百度线性代数题库答案

百度线性代数题库答案一、选择题（每题5分，共100分）1.设矩阵A=[12;34]，则A²等于：A.[710;1522]B.[14;916]C.[56;1112]D.[36;912]2.下列哪个矩阵是正交矩阵？A.[10;01]B.[11;11]C.[12;21]D.[10;11]3.设A为3×3矩阵，且|A|=5，则|2A|等于：A.10B.20C.40D.804.向量组α₁=(1,2,3)，α₂=(2,4,6)，α₃=(3,6,9)的秩为：A.1B.2C.3D.05.设A是n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是：A.(Aᵀ)⁻¹=(A⁻¹)ᵀB.(Aᵀ)⁻¹=AC.(Aᵀ)⁻¹=-AD.(Aᵀ)⁻¹=Aᵀ6.线性方程组Ax=b有解的充要条件是：A.|A|≠0B.秩(A)=秩(A|b)C.A是满秩矩阵D.b是A的列向量的线性组合7.设矩阵A=[123;456;789]，则|A|等于：A.0B.1C.-1D.28.设λ是矩阵A的特征值，则下列哪个不是A⁻¹的特征值？A.1/λB.λ²C.0D.-λ9.下列哪个矩阵的特征值都是实数？A.[0-1;10]B.[11;-11]C.[20;03]D.[01;-10]10.设V是向量空间，W是V的子空间，则下列哪个不一定成立？A.W对向量加法封闭B.W对数乘封闭C.W包含零向量D.W等于V11.设A是n×n矩阵，且A²=A，则A的特征值可能是：A.只有0B.只有1C.0或1D.任意实数12.设向量α=(1,2,3)，β=(4,5,6)，则α与β的内积为：A.32B.33C.34D.3513.设A是n阶实对称矩阵，则下列哪个结论不正确？A.A的特征值都是实数B.A的特征向量可以构成Rⁿ的一组基C.A一定有n个线性无关的特征向量D.A的特征向量两两正交14.设A是3×3矩阵，且A的特征值为1,2,3，则|A|等于：A.1B.2C.3D.615.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则下列哪个等式不一定成立？A.(AB)ᵀ=BᵀAᵀB.|AB|=|A||B|C.tr(AB)=tr(BA)D.(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹（当A和B都可逆时）16.设向量组α₁,α₂,...,αₙ线性无关，则下列哪个向量组一定线性无关？A.α₁+α₂,α₂+α₃,...,αₙ+α₁B.k₁α₁,k₂α₂,...,kₙαₙ（kᵢ不全为0）C.α₁-α₂,α₂-α₃,...,αₙ-α₁D.2α₁,2α₂,...,2αₙ17.设A是n阶矩阵，且A²=I，则下列哪个不一定成立？A.A可逆B.A⁻¹=AC.|A|=1D.A的特征值为±118.设A是n×n矩阵，且AᵀA=I，则A称为：A.对称矩阵B.正交矩阵C.对角矩阵D.单位矩阵19.设A是n阶矩阵，且A的特征值互不相同，则下列哪个结论正确？A.A可以对角化B.A的特征向量两两正交C.A是实对称矩阵D.A的行列式为020.设A是m×n矩阵，则下列哪个结论不正确？A.A的行秩等于A的列秩B.A的秩不超过min(m,n)C.若A的秩为r，则A有r个线性无关的行向量D.若A的秩为r，则A的任意r+1行向量线性无关二、填空题（每题5分，共100分）1.设矩阵A=[12;34]，则A⁻¹=________。2.设矩阵A=[123;456;789]，则|A|=________。3.设矩阵A=[100;020;003]，则A³=________。4.设矩阵A=[11;11]，则A的特征值为________。5.设向量α=(1,2,3)，β=(4,5,6)，则α与β的夹角的余弦值为________。6.设A是3×3矩阵，且|A|=2，则|2A|=________。7.设A是n阶矩阵，且A的特征值为1,2,...,n，则|A|=________。8.设A是2×2矩阵，且A=[ab;cd]，则A的特征多项式为________。9.