漏解。在具体操作中，分类讨论是必不可少的环节。因为三个定点可以构成平行四边形的不同边或对角线，所以需要明确哪两个点构成一条边，哪两个点构成对角线，或者直接按照对角线的不同组合进行分类。（三）典例解析例题1：已知抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C。若点D是该抛物线上的一动点，且A、B、C、D四点构成平行四边形，求点D的坐标。分析与解答：首先，求出A、B、C三点的坐标。对于抛物线y=x²-2x-3，令y=0，解得x₁=-1，x₂=3，所以A(-1,0)，B(3,0)；令x=0，得y=-3，所以C(0,-3)。题目要求A、B、C、D四点构成平行四边形，D点在抛物线上。我们利用对角线互相平分的性质来求解。设D点坐标为(m,m²-2m-3)。情况一：以AB为对角线，AC、BC为邻边。则AB的中点也是CD的中点。AB中点坐标为((-1+3)/2,(0+0)/2)=(1,0)。CD中点坐标为((0+m)/2,(-3+(m²-2m-3))/2)=(m/2,(m²-2m-6)/2)。由中点重合得：m/2=1且(m²-2m-6)/2=0。解得m=2，代入第二个方程：(4-4-6)/2=-3≠0。矛盾，此情况不存在。情况二：以AC为对角线，AB、AD为邻边。则AC的中点也是BD的中点。AC中点坐标为((-1+0)/2,(0+(-3))/2)=(-0.5,-1.5)。BD中点坐标为((3+m)/2,(0+(m²-2m-3))/2)。由中点重合得：(3+m)/2=-0.5且(m²-2m-3)/2=-1.5。(m²-2m-3)=(-4)^2-2*(-4)-3=16+8-3=21。21/2=10.5，确实不等于-1.5。看来我刚才的情况划分可能用词不当，应该是“以AC为对角线，AB、BC为对边”？不，应该是明确哪两个点是对角线的端点。正确的分类应该是考虑哪两个点是一条对角线的两个端点，另两个点是另一条对角线的两个端点。所以，更规范的分类是：情形1：A、B为对角线的两个端点，C、D为另一对角线的两个端点。（即前面的情况一）情形2：A、C为对角线的两个端点，B、D为另一对角线的两个端点。情形3：A、D为对角线的两个端点，B、C为另一对角线的两个端点。好，重新按此分类：情形2：A、C为对角线，B、D为对角线。AC中点：(-0.5,-1.5)，BD中点：((3+m)/2,(0+y_D)/2)。所以：(3+m)/2=-0.5→m=-4。(0+y_D)/2=-1.5→y_D=-3。将m=-4代入抛物线方程，y_D=(-4)^2-2*(-4)-3=16+8-3=21。但我们求得y_D应该为-3。21≠-3，说明此时D点不在抛物线上，故这种情形下抛物线上不存在这样的D点。情形3：A、D为对角线，B、C为对角线。AD中点：((-1+m)/2,(0+y_D)/2)，BC中点：((3+0)/2,(0+(-3))/2)=(1.5,-1.5)。所以：(-1+m)/2=1.5→m=4。(0+y_D)/2=-1.5→y_D=-3。将m=4代入抛物线方程，y_D=4²-2*4-3=16-8-3=5。而我们求得y_D应为-3。5≠-3。也不满足。情形4：B、C为对角线，A、D为对角线。（刚才是不是漏了这个？对，三个点选两个作为对角线端点，应该有C(3,2)=3种情况：AB、AC、BC。）情形4（即BC为对角线，A、D为对角线）：BC中点：(1.5,-1.5)，AD中点：((-1+m)/2,(0+y_D)/2)。所以：(-1+m)/2=1.5→m=4。(0+y_D)/2=-1.5→y_D=-3。此时D点坐标为(4,-3)。代入抛物线检验：4²-2*4-3=16-8-3=5≠-3。咦，怎么回事？哦，不对，这里AD中点的y坐标是(0+y_D)/2=-1.5，所以y_D=-3。但D在抛物线上，其纵坐标应为m²-2m-3。所以当m=4时，y_D=5，与-3矛盾。所以此情形下D不在抛物线上。情形5：那如果A、B、D、C呢？或者说，A、B为边，C、D为边？或许，换一种思路，以AB为边。若AB为平行四边形的一条边，则CD也为边，且AB平行且等于CD或AB平行且等于DC。向量AB=(3-(-1),0-0)=(4,0)。若向量AB=向量DC，则C-D=(4,0)→D=C-(4,0)=(0-4,-3-0)=(-4,-3)。检验D是否在抛物线上：(-4)^2-2*(-4)-3=16+8-3=21≠-3。不在。若向量AB=向量CD，则D-C=(4,0)→D=C+(4,0)=(4,-3)。前面已检验，y=5≠-3，不在。若AC为边，向量AC=(0-(-1),-3-0)=(1,-3)。则向量AC=向量BD→D-B=(1,-3)→D=B+(1,-3)=(4,-3)。同上。或向量AC=向量DB→B-D=(1,-3)→D=B-(1,-3)=(2,3)。检验D(2,3)是否在抛物线上：2²-2*2-3=4-4-3=-3≠3。不在。若BC为边，向量BC=(0-3,-3-0)=(-3,-3)。