初高中数学暑假衔接材料：暑假预习专题 第15讲 对数函数（解析版）（暑假预习讲义）

2/14暑假预习专题第15讲对数函数内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航对数对数函数1.理解对数函数的定义及图像。2.掌握对数函数的性质。3.掌握利用对数函数的性质解不等式。学习重点：理解指数函数定义域、值域及底数对图像和单调性的影响，会解指数不等式并求最值。学习难点：了解指数函数在实际问题（如复利、pH值）中的应用，会建立模型并解释结果的实际意义。1.对数函数的概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中函数的定义域是(0，＋∞)，值域为R．注意：判断一个函数是对数函数是形如y=log（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量x．2.对数函数的图象及性质函数名称对数函数图象a>10<a<1定义域(0,+∞)值域R过定点图象过定点(1，0)，即当x=1时，奇偶性非奇非偶单调性在(0，在(0，函数值的变化情况logloga变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，a逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，a逐渐减小．3.当底数不同时对数函数图象的变化规律：作直线y=1与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得b>a>1>d>c>0.4.若函数y=f(x)的反函数记作y=f（1）定义域与值域互逆：y=f(x)的定义域是y=f−1(x)的值域，y=f(x)（2）图像对称关系：两函数的图像关于直线y=x呈轴对称；（3）单调性一致：单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性相同.5.指数函数与对数函数的关系（1）互为反函数：指数函数y=ax和对数函数（2）图像对称：二者的图像关于直线y=x对称.知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01对数函数的图像与性质知识点1.对数函数的定义定义：当底数固定，且时，以为底的对数确定了变量随变量变化的规律，称为底为的对数函数.注意：（1）对数函数的定义域为（全体正数）；（2）当时，；（3）当时，．知识点2.对数函数的图像图像对数函数且的图像过定点，所以讨论与对数函数有关的函数的图像过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的、，即可得到定点的坐标．掌握三组关系—一底数与函数图像的关系（1）底数与1的大小关系决定了对数函数图像的＂升降＂：当时，对数函数的图像＂上升＂；当时，对数函数的图像＂下降＂．（2）底数的大小决定了图像相对位置的高低：不论是还是，在第一象限内，自左向右，图像对应的对数函数的底数逐渐变大．（3）函数与且的图像关于轴对称．知识点3.对数函数的性质图像性质在上是严格增函数在上是严格减函数当时，，当时，当时，，当时，（1）讨论对数函数的性质时，若底数的大小不确定，必须分1和两种情况讨论．（2）根据对数函数的性质可知，对数函数且的图像都经过点，且图像都在第一、四象限内，据此可以快速地画出对数函数的大致图像．【经典例题】【例1】下列函数是对数函数的有．①；②；③；④．【答案】②【详解】由对数函数的定义：形如（且）的形式，则函数为对数函数，只有②符合；故答案为：②.【技巧归纳】根据对数函数的定义进行判断即可．【例2】对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式．【答案】【详解】由已知条件可得，可得，因为且，所以，.因此，所求函数解析式为；故答案为：.【技巧归纳】将点的坐标代入函数解析式，求出的值，由此可得出所求函数的解析式.【例3】已知函数的图像不经过第四象限，则实数的取值范围是.【答案】【详解】由于函数的图像不经过第四象限，所以，即，所以；故填：.【技巧归纳】根据函数的图像不经过第四象限得到，解不等式求得的取值范围.【例4】（24-25高一上·上海杨浦·期末）函数且的图像必过的定点坐标为.【答案】【详解】令，可得，则，所以定点坐标为；故答案为：.【技巧归纳】根据对数函数的定点坐标运算求解.【例5】如图是对数函数的图像，已知a取则相应于的a值依次为.

【答案】，，，【详解】的底数都大于1，当时底数大的图低(第一象限内)，所以对应的a值分别为，，的底数都大于0小于1，当时底数大的图低(第四象限内)，所以对应的a值分别为，，综合以上分析，可得对应的a值依次为，，，；故答案为：.【技巧归纳】根据对数函数底数在第一象限由左向右、从小到大分布规律解答.【例6】（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域为.【答案】【详解】因为，所以，即函数的定义域为；故答案为：.【技巧归纳】根据对数的真数大于0有意义求解.【例7】（23-24高一上·上海·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（

