2025-2026学年广东省汕头市潮阳区河溪中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省汕头市潮阳区河溪中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.若z•（1+i）=2i，则z的虚部是（）A.-1 B.1 C.i D.-i2.设M={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={4，5，6}，B={x|lnx＜1}，则B∩（∁MA）=（）A.{1，2} B.{0，1，2} C.（0，e） D.（1，e）3.已知向量=（m，1），=（2，n），若||=2，⊥，则mn=（）A.±3 B.3 C.±6 D.-64.“函数f（x）=tanωx的最小正周期为4π”是“ω=”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）A.12种 B.24种 C.36种 D.48种6.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（）A.2π B.3π C.6π D.9π7.若圆C：（x-2）2+（y+3）2=16上恰好有4个不同的点到直线l：y=kx的距离为3，则实数k的取值范围是（）A.（-，0） B.（0，）

C.（2-，2+） D.（-2-，-2+）8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，其中，点F为B1C1的中点，则点C到平面BEF的距离为（）A.

B.

C.

D.

二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.某校元旦晚会节目预选赛上，6名评委老师给张三的节目打的分数分别为：92、94、90、86、98、95，则下列说法正确的是（）A.得分的中位数为92

B.得分的第75百分位数为95

C.若去掉一个最高分和一个最低分，则得分的平均值会变大

D.若去掉一个最高分和一个最低分，则得分的方差会变大10.已知双曲线的方程为，则（）A.渐近线方程为 B.焦距为

C.离心率为 D.焦点到渐近线的距离为811.已知函数f（x）=ax3-x2+bx,若曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线方程为y=4x+3，则（）A.a=1 B.b=-2

C.f（x）在单调递减 D.f（x）的极大值点为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.的展开式中x2y6的系数为______（用数字作答）.13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b=6，a=2c，B=，则△ABC的面积为

．14.在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1、2、3、4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率.用Ai表示i号箱有奖品（i=1，2，3，4），用Bi表示主持人打开i号箱子（i=2，3，4），现在已知甲选择了1号箱，则P（B3|A2）=______；P（B3）=______.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个黄球、6个白球，从中随机地摸出3个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.

（1）若抽出黄球赋1分，白球赋2分，求随机摸出3个球得分大于3分的概率；

（2）求X的分布列、期望和方差.16.(本小题15分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，满足a1=b2=2，S5=30，b4+2是b3与b5的等差中项.

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）若cn=an•bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.17.(本小题15分)

如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，且AB=2，三角形ADE是正三角形，平面ADE⊥平面ABCD.点F在平面ABCD上的投影为BD与AC的交点O，且.

（1）证明：BD⊥平面AOF；

（2）求直线EF与平面BDE所成角的正弦值.18.(本小题17分)

已知函数f（x）=lnx-ax+1，其中a∈R.

（1）当a=1时，求函数f（x）的最值；

（2）①若f（x）≤0恒成立，求a的最小值；

②证明，其中n∈N*.19.(本小题17分)

已知动点P（x，y）（其中x≥0）到定点F（l，0）的距离比点P到y轴的距离大1.

（1）求点P的轨迹C的方程；

（2）过椭圆C1：+=1的右顶点作直线交曲线C于A、B两点，其中O为坐标原点.

①求证：OA⊥OB；

②设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，证明：原点到直线DE的距离为定值.

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】BC

10.【答案】BC

11.【答案】ACD

12.【答案】-28

13.【答案】6

14.【答案】

15.【答案】

分布列为：X0123P期望为，方差为

16.【答案】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

由a1=b2=2，S5=30，b4+2是b3与b5的等差中项，

可得b1q=2，5×2+10d=30，2（b4+2）=b3+b5，即2（b1q3+2）=b1q2+b1q4，

解得d=2，b1=1，q=2，则an=2+2（n-1）=2n；bn=2n-1；

（2）因为cn=an•bn=n•2n；

所以数列{cn}的前n项和Tn=1×21+2×22+3×23++（n-1）•2n-1+n•2n，

2Tn=1×22+2×23++（n-2）•2n+（n-1）•2n+n•2n+1，

两式相减可得-Tn=2+22+23++2n-n•2n+1=（1-n）•2n+1-2，

∴Tn=（n-1）•2n+1+2．

17.【答案】在菱形ABCD中，对角线互相垂直，所以AC⊥BD，

因为F在底面ABCD上的投影为O，所以FO⊥平面ABCD，

又因为BD⊂平面ABCD，所以FO⊥BD，

又因为AC⊂平面AOF，OF⊂平面AOF，AC∩OF=O，

所以BD⊥平面AOF

18.【答案】最大值0；无最小值

①1；②证明：由（1）可知，当a=1时，lnx≤x-1恒成立，即lnx≤x-1（当且仅当x=1时等号成立），

令，所以，即对∀n∈N*，都有，

由累加法得，

故，其中n∈N*

19.【答案】解：（1）设P（x，y）（x≥0），

由题意，=x+1（x≥0），

两边平方得y2=4x，

所以，所求点P的轨迹方程为C：y2=4x．

（2）①证明：设过椭圆的右顶点（4，0）的直线AB的方程为x=my+4，

代入椭圆的方程y2=4x，

得y2-4my-16=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

得，

所以x1x2+y1y2=（my1+4）（my2+4）+y1y2=（1+m2）y1y2+4m（y1+y2）+16=0，

所以OA⊥OB，

②证明：设D（x3，y3），E（x4，y4），

直线DE的方程为x=ty+λ，代入椭圆的方程+=1，

得（3t