设向量组α₁=(1,0,0)，α₂=(0,1,0)，α₃=(0,0,1)，则该向量组的秩为________。10.设A是n×n矩阵，且A²=0，则A的特征值只能是________。11.设A是3×3矩阵，且|A|=4，则|Aᵀ|=________。12.设A是n阶矩阵，且A的特征值为2,3,...,n+1，则tr(A)=________。13.设A是2×2矩阵，且A=[12;34]，则A的伴随矩阵adj(A)=________。14.设A是n阶矩阵，且A的特征值为λ₁,λ₂,...,λₙ，则Aᵏ的特征值为________。15.设向量α=(1,1,1)，β=(1,-1,0)，则α与β的正交投影系数为________。16.设A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，则(AB)ᵀ=________。17.设A是n阶矩阵，且A的特征值为λ₁,λ₂,...,λₙ，则A⁻¹的特征值为________（假设A可逆）。18.设A是3×3矩阵，且A=[100;020;003]，则A⁻¹=________。19.设A是n阶矩阵，且A的特征多项式为p(λ)=λⁿ+aₙ₋₁λⁿ⁻¹+...+a₁λ+a₀，则tr(A)=________。20.设A是n阶矩阵，且A的特征多项式为p(λ)=λⁿ+aₙ₋₁λⁿ⁻¹+...+a₁λ+a₀，则|A|=________。三、判断题（每题5分，共50分）1.设A是n阶矩阵，则|Aᵀ|=|A|。（）2.设A是n阶矩阵，且|A|=0，则A的特征值至少有一个为0。（）3.设A是n阶矩阵，且A的特征值都是实数，则A一定可以对角化。（）4.设A是n阶矩阵，且A的特征值互不相同，则A一定可以对角化。（）5.设A是n阶实对称矩阵，则A一定有n个线性无关的特征向量。（）6.设A是n阶矩阵，且A²=I，则A的特征值只能是±1。（）7.设A是n×n矩阵，且AᵀA=I，则|A|=±1。（）8.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则|AB|=|BA|。（）9.设A是n阶矩阵，且A的特征值为λ₁,λ₂,...,λₙ，则tr(A)=λ₁+λ₂+...+λₙ。（）10.设A是n阶矩阵，且A的特征值为λ₁,λ₂,...,λₙ，则|A|=λ₁λ₂...λₙ。（）四、计算题（每题15分，共150分）1.设矩阵A=[123;456;789]，计算|A|。2.设矩阵A=[12;34]，计算A⁻¹。3.设矩阵A=[110;101;011]，计算A的特征值和特征向量。4.解线性方程组：x+y+z=62x-y+z=3x+2y-z=25.设矩阵A=[21;12]，求A的特征值和特征向量，并将A对角化。6.设矩阵A=[123;456;789]，求A的秩。7.设向量α=(1,2,3)，β=(4,5,6)，计算α与β的内积，以及α与β的夹角的余弦值。8.设矩阵A=[12;34]，计算A²和A³。9.设矩阵A=[110;011;101]，计算A⁻¹。10.设矩阵A=[31;13]，求正交矩阵P，使得P⁻¹AP为对角矩阵。五、证明题（每题20分，共100分）1.设A是n阶矩阵，证明：如果A的特征值互不相同，则A的特征向量线性无关。2.设A是n阶实对称矩阵，证明：A的特征值都是实数。3.设A是n阶矩阵，证明：|Aᵀ|=|A|。4.设A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，证明：rank(AB)≤min(rank(A),rank(B))。5.设V是向量空间，W是V的子空间，证明：W的补空间存在。答案：一、选择题（每题5分，共100分）1.答案：A解析：计算A²=A·A=[12;34]·[12;34]=[1×1+2×31×2+2×4;3×1+4×33×2+4×4]=[710;1522]选项B是[1²2²;3²4²]，这是错误的矩阵乘法。选项C是[1+42+4;3+64+6]，这是错误的矩阵乘法。选项D是[1×32×3;3×34×3]，这是错误的矩阵乘法。2.