2025-2026学年广东省广州市实验外语学校高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省广州市实验外语学校高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.下列求导正确的是（）A. B.

C.（xex）′=（x+1）ex D.（cos3x）′=-sin3x2.李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节

需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有几种不同的选择方式（）A.24 B.14 C.10 D.93.如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，则下列判断正确的是（）A.在区间（-2，1）上f（x）单调递增

B.在区间（1，3）上f（x）单调递减

C.在区间（4，5）上f（x）单调递增

D.在区间（3，5）上f（x）单调递增4.若事件M，N满足，则P（M|N）=（）A. B. C. D.5.的展开式中x3y3的系数为（）A.5 B.10 C.15 D.206.清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，4名青年志愿者到3个社区参加“绿色清明”公益宣讲活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.24种 B.36种 C.64种 D.72种7.放射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，子体的数目不断增加，假设在某放射性同位素的衰变过程中，同位素含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系（e为自然对数的底数），其中N0为t=0时该同位素的含量，已知当t=48时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为-1，则N（96）=（）A.12e2贝克 B.12e-2贝克 C.24e-2贝克 D.24e2贝克8.甲、乙两人分别从10个不同的数中随机选择若干个数（也可以不选），分别构成集合A，B，记A∩B中元素的个数为m,则P（m≥1）=（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.设事件A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”，则（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=ex-ax,则（）A.当a≤0时，f（x）为增函数 B.∃a∈（0，+∞），f（x）max=a

C.∃a∈（0，+∞），f（x）min=a D.∀a∈（0，+∞），f（x）min≤111.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（）A.第2026行的第1013个数最大

B.第10行所有数字之和为210

C.从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为

D.第48行的所有数字之和被7除的余数为1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，现要用6种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有

种不同的着色方法.

13.随机变量ξ的分布列如表所示，且E（ξ）=0，则D（ξ）=

.ξa03Pb14.若对任意的x∈（0，+∞），恒有，则实数a的取值范围为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知的展开式中，第7项为常数项.（1）求n的值；（2）求展开式中所有的有理项.16.(本小题15分)

已知函数.

（1）求f（x）的极值；

（2）若对任意x1，x2∈[-3，3]，都有|f（x1）-f（x2）|≤M恒成立，求实数M的最小值；

（3）若过点的直线l与曲线y=f（x）相切，求l的方程.17.(本小题15分)

某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为0.6，选择乙餐厅的概率为0.4，甲餐厅的准时送达率为0.95，乙餐厅的准时送达率为0.9.已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立.

（1）求该用户每次外卖点餐准时送达的概率.

（2）在该用户的N次外卖点餐中，记准时送达的次数为X，若X的方差大于0.7，求N的最小值.

（3）平台推出“准时保”，每单需支付0.5元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付.该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过0.3元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由.18.(本小题17分)

已知甲口袋有m（m≥1，m∈N*）个红球和2个白球，乙口袋有n（n≥1，n∈N*）个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球.

（1）当m=4，n=2时，

（i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率；

（ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为X，求X的数学期望；

（2）当m=n时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为P，则当m为何值时，P最大？19.(本小题17分)

已知函数f（x）=（1-2x）lnx+ax-1.

（1）若a=1，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）有且仅有1个零点，求a的值；

（3）若存在a,使得f（x）≤a+b对任意x＞0恒成立，证明：a-b＜4.

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】AC

10.【答案】ACD

11.【答案】BCD

12.【答案】480

13.【答案】2

14.【答案】

15.【答案】解：（1）已知二项式为的展开式的通项公式为，则第7项为，所以，解得n=9；（2）因为展开式的通项公式为，展开式中的有理项x的指数为整数，令，k∈Z，所以，因为0≤r≤9，且r为整数，所以k=0或3时，满足条件，即r=2或6，所以有理项为和．

16.【答案】解：（1）由题意得：f′（x）=x2-x-2=（x-2）（x+1），令f′（x）=0，解得x=2或-1，

由f′（x）＞0有：x＞2或x＜-1，由f′（x）＜0有：-1＜x＜2，

所以f（x）在（-1，2）单调递减，在（-∞，-1），（2，+∞）单调递增，

所以f（x）的极大值为，

f（x）的极小值为．

（2）由已知有：对任意x1，x2∈[-3，3]，都有|f（x1）-f（x2）|≤M恒成立，

由（1）有f（x）在（-3，-1），（2，3）单调递增，在（-1，2）单调递减，

又，

所以，

所以，

所以实数M的最小值为．

（3）设切点为（x0，f（x0）），

所以，，

所以切线方程l为：y-f（x0）=f′（x0）（x-x0），

所以，

又切线l过点，

所以，

化简整理有：，即，解得x0=1，

所以直线l的方程为：，

所以直线l的方程为：．

17.【答案】0.93

11

他愿意购买“准时保”

18.【答案】解：（1）小明从甲口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为，

从乙口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为．

（i）设“小明4次摸球中，至少摸出1个白球”为事件A，则“小明4次摸球中，摸出的都是红球”为事件，且，

所以．

（ii）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，

由（i），得，，

，，，

所以．

（2）由m=n,可视为小明从甲口袋中有放回地摸出一个球，连续摸4次，相当于4次独立重复试验，

设小明每次摸出一个红球的概率为k（0＜k＜1），则．

因为，

所以当时，P′（k）＞0；当1时，P′（k）＜0，

所以P（k）在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以当时，P（k）最大，

此时，解得m=6，

故当m=6时，P最大．

19.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=（1-2x）lnx+x-1，定义域为（0，+∞），

求导得到，

令，则当x∈（0，+∞）时，

所以h（x）在（0，+∞）内单调递减，且h（1）=0，

即f′（x）在（0，+∞）内单调递减，且f′（1）=0，

所以当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

综上所述，f（x）单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．

（2）因为f（x）有且仅有1个零点，

所以方程（1-2x）lnx+ax-1=0有且仅有1个解，

即有且仅有1个解，

令，x＞0，

则，

令m（x）=2x-2+lnx,则，

所以m（x）在区间（0，+∞）

上单调递增，

又因为m（1）=0，

所以当0＜x＜1

时，m（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）单调递减；

当x＞1

时，m（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）单调递增；

所以函数g（x）在x=1处取得极小值也是最小值g（1）=1，

当x→0+时，g（x）→+∞，x→+∞时，g（x）→+∞，

因为有且仅有1个解，

所以a=1．

（3）证明：因为f（x）≤a+b对任意x＞0恒成立，

所以f（x）max≤a+b,即b≥f（x）max-a,

因此a-b≤2a-f（x）max，

要证a-b＜4，只需证明2a-f（x）max＜4即可，

对函数求导得到，

令，则，

所以n（x）在区间（0，+∞）单调递减，

即f′（x）在区间（0，+∞）单调递减，

存在唯一极大值点x0，满足f′（x0）=0，即，

在（0，x0）内，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，

在（x0，+∞）内，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减