）A．B．C． D．【答案】A【详解】对于A选项，函数为增函数，则，可得，对于函数，令，可得，可得，解得，合乎题意；对于B选项，函数为减函数，则，可得，对于函数，令，可得，可得，解得，不合乎题意；对于C选项，函数为减函数，则，可得，对于函数，令，可得，可得，可得，不合乎题意；对于D选项，函数为增函数，则，可得，对于函数，令，可得，可得，可得，不合乎题意；故选：A.【技巧归纳】根据每个选项中函数的单调性求出实数的取值范围，再由函数（且）的图象与轴的交点，求出的取值范围，观察的范围能否一致，由此可得出合适的选项.【例8】函数，其中，函数，其中．两个函数的图象如图所示．

(1)试根据函数的增长差异指出，分别对应的函数；(2)以两图象交点为分界点，对，的大小进行比较．【答案】(1)对应的函数为；对应的函数为；(2)答案见解析.【详解】（1）根据函数的增长差异性，在一定范围内一次函数增长速度快于对数函数的增长速度，故对应的函数为；对应的函数为；（2）由图象可知，当时，；当时，；当时，；当或时，．【技巧归纳】（1）根据函数的增长速度即可判断；（2）根据图象即可分析函数的大小.【对点练习】【练习1】（23-24高一上·上海·阶段练习）已知对数函数过点，则其解析式为．【答案】【分析】利用待定系数法，设出函数解析式，把点代入求解即可.【详解】设对数函数解析式为（，且），因为对数函数过点，所以，解得，所以对数函数解析式为；故答案为：.【练习2】（24-25高一上·上海闵行·期末）若，对任意且，函数的图像必过定点【答案】【分析】根据对数函数的性质求解．【详解】令，则，，图象过定点，故答案为：．【练习3】函数的定义域为．【答案】【分析】根据对数函数的性质求该对数型函数的定义域即可.【详解】要使该函数有意义，则需，解得：，函数的定义域为，故答案为：.【练习4】（（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域为.【答案】【分析】利用给定的函数的意义，列出不等式组求解即得.【详解】依题意，，解得，所以原函数的定义域为.；故答案为：.【练习5】（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的值域为．【答案】【分析】令，结合对数函数的图象与性质求出的范围，再结合反比例函数的图象和性质即可求出值域.【详解】令则，，，.，.结合反比例函数的图象,如图可知：.故答案为：.【练习6】（24-25高一上·上海静安·阶段练习）已知函数的定义域和值域都是，则.【答案】【分析】先分析的单调性，然后对进行分类讨论或，结合单调性以及可求得结果.【详解】因为在上单调递减，且，当时，在上单调递减，因为函数的定义域和值域都是，所以，这与矛盾，不符合题意；当时，在上单调递增，因为函数的定义域和值域都是，所以，则，因为，所以，故答案为：.【练习7】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，条件，条件，则p是q的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合对数函数的性质即可判断.【详解】若成立，根据对数函数的性质，可得，即由可以推出.