答案：A解析：正交矩阵满足AᵀA=AAᵀ=I。选项A是单位矩阵，满足正交矩阵的定义。选项B的AᵀA=[11;11]·[11;11]=[22;22]≠I，不是正交矩阵。选项C的AᵀA=[12;21]·[12;21]=[54;45]≠I，不是正交矩阵。选项D的AᵀA=[11;01]·[10;11]=[21;11]≠I，不是正交矩阵。3.答案：C解析：对于n阶矩阵A，|kA|=kⁿ|A|。因此|2A|=2³|A|=8×5=40。选项A和B是计算错误，选项D是忘记了n阶矩阵的性质。4.答案：A解析：向量组α₂=2α₁，α₃=3α₁，所以向量组中所有向量都可以由α₁线性表示，因此秩为1。选项B、C、D都是错误的，因为向量组不是线性无关的，且秩不为0。5.答案：A解析：对于可逆矩阵A，有(Aᵀ)⁻¹=(A⁻¹)ᵀ。这是因为(Aᵀ)((A⁻¹)ᵀ)=(A⁻¹A)ᵀ=Iᵀ=I。选项B、C、D都是错误的，没有这样的矩阵性质。6.答案：B解析：线性方程组Ax=b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵(A|b)的秩。选项A只是充分条件，不是必要条件，因为当|A|=0时，方程组也可能有解。选项C只是充分条件，不是必要条件。选项D虽然正确，但不是充要条件，而是有解的一个条件。7.答案：A解析：计算|A|=1×(5×9-6×8)-2×(4×9-6×7)+3×(4×8-5×7)=1×(45-48)-2×(36-42)+3×(32-35)=-3+12-9=0。选项B、C、D都是计算错误。8.答案：C解析：如果λ是A的特征值，则1/λ是A⁻¹的特征值（假设λ≠0）。因此选项A是可能的特征值。选项B和D也可能是A⁻¹的特征值，取决于A的具体形式。选项C不可能是A⁻¹的特征值，因为如果0是A⁻¹的特征值，则A⁻¹不可逆，这与A可逆矛盾。9.答案：C解析：选项C是对角矩阵，对角元素就是其特征值，都是实数。选项A和D的特征方程为λ²+1=0，特征值为±i，不是实数。选项B的特征方程为λ²-2λ+2=0，特征值为1±i，不是实数。10.答案：D解析：子空间W不一定等于V，它可以是一个真子空间。选项A、B、C都是子空间的必要条件。11.答案：C解析：如果A²=A，则A的特征值λ满足λ²=λ，即λ(λ-1)=0，所以λ=0或1。选项A和B都只是部分可能，不是全部。选项D是错误的，因为特征值只能是0或1。12.答案：A解析：内积α·β=1×4+2×5+3×6=4+10+18=32。选项B、C、D都是计算错误。13.答案：B解析：实对称矩阵的特征向量可以构成Rⁿ的一组正交基，但不一定是标准基，也不一定构成任意一组基。选项A、C、D都是实对称矩阵的正确性质。14.答案：D解析：矩阵的行列式等于其特征值的乘积，所以|A|=1×2×3=6。选项A、B、C都是错误的。15.答案：B解析：选项A、C是矩阵的通用性质，总是成立。选项D当A和B都可逆时成立。选项B不成立，因为|AB|=|A||B|只在A和B是同阶方阵时成立，这里A是m×n，B是n×m，只有当m=n时才成立。16.答案：B解析：如果α₁,α₂,...,αₙ线性无关，且kᵢ不全为0，则k₁α₁,k₂α₂,...,kₙαₙ也线性无关。选项A不一定成立，例如当n为偶数时，α₁+α₂,α₂+α₃,...,αₙ+α₁可能线性相关。选项C不一定成立，例如当n为偶数时，α₁-α₂,α₂-α₃,...,αₙ-α₁可能线性相关。选项D成立，因为2α₁,2α₂,...,2αₙ与α₁,α₂,...,αₙ有相同的线性关系。17.答案：C解析：如果A²=I，则A可逆，且A⁻¹=A，所以选项A和B成立。A的特征值λ满足λ²=1，所以λ=±1，因此选项D成立。选项C不一定成立，例如A=[-10;01]，则|A|=-1≠1。18.答案：B解析：满足AᵀA=I的矩阵称为正交矩阵。选项A是对称矩阵满足Aᵀ=A。选项C是对角矩阵满足非对角线元素为0。选项D是单位矩阵满足A=I。19.答案：A解析：如果矩阵A的特征值互不相同，则A可以对角化。选项B不一定成立，除非A是实对称矩阵。