2025-2026学年广东深圳市外国语学校龙华高中部高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东深圳市外国语学校龙华高中部高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.在复平面内，（1+3i）（3-i）对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知单位向量，满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.3.已知圆锥的高为4，底面半径为3，则它的侧面积是（）A.30π B.15π C.9π D.18π4.已知向量，若，则λ=（）A.-1 B.0 C.1 D.25.△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、e,已知，bcsinA=8sinB，a=4，则b=（）A.4 B. C. D.6.如图，在正四面体A-BCD中，取BC中点M，连接AM，则直线AM与直线CD夹角的余弦值为（）A.

B.

C.

D.7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知（sinA-sinB）（a+b）=c（sinB+sinC），且△ABC的面积为，则b2+4c2的最小值为（）A.2 B. C.4 D.8.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M是棱AB的中点，N是侧面BB1C1C内一点，且MN∥平面AA1C1C，则MN长度的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.若复数z=2-2i（i为虚数单位），则下列结论正确的有（）A. B.z的虚部为-2i

C.z+=4 D.z在复平面内对应的点在第二象限10.已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,下列结论正确的是（）A.若A＞B，则a＞b B.a2+b2＜c2

C.若sinA＜sinC，则cosA＞cosC D.sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC11.如图，在四边形ABCD中，，则（）A.当λ=1时，

B.当时，DA=DB

C.的取值范围是

D.的取值范围为（3，+∞）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中，已知，，a=2，则c=

.13.已知向量，，在方向上的投影向量坐标是

.14.在△ABC中，，AC=1，过点A作直线l∥BC，将△ABC绕直线l旋转一周所得到的几何体记为Ω，若Ω的体积是，则Ω的表面积为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知，，且与夹角为60°.

（1）求；

（2）求与的夹角的余弦值.16.(本小题15分)

已知复数z=1-2i（i为虚数单位）.

（1）若z•z0=2z+z0，求复数z0的共轭复数及|z0|；

（2）若z是关于x的方程x2+mx+n=0（m,n∈R）的一个根，求实数m-n的值.17.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且2bcosA=ccosA+acosC.

（1）求角A的大小；

（2）若AB=3，AC=1，∠BAC的平分线交BC于点D，求AD的长.18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，M，N分别是PB，CD的中点，AD=3BC，.

（1）求证MN∥平面PAD；

（2）若PB∥平面ACE，求λ的值.19.(本小题17分)

如图，延长△ABC的边AB至点P，边BC至点Q，边CA至点R，使得线段AP、BQ、CR的长分别为AB、BC、CA的λ（λ∈N*，λ≥2）倍，我们将△PQR称为△ABC的“λ变换三角形”.

（1）当λ=3时，若AB=BC=AC=1，求PR的长；

（2）若△ABC是边长为2的等边三角形，点M为其“2变换三角形”中线段AP上的动点，求的最大值；

（3）设点G为△ABC的重心（三角形的三条中线的交点），证明：.

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】AC

10.【答案】ACD

11.【答案】AD

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】

-7

17.【答案】

18.【答案】证明：取PA的中点为R，过C作CG∥AB交AD于G，

取DG中点H，连接MR，NH，HR，则MR∥AB，，

NH∥CG∥AB，，

∴四边形MNHR是平行四边形，∴MN∥RH，

∵MN⊄平面PAD，RH⊂平面PAD，

∴MN∥平面PAD

19.【答案】

10

如图，设△PQR为△ABC的“λ变换三角形”，

则=-=λ