若成立，当，时，满足；但是此时无意义，所以不成立，即由不能推出；

综上，是的必要不充分条件；故选：B.【练习8】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知两条水平直线：和：（其），且直线与函数的图象从左至右相交于点A、B，直线与函数的图象从左至右相交于点C、D．若记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b（投影点重合时长度为0）．(1)记点A、B、C、D的横坐标分别为、、、，求证：；(2)当时，求m的值；(3)当，m变化时，记，求函数的解析式及其最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）由题意可得，，从而计算即可证明；（2）由题意可得，即或，求解即可；（3）由（2）可得，结合指数的运算性质和基本不等式即可求解.【详解】（1）直线与函数的图象从左至右相交于点A、B，，与函数的图象从左至右相交于C、D，，所以，，所以；（2）因为，又，所以，所以或，当，即，即，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，所以，即，又，解得；当，即，所以，即或，当时，则，即，又，解得，当时，则，所以，又，方程无解，综上，；（3）由（2）可知，，，当且仅当，即时，等号成立，所以.知识点02对数函数的应用1.当底数不同时对数函数图象的变化规律：作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得.2.指数函数与对数函数的关系（1）互为反函数：指数函数和对数函数是一对反函数；（2）图像对称：二者的图像关于直线对称.【经典例题】【例9】函数的定义域为．【答案】【详解】由题意，解得，即；故答案为：.【易错提醒】分别求出和的定义域，再求交集..【例10】（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的值域为.【答案】【详解】由，解得，所以的定义域是，二次函数的开口向下，对称轴为，所以，又函数在上单调递增，所以的值域是；故答案为：.【易错提醒】先求得函数的定义域，然后根据对数函数的单调性求值域.【例11】（24-25高一上·上海·阶段练习）若函数的值域为，则实数的取值范围是.【答案】【详解】若，要使的值域为，即是函数的值域的子集，所以或，可得，所以实数的取值范围是；故答案为：.【易错提醒】由对数复合函数的值域为，即是值域的子集，结合一次、二次函数的性质列不等式求参数范围.【例12】（22-23高一上·上海宝山·期末）当，时，则的最小值是．【答案】【详解】，且，而函数在上单调递增，，即，且，，，当且仅当，即，时，等号成立，故答案为：.【易错提醒】由且，得出，用均值不等式即可得出答案．【例13】（24-25高一上·上海·期末）函数的单调递增区间为.【答案】【详解】对于函数，有，解得或，所以，函数的定义域为，因为内层函数在区间上单调递减，在上单调递增，外层函数为增函数，故函数的单调递增区间为；故答案为：.【易错提醒】利用复合函数法可得出函数的单调递增区间.【例14】已知函数若函数在上是严格增函数，则a的取值范围为．【答案】【详解】解：对数函数在时是增函数，所以，又，是增函数，，当时，取到最大值，要使得函数在上是严格增函数，则，即，所以，则a的取值范围为，故答案为：．【易错提醒】根据对数函数以及一次函数的单调递增求出的范围，同时需要满足即可．【例15】（24-25高一上·上海·期末）已知，，且，那么关于的不等式，其解集不可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】且，关于x的不等式①，当，时，不等式①的解集为，排除C；当，，时，不等式①的解集为，排除B；当，，时，恒成立，不等式①的解集为，排除D；故选：A【易错提醒】利用对数函数的性质把不等式转化为，通过举例说明BCD是错误的即可.【例16】（20-21高一上·上海金山·阶段练习）已知函数为偶函数，.（1）求实数的值；（2）若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围；（3）求函数在上的最大值与最小值之和为2020，求实数的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【详解】（1）函数为偶函数，，，得，解得，即；（2）若时，函数的图像恒在图像的上方，则恒成立，即，即.所以.因为时，，所以，得.（3），所以当时，，当时，取得最大值，当取得最小值，所以，解得.【易错提醒】（1）根据偶函数定义列方程可得解；（2）由时，恒成立，参变分离得，进而求函数最大值即可；（3）化简函数为，结合可得最值，从而得解.【对点练习】【练习9】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数恒过定点【答案】【分析】根据对数函数所过定点，可得答案.【详解】令，则，则函数过定点；故答案为：.【练习10】函数的值域是.【答案】【分析】根据真数的取值范围及对数函数的单调性得出值域.【详解】由，可得，所以函数的值域为，故答案为：.【练习11】对数函数，当时图象在x轴上方，则a的取值范围为.【答案】【分析】由题意，推理得到函数在上的单调性，由此即可确定底数范围即得.【详解】由题意知，当时，，即故在上为增函数，，解得，即a的取值范围为；故答案为：.【练习12】（24-25高一上·上海·期末）若集合，则.【答案】【分析】根据对数函数的单调性即可求解.【详解】由可得，解得，故，故答案为：.【练习13】已知，，，则与的大小关系是．【答案】【分析】利用作差法，结合换底公式可比较大小.【详解】，因为，所以，，，，所以，即，故答案为：.【练习14】（24-25高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为．【答案】【分析】将所求不等式变形为，构造函数，其中，分析函数在定义域上的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出所求不等式的解集.【详解】由可得，令，其中，因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，且，由可得，解得，故不等式的解集为；故答案为：.【练习15】已知，那么，满足的条件是．【答案】【分析】由换底公式结合对数函数单调性即可求解.