选项C不一定成立，例如A=[11;02]的特征值不同但不是对称的。选项D是错误的，因为行列式等于特征值的乘积，不为0。20.答案：D解析：选项A、B、C都是矩阵秩的正确性质。选项D不正确，因为如果A的秩为r，则A的任意r+1行向量可能线性相关，不是一定线性无关。二、填空题（每题5分，共100分）1.答案：[-21;1.5-0.5]解析：对于2×2矩阵A=[ab;cd]，其逆矩阵A⁻¹=(1/|A|)[d-b;-ca]。这里|A|=1×4-2×3=-2，所以A⁻¹=(1/-2)[4-2;-31]=[-21;1.5-0.5]。2.答案：0解析：计算|A|=1×(5×9-6×8)-2×(4×9-6×7)+3×(4×8-5×7)=1×(45-48)-2×(36-42)+3×(32-35)=-3+12-9=0。3.答案：[100;080;0027]解析：对角矩阵的幂运算只需将对角元素分别取幂，所以A³=[1³00;02³0;003³]=[100;080;0027]。4.答案：0,2解析：计算特征多项式|A-λI|=|[1-λ1;11-λ]|=(1-λ)²-1=λ²-2λ=λ(λ-2)，所以特征值为0和2。5.答案：32/√2340解析：内积α·β=1×4+2×5+3×6=32。||α||=√(1²+2²+3²)=√14，||β||=√(4²+5²+6²)=√77。所以cosθ=(α·β)/(||α||·||β||)=32/√(14×77)=32/√1078=32/√(49×22)=32/(7√22)=32√22/154=16√22/77。6.答案：16解析：对于3×3矩阵A，|2A|=2³|A|=8×2=16。7.答案：n!解析：矩阵的行列式等于其特征值的乘积，所以|A|=1×2×...×n=n!。8.答案：λ²-(a+d)λ+(ad-bc)解析：特征多项式|A-λI|=|[a-λb;cd-λ]|=(a-λ)(d-λ)-bc=λ²-(a+d)λ+(ad-bc)。9.答案：3解析：向量组α₁,α₂,α₃是单位向量组，线性无关，所以秩为3。10.答案：0解析：如果A²=0，则A的特征值λ满足λ²=0，所以λ=0。11.答案：4解析：对于任何矩阵A，|Aᵀ|=|A|，所以|Aᵀ|=4。12.答案：n(n+3)/2解析：矩阵的迹等于其特征值之和，所以tr(A)=2+3+...+(n+1)=(n+1)(n+2)/2-1=(n²+3n)/2。13.答案：[4-2;-31]解析：对于2×2矩阵A=[ab;cd]，其伴随矩阵adj(A)=[d-b;-ca]，所以adj(A)=[4-2;-31]。14.答案：λ₁ᵏ,λ₂ᵏ,...,λₙᵏ解析：如果λ是A的特征值，对应的特征向量为v，则Aᵏv=λᵏv，所以Aᵏ的特征值为λ₁ᵏ,λ₂ᵏ,...,λₙᵏ。15.答案：1/3,0解析：α在β上的正交投影系数为(α·β)/(β·β)=(1×1+1×(-1)+1×0)/(1²+(-1)²+0²)=0/2=0。β在α上的正交投影系数为(α·β)/(α·α)=(1×1+1×(-1)+1×0)/(1²+1²+1²)=0/3=0。但题目要求的是α与β的正交投影系数，通常指的是α在β上的投影系数，即0。16.答案：BᵀAᵀ解析：矩阵乘积的转置等于转置矩阵的反序乘积，即(AB)ᵀ=BᵀAᵀ。17.答案：1/λ₁,1/λ₂,...,1/λₙ解析：如果λ是A的特征值，对应的特征向量为v，则A⁻¹v=(1/λ)v，所以A⁻¹的特征值为1/λ₁,1/λ₂,...,1/λₙ。18.答案：[100;00.50;001/3]解析：对角矩阵的逆矩阵只需将对角元素取倒数，所以A⁻¹=[1/100;01/20;001/3]=[100;00.50;001/3]。19.答案：-aₙ₋₁解析：特征多项式p(λ)=|A-λI|=(-1)ⁿ(λⁿ-tr(A)λⁿ⁻¹+...+(-1)ⁿ|A|)，与给定的p(λ)=λⁿ+aₙ₋₁λⁿ⁻¹+...+a₁λ+a₀比较，得到tr(A)=-aₙ₋₁。20.答案：(-1)ⁿa₀解析：特征多项式p(λ)=|A-λI|，当λ=0时，p(0)=|A|=a₀。