2025-2026学年贵州省贵阳市花溪区北京师范大学贵安新区附属学校高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年贵州省贵阳市花溪区北京师范大学贵安新区附属学校高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知集合A={x|-1＜x＜1}，B={x|x2-2x＜0}，则A∪B=（）A.{x|x＜0或x＞2} B.{x|0＜x＜1}

C.{x|-1＜x＜2} D.{x|x＜-1或x＞0}2.在△ABC中，设，，若点D满足，则=（）A. B. C. D.3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若acosB+bcosA=a,则△ABC一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等边三角形4.已知，，，则向量在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.5.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，△O′A′B′是等腰直角三角形且O′A′=A′B′，其中斜边，则这个平面图形的面积是（）A.

B.

C.

D.6.设m,n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若m⊥α，n⊂β，m⊥n,则α⊥β B.若m∥α，m∥n,则n∥α

C.若m⊂β，m∥α，α∩β=n,则m∥n D.若α⊥β，α∩β=m,n⊥m,则n⊥β7.如图，透明塑科制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题：

（1）有水的部分始终呈棱柱形；

（2）没有水的部分始终呈棱柱形；

（3）如图（2）所示的四边形CDHG的面积为定值；

（4）棱A1D1始终与水面所在平面平行；

（5）当容器倾斜如图（3）所示时，BE•BF是定值.其中所有正确命题的序号是（）

A.（1）（2）（3）（4） B.（1）（3）（4）（5）

C.（1）（2）（3）（4）（5） D.（1）（2）（3）（5）8.勒洛三角形是一种特殊的曲边三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知△ABC的边长为1，P为弧AC上任意一点，则的范围为（）A.

B.

C.

D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知复数z1=（1-i）（2-i），z2=iz1，则（）A.z1=1-3i B. C.|z1|=|z2| D.z2的虚部为110.如图，已知二面角A-BD-C的大小为，G，H分别是BC，CD的中点，E，F分别在AD，AB上，，且AC⊥平面BCD，则以下说法正确的是（）A.E，F，G，H四点共面

B.FG∥平面ADC

C.若直线FG，HE交于点P，则P，A，C三点共线

D.若△ABD的面积为6，则△BCD的面积为3

11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c,b=4，且acosC+ccosA=2bcosB，则下列结论正确的是（）A. B.△ABC外接圆的面积为16π

C.△ABC的面积的最大值为 D.a+c的最大值是8三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.△ABC中，，则c=

.13.已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆台的表面积为

，体积为

.14.已知，若满足f（a）=f（b）=f（c）（a、b、c互不相等），则a+b+c的取值范围是

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知||=4，||=3，（2-3）•（2+）=61．求：

（1）与的夹角

（2）|+|．16.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知且.

（1）求角A的大小；

（2）若a=3，△ABC的面积为，线段BC的中点为D，求AD的长.17.(本小题15分)

如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且.

（1）证明：平面平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.18.(本小题17分)

已知函数f（x）=2x，.

（1）求的值；

（2）试求出函数g（x）的定义域，并判断该函数的单调性与奇偶性；（判断函数的单调性不必给出证明）

（3）若函数F（x）=f（2x）-3f（x），且∀x1∈[0，1]，，都有F（x1）＞g（x2）+m成立，求实数m的取值范围.19.(本小题17分)

现有两个含30°角的全等直角三角板，较短直角边长均为10cm,如图，△PAB与△PCD为这两个三角板，其中PA=PC=10cm,∠PBA=∠PDC=30°.初始时，两三角板的直角顶点重合于点P，斜边AB，CD共线.现将两三角板绕点P平行展开，得到四棱锥P-ABCD.

（1）求证：PO⊥平面ABCD；

（2）设平面PAB∩平面PCD=l.

（i）求证：1∥平面ABCD；

（ii）当二面角A-l-C的大小为多少时，四棱锥P-ABCD的体积取得最大值？求出该最大值.

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】ACD

10.【答案】ACD

11.【答案】AD

12.【答案】或

13.【答案】

14.【答案】[3，2026）

15.【答案】解：（1）∵，

∴，

即-3×32=61．

化为=-．

∴．

（2）===．

16.【答案】

17.【答案】（1）证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，

则，，

由于四边形ABCD为正方形，所以EF⊥BF．

由于PF⊥BF，EF∩PF=F，EF、PF平面PEF，

则BF⊥平面PEF，

又因为BF⊂平面ABFD，

所以平面PEF⊥平面ABFD．

（2）在平面PEF中，过P作PH⊥EF于点H，连接DH，

因为BC⊥平面PEF，PH平面PEF，所以BC⊥PH；

因为BC∩EF=F，BC平面ABFD，EF平面ABFD，

所以PH⊥面ABFD，

又平面ABFD，故PH⊥DH．

可知：∠PDH即为DP与平面ABFD所成角，

因为DE∥BF且PF⊥BF，

所以PF⊥DE，

又因为△PDF△CDF，

所以∠FPD=∠FCD=90°，

所以PF⊥PD，

由于DE∩PD=D，DE、PD平面PDE，

则PF⊥平面PDE，

故VF-PDE=​​​​​​​，

因为BF∥DA且BF⊥面PEF，

所以DA⊥面PEF，面PEF，

所以DE⊥EP．

设正方形ABCD的边长为2a，则PD=2a，DE=a，

在△PDE中，，

所以，

故VF-PDE=，

又因为，

所以PH==，

所以在△PHD中，sin∠PDH==，

则DP与平面ABFD所成角的正弦值为：．

18.【答案】2026

函数g（x）在（-1，1）上为减函数，奇函数

19.【答案】AB与CD平行且相等，得四边形ABCD为平行四边形，

所以O为AC，BD的中点，

又由于PA=PC，PB=PD，所以PO⊥AC，PO⊥BD，

又因