【详解】因为，所以，所以；故答案为：.【练习16】已知，.（1）当时，求函数的值域；（2）对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）当时，当时，当时，.【分析】（1）依题意可得，根据二次函数的性质计算可得；（2）由得，令，对一切的恒成立，参变分离，根据函数的单调性求出函数的最值即可求出参数的取值范围.【详解】（1）因为，，令，∵，∴，所以当，即时取最大值，当或，即或时取最小值，∴函数的值域为；（2）由得，令，∵，∴，∴对一切的恒成立，①当时，若时，；当时，恒成立，即，函数在单调递减，于是时取最小值-2，此时，于是；②当时，此时时，恒成立，即，∵，当且仅当，即时取等号，即的最小值为-3，；③当时，此时时，恒成立，即，函数在单调递增，于是时取最小值，此时，于是.综上可得：当时，当时，当时，1.函数（且），若它的图象经过，，则．【答案】8【分析】先将坐标代入函数中求出的值，从而可求出函数解析式，再将代入函数中可求出.【详解】因为的图象经过，所以，所以，因为，所以，所以，因为点在函数图象上，所以；故答案为：8.2.函数的定义域是.【答案】【分析】根据对数函数的真数大于零即可求解.【详解】由解得，故答案为:.3.（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的定义域是.【答案】【分析】根据真数大于求得结果.【详解】因为，所以，解得或，所以定义域为，故答案为：.4.函数的域为．【答案】【分析】配方得到，结合对数函数单调性得到值域.【详解】，又在上单调递增，故，故值域为；故答案为：.5.（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是.【答案】【分析】通过，，三种情况讨论即可.【详解】，当时，，存在最大值，不满足值域为，当，，值域为，满足题意；当，若的值域为，同时必有，解得，综上实数的取值范围是，故答案为：.6.（24-25高一上·上海·期末）不等式的解集为【答案】【分析】令，分析该函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可.【详解】令，则该函数的定义域为，因为，即函数为偶函数，当时，，因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，且，由可得，即，所以，，解得或，因此，不等式的解集为；故答案为：.7.（23-24高一上·上海长宁·期末）若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是.【答案】,【分析】先将方程变形为变形为，再利用程在,上有解，可得的不等式，从而可确定实数的取值范围．【详解】方程可变形为，由于方程在上有解，而当,时，，所以，解得，即实数的取值范围是,；故答案为：,．8.函数的最小值是．【答案】2【分析】利用整体换元，将复合函数的最值转化为对数函数的最值求解即可.【详解】令，则，.又在上单调递增，所以，此时.故答案为：9.函数的最小值为．【答案】【分析】利用二次函数和对数函数的性质得到与的单调性，再利用复合函数单调性的求法得到，再求解最值即可.【详解】令，，则由与复合而成，首先令，解得，则定义域为，而对称轴为，其开口向下，由二次函数性质得在单调递增，在单调递减，由对数函数性质得在上单调递减，由复合函数单调性得在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，此时最小值为；故答案为：.10.已知，（是自然对数的底数），若对任意的，都存在唯一的，使得，则实数的取值范围是.【答案】【分析】分析出函数在上单调递增，可得出，即可求得实数的值.【详解】因为函数在上单调递增，对任意的，都存在唯一的，使得，则，解得；故答案为：.11.若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为．【答案】【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案.【详解】解：因为不等式在上恒成立，所以在上恒成立，令，，，则问题转化为在上恒成立，若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意；当时，画出两个函数的图象，要想满足在上恒成立，只需，即，解得．综上：实数的取值范围是；故答案为：.12.已知函数，对于任意的，都存在，使得成立，则实数m的取值范围为．【答案】【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解【详解】，，由题意得，故答案为：.13.设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点、，若在函数的图像上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的横坐标为.【答案】【分析】设，求得点坐标并代入，求得，进而求得的横坐标.【详解】设，线段的中点坐标为，，因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，因为点在函数的图像上，所以，，所以，所以，解得，所以点的横坐标为；故答案为：.14.当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】通过底数范围判断指对函数是增函数还是减函数，即可判断图像，得出答案.【详解】当时，，函数为底数大于1的指数函数，是增函数，函数为底数大于0、小于1的对数函数，是减函数，故选：C.15.（23-24高一上·上海·期中）已知实数满足，则函数在上的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函数在上的单调性可求其最大值.【详解】因为，则函数在上为减函数，则；故选：A.16.（24-25高一上·上海·期末）下列选项中“”的充分非必要条件是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】分别就每个选项分析，得出,的大小关系，再利用充分非必要条件定义判断正误.【详解】由选项A,得,,异号时,不能推出；由选项B得,,当,异号时,不能推出;由选项C得,,当时,,故为充要条件;由选项D得,,但由,因为不确定,的正负,所以不一定得,故为充分非必要条件；故选：D.17.已知集合，，则（

）A． B． C． D