但根据特征多项式的定义，p(λ)=(-1)ⁿ|λI-A|，所以|A|=(-1)ⁿp(0)=(-1)ⁿa₀。三、判断题（每题5分，共50分）1.答案：正确解析：矩阵的行列式与其转置的行列式相等，这是行列式的基本性质之一。2.答案：正确解析：如果|A|=0，则A的特征值的乘积为0，所以至少有一个特征值为0。3.答案：错误解析：矩阵的特征值都是实数不一定可以对角化，还需要有n个线性无关的特征向量。例如矩阵A=[11;01]的特征值都是1（实数），但不能对角化。4.答案：正确解析：如果矩阵的特征值互不相同，则对应的特征向量线性无关，因此有n个线性无关的特征向量，可以对角化。5.答案：正确解析：实对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量，这是实对称矩阵的重要性质。6.答案：错误解析：如果A²=I，则A的特征值λ满足λ²=1，所以λ=±1。但是，如果A是奇异矩阵（不可逆），则0也可能是特征值。例如A=[01;00]，A²=0≠I，所以这个例子不满足条件。实际上，如果A²=I，则A可逆，因为AA=I，所以A的逆是A本身，因此特征值不能为0。7.答案：正确解析：如果AᵀA=I，则|AᵀA|=|I|=1，而|AᵀA|=|Aᵀ||A|=|A|²，所以|A|²=1，因此|A|=±1。8.答案：错误解析：|AB|和|BA|只有在A和B是同阶方阵时才相等。如果A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且m≠n，则|AB|和|BA|可能不相等。例如A=[10]，B=[0;1]，则AB=[0]，|AB|=0；BA=[00;10]，|BA|=0。这个例子相等，但考虑A=[10]，B=[1;0]，则AB=[1]，|AB|=1；BA=[10;00]，|BA|=0，不相等。9.答案：正确解析：矩阵的迹等于其特征值之和，这是矩阵的基本性质之一。10.答案：正确解析：矩阵的行列式等于其特征值的乘积，这是矩阵的基本性质之一。四、计算题（每题15分，共150分）1.解：计算|A|=1×(5×9-6×8)-2×(4×9-6×7)+3×(4×8-5×7)=1×(45-48)-2×(36-42)+3×(32-35)=-3+12-9=02.解：对于2×2矩阵A=[ab;cd]，其逆矩阵A⁻¹=(1/|A|)[d-b;-ca]。这里|A|=1×4-2×3=-2，所以A⁻¹=(1/-2)[4-2;-31]=[-21;1.5-0.5]。3.解：计算特征多项式|A-λI|=|[1-λ10;1-λ1;011-λ]|。按第一行展开：(1-λ)·|[-λ1;11-λ]|-1·|[11;01-λ]|+0=(1-λ)·[(-λ)(1-λ)-1]-1·[1·(1-λ)-0]=(1-λ)·(λ²-λ-1)-(1-λ)=(1-λ)(λ²-λ-1-1)=(1-λ)(λ²-λ-2)=(1-λ)(λ-2)(λ+1)所以特征值为λ₁=1，λ₂=2，λ₃=-1。对于λ₁=1，解(A-I)X=0：[010;101;010]X=0得到x₂=0，x₁+x₃=0，所以特征向量为k(1,0,-1)ᵀ，k≠0。对于λ₂=2，解(A-2I)X=0：[-110;1-21;01-1]X=0得到-x₁+x₂=0，x₁-2x₂+x₃=0，x₂-x₃=0，所以x₁=x₂=x₃，特征向量为k(1,1,1)ᵀ，k≠0。对于λ₃=-1，解(A+I)X=0：[210;111;012]X=0得到2x₁+x₂=0，x₁+x₂+x₃=0，x₂+2x₃=0，所以x₁=-x₂/2，x₃=-x₂/2，特征向量为k(-1,2,-1)ᵀ，k≠0。4.解：使用高斯消元法解线性方程组：增广矩阵为：[111|6][2-11|3][12-1|2]第一行保持不变，第二行减去2倍的第一行，第三行减去第一行：[111|6][0-3-1|-9][01-2|-4]交换第二行和第三行：[111|6][01-2|-4][0-3-1|-9]第三行加上3倍的第二行：[111|6][01-2|-4][00-7|-21]回代：-7z=-21⇒z=3y-2z=-4⇒y-6=-4⇒y=2x+y+z=6⇒x+2+3=6⇒x=1所以解为x=1，y=2，z=3。