向量BC=向量AD→D-A=(-3,-3)→D=A+(-3,-3)=(-4,-3)。不在抛物线上。向量BC=向量DA→A-D=(-3,-3)→D=A-(-3,-3)=(2,3)。不在抛物线上。情形6：那有没有可能，三个点中，两个点是边，一个点是顶点，第四个点D与其中一个点构成另一条对角线？比如，A、C、B、D。或者说，前面利用中点公式，我们是不是漏了某种组合？或者说，D点是与A、B、C中的某个点相对？哦！我明白了，之前的情形1中，AB为对角线，CD为对角线，解得m=2，此时D点坐标为(2,(2)^2-2*(2)-3)=4-4-3=-3。所以D(2,-3)。此时CD中点为((0+2)/2,(-3+(-3))/2)=(1,-3)。AB中点为(1,0)。显然中点不重合。所以当时判断矛盾。但D(2,-3)这个点本身是否能与A、B、C构成平行四边形呢？我们看A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),D(2,-3)。AB的长度是4，CD的长度是2，显然不相等。所以不行。那么，是不是题目有问题？还是我哪里考虑错了？不，应该是我在情形1中，只计算了中点横坐标，没有正确计算纵坐标方程。情形1：AB为对角线，C、D为另一对角线。AB中点(1,0)，CD中点(m/2,(y_C+y_D)/2)=(m/2,(-3+y_D)/2)。所以m/2=1→m=2。(-3+y_D)/2=0→y_D=3。啊！对了！y_D应该是3！我之前错误地把y_D写成了m²-2m-3代入，然后说矛盾，但实际上，这里是通过中点公式求出y_D=3，然后再看当m=2时，抛物线上的点的纵坐标是否为3。当m=2时，y_D=(2)^2-2*(2)-3=4-4-3=-3≠3。所以D(2,3)不在抛物线上。所以情形1确实无解。那么，本题中，抛物线上是否存在这样的D点呢？或者，我是不是把A、B、C的坐标求错了？y=x²-2x-3，令y=0，x²-2x-3=0，(x-3)(x+1)=0，x=3或x=-1。A(-1,0),B(3,0)正确。C(0,-3)正确。那会不会是A、C、D、B？或者说，D点与A、C、B构成平行四边形，而D点在抛物线的对称轴上？题目说“点D是该抛物线上的一动点”，所以必须在抛物线上。看来，在这个例题中，以A、B、C为三个顶点，在抛物线上不存在第四个顶点D构成平行四边形？这似乎不太可能。或者，我哪里疏漏了？（稍作停顿，重新审视）哦！或许，我在考虑向量的时候，方向反了。比如，向量AB=(4,0)，向量DC=C-D=(4,0)，则D=C-(4,0)=(-4,-3)。或者向量AB=向量CD=D-C=(4,0)，则D=C+4,0=(4,-3)。这两个点我们都求过了，不在抛物线上。那么，如果A、D、B、C呢？即AD平行且等于BC。向量BC=(-3,-3)，所以向量AD=(-3,-3)，D=A+(-3,-3)=(-4,-3)。还是那个点。看来，这个例题1，在抛物线上是不存在这样的点D的？这似乎有点出乎意料。或者，是我选择的例题本身就比较特殊？（*笔者注：此处通过详细的推导，展示了思考的过程，即使最终结果可能是不存在，也体现了严谨性。在实际教学中，这样的“碰壁”也是宝贵的经验。*）那么，或许原题中的抛物线解析式不同，或者点的位置不同，会有解。但这个推导过程本身是有价值的，它展示了如何运用中点公式和向量法进行分类讨论。解题反思：通过本例可以看出，解决此类问题时，首先要准确求出已知点的坐标。其次，分类讨论要全面，确保不遗漏任何一种可能的平行四边形构成方式。利用中点坐标公式是一种非常有效的方法，它将几何关系代数化，思路清晰。最后，求出点的坐标后，务必检验该点是否满足题目的所有条件（如在抛物线上、在指定直线上等）。二、题型二：已知两个定点，另两个动点在定直线（或抛物线）上，探求平行四边形存在性（一）题型特征分析此类问题通常给出两个定点A、B，以及两条定直线（其中一条或两条可以是抛物线本身，或坐标轴，或其他已知直线）。点P、Q分别是这两条定直线上的动点，然后探索是否存在点P、Q，使得A、B、P、Q四点构成平行四边形，并求出相应点的坐标或参数的值。这类问题的动态性更强，因为有两个动点在运动，需要考虑的情况更为复杂。它不仅考察对平行四边形性质的掌握，还考察学生对动点轨迹的理解以及运用函数思想解决几何问题的能力。（二）解题策略与方法提炼解决此类问题的基本思路仍然是依据平行四边形的性质，但由于动点的存在，需要将动点坐标用参数表示出来，再根据性质列方程求解。常用方法：1.参数表示动点坐标：设出动点P、Q的坐标，通常用一个或两个参数表示（例如，若P在抛物线上，可设其横坐标为t，用抛物线解析式表示纵坐标；若Q在直线y=kx+b上，可设其横坐标为s，用直线方程表示纵坐标）。2.分类讨论：根据A、B两点在平行四边形中的位置关系进行分类。主要有两种大的情况：*AB为平行四边形的一条边：此时PQ也为边，且AB平行且等于PQ，或AB平行且等于QP。*AB为平行四边形的一条对角线：此时PQ为另一条对角线，AB与PQ互相平分，即AB的中点与PQ的中点重合。3.根据平行四边形性质列方程