2025-2026学年山东省青岛市第二中学分校高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年山东省青岛市第二中学分校高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知复数，则z的虚部是（）A.-2 B.2 C.2i D.-2i2.已知M（-2，7），N（10，-2），点P是线段MN上的点，，则P点的坐标（）A.（2，4） B.（-14，16） C.（2，） D.（22，-11）3.在△ABC中，已知，则C=（）A.120° B.30°或150° C.60° D.60°或120°4.已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是（）A.（-1，0） B.（1，0） C.（1，1） D.（1，-1）5.已知向量满足，则=（）A.2 B. C.4 D.6.如图，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（）A.

B.

C.

D.7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且，则△ABC一定是（）A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.直角三角形8.如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（）A.5π

B.6π

C.7π

D.8π二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，则下列命题正确的是（）A.复数z=3-4i的共轭复数的模

B.若复数（m2+3m-4）+（m-1）i是纯虚数，则得m=1或m=-4

C.若复数z=3-4i对应的向量为，1+i对应的向量为，则向量对应的复数为-2+5i

D.若复数z=3-4i是关于x的方程x2+px+q=0（p,q∈R）的一个根，则p+q=1910.如图，AB是圆锥SO的底面圆O的直径，点C是底面圆O上异于A，B的动点，点M是母线SB上一点，已知圆锥的底面半径为1，侧面积为4π，则下列说法正确的是（）A.该圆锥的体积为

B.该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为

C.三棱锥S-ABC的体积的最大值为

D.若BM=1，则从点B出发绕圆锥侧面一周到达点M的最短长度为5

11.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S=.现有△ABC满足sinA：sinB：sinC=：1：3，且S△ABC=，则（）A.△ABC外接圆的半径为

B.若∠A的平分线与BC交于D，则AD的长为

C.若D为BC的中点，则AD的长为

D.若O为△ABC的外心，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.长方体一个顶点上的三条棱的长分别是3，4，5，它的外接球的表面积为

.13.如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则=

.

14.已知△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，ABC的面积，角C的平分线交AB于D点，且a=2，，则BD=

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知是同一平面内的三个向量，其中.

（1）若，且，求；

（2）若，且与垂直，求实数m的值.16.(本小题15分)

如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，点M为CC1的中点.

（1）求证：AC1∥平面BDM；

（2）求点C到平面BDM的距离.17.(本小题15分)

如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，AB∥CD，AB=AD=2，CD=1，点O，E分别为AB，BC的中点.

（1）设BD和OE交于点G，求∠EGB的余弦值；

（2）若点F在BC边上运动（包含端点），求的取值范围.18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,a=1，.

（1）求角A；

（2）若D是线段BC的中点，且AD=1，求S△ABC；

（3）若△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的取值范围.19.(本小题17分)

如图，延长△ABC的边AB至点P，边BC至点Q，边CA至点R，使得线段AP、BQ、CR的长分别为AB、BC、CA的λ（λ∈N*，λ≥2）倍，我们将△PQR称为△ABC的“λ变换三角形”.

（1）当λ=3时，若AB=3，BC=4，AC=5，求PR的长；

（2）若△ABC是边长为2的等边三角形，点M为其“2变换三角形”中线段AP上的动点，求的最大值；

（3）设点G为△ABC的重心（三角形的三条中线的交点），证明：.

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】ACD

10.【答案】ACD

11.【答案】ABD

12.【答案】50π

13.【答案】3

14.【答案】

15.【答案】；

．

16.【答案】证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，令AC∩BD=F，

则F为AC中点，连接MF，

由M为CC1的中点，得MF∥AC1，而AC1⊄平面BDM，MF⊂平面BDM，

所以AC1∥平面BDM；

17.【答案】

18.【答案】解：（1）a=1，，

根据正弦定理得：，化简得sinAcosC=2sinBcosA-sinCcosA，

∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=2sinBcosA，

又A+B+C=π，∴sinB=sin（A+C），∴sinB=2sinBcosA，

∵sinB＞0，∴，

∵A∈（0，π），∴；

（2）由（1）及余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，即1=b2+c2-bc,①

又∵，∴，

∴，②

由②×4-①得：，

∴．

（3）由（1）得，则，即，

由正弦定理可知，，

∴．

∵△ABC为锐角三角形，∴，，