5.解：计算特征多项式|A-λI|=|[2-λ1;12-λ]|=(2-λ)²-1=λ²-4λ+3=(λ-1)(λ-3)，所以特征值为λ₁=1，λ₂=3。对于λ₁=1，解(A-I)X=0：[11;11]X=0得到x₁+x₂=0，所以特征向量为k(1,-1)ᵀ，k≠0。对于λ₂=3，解(A-3I)X=0：[-11;1-1]X=0得到-x₁+x₂=0，所以特征向量为k(1,1)ᵀ，k≠0。令P=[11;-11]，则P⁻¹AP=diag(1,3)。6.解：使用初等行变换将矩阵A化为行阶梯形：[123][456][789]第二行减去4倍的第一行，第三行减去7倍的第一行：[123][0-3-6][0-6-12]第三行减去2倍的第二行：[123][0-3-6][000]所以矩阵A的秩为2。7.解：内积α·β=1×4+2×5+3×6=32。||α||=√(1²+2²+3²)=√14||β||=√(4²+5²+6²)=√77所以cosθ=(α·β)/(||α||·||β||)=32/√(14×77)=32/√1078=32/√(49×22)=32/(7√22)=32√22/154=16√22/77。8.解：计算A²=A·A=[12;34]·[12;34]=[1×1+2×31×2+2×4;3×1+4×33×2+4×4]=[710;1522]A³=A²·A=[710;1522]·[12;34]=[7×1+10×37×2+10×4;15×1+22×315×2+22×4]=[3754;81118]9.解：使用初等行变换求A的逆矩阵：[110|100][011|010][101|001]第三行减去第一行：[110|100][011|010][0-11|-101]第三行加上第二行：[110|100][011|010][002|-111]第三行除以2：[110|100][011|010][001|-0.50.50.5]第二行减去第三行：[110|100][010|0.50.5-0.5][001|-0.50.50.5]第一行减去第二行：[100|0.5-0.50.5][010|0.50.5-0.5][001|-0.50.50.5]所以A⁻¹=[0.5-0.50.5;0.50.5-0.5;-0.50.50.5]10.解：计算特征多项式|A-λI|=|[3-λ1;13-λ]|=(3-λ)²-1=λ²-6λ+8=(λ-2)(λ-4)，所以特征值为λ₁=2，λ₂=4。对于λ₁=2，解(A-2I)X=0：[11;11]X=0得到x₁+x₂=0，所以特征向量为k(1,-1)ᵀ，k≠0。单位化：u₁=(1/√2)(1,-1)ᵀ对于λ₂=4，解(A-4I)X=0：[-11;1-1]X=0得到-x₁+x₂=0，所以特征向量为k(1,1)ᵀ，k≠0。单位化：u₂=(1/√2)(1,1)ᵀ令P=[u₁u₂]=(1/√2)[11;-11]，则P是正交矩阵，且P⁻¹AP=diag(2,4)。五、证明题（每题20分，共100分）1.证明：设A是n阶矩阵，且A的特征值互不相同，分别为λ₁,λ₂,...,λₙ，对应的特征向量为v₁,v₂,...,vₙ。要证明v₁,v₂,...,vₙ线性无关，使用数学归纳法。当n=1时，v₁≠0（因为特征向量非零），所以线性无关。假设对于n-1个互不相同的特征值对应的特征向量线性无关。对于n个特征值，假设存在不全为零的数c₁,c₂,...,cₙ，使得c₁v₁+c₂v₂+...+cₙvₙ=0。两边左乘A，得到c₁Av₁+c₂Av₂+...+cₙAvₙ=0，即c₁λ₁v₁+c₂λ₂v₂+...+cₙλₙvₙ=0。将第一个等式乘以λₙ，得到c₁λₙv₁+c₂λₙv₂+...+cₙλₙvₙ=0。与第二个等式相减，得到c₁(λ₁-λₙ)v₁+c₂(λ₂-λₙ)v₂+...+cₙ₋₁(λₙ₋₁-λₙ)vₙ₋₁=0。根据归纳假设，v₁,v₂,...,vₙ₋₁线性无关，所以c₁(λ₁-λₙ)=c₂(λ₂-λₙ)=...=cₙ₋₁(λₙ₋₁-λₙ)=0。