空间向量的坐标与空间直角坐标系新授课（第一课时）（教学课件）-2026-2027学年高二上学期人教B版(2019)选择性必修第一册

人教B版(2019)选择性必修第一册1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系（第一课时）第一章空间向量与立体几何学习目标掌握空间向量正交分解的概念及坐标表示，体现逻辑推理能力（重点）掌握空间向量平行、垂直的坐标表示，并且解决问题，体现数学计算能力（难点）能正确地运用空间向量的坐标，进行向量的线性运算与数量积运算，体现逻辑推理能力（重点）新课导入OAijxy平面向量基本定理：如果两向量a，b不共线，那么对于平面中任意向量p，都存在唯一确定的有序数对{x，y}，使p=xa+yb.此时，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系.如图，对于平面内任一向量p=xi+yj，此时(x，y)即为p的坐标.即p=(x，y)

如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗？xaOQPpacbybzcBCAαabc新课导入空间向量基本定理:如果三个向量a，b，c不共面，那么对于空间中任意向量p，都存在唯一确定的有序数组{x，y，z}，使p=xa+yb+zc.由平面向量基本定理类似可以得：平面向量中，我们借助平面向量基本定理以及两个互相垂直的单位向量，引进了平面向量的坐标．空间向量是否可以引进类似的坐标？如何得到空间向量坐标？新课学习尝试与发现：新课学习尝试与发现：(2)如果p是空间中任意一个向量，怎样才能写出p在基底{e1，e2，e3}下的分解式？将向量p的始点平移到点O，然后过它的终点分别作与e1，e2，e3所在直线垂直的平面，即可写出它在基底{e1，e2，e3}下的分解式.新课学习单位正交基底的概念一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底新课学习单位正交分解的概念在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p=xe1+ye2+ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p=(x，y，z)其中x，y，z都称为p的坐标分量.(x，y，z)e1e2e3新课学习(x，y，z)e1e2e3空间向量的坐标(1)单位正交基底：一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底.(2)单位正交分解：在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解.(3)向量p的坐标：在单位正交基底下向量p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量.新课学习例1：已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标：(1)p=2e1+3e2+e3;(2)q=-e1+e2-2e3;(3)r=-2e2-e3;(4)0.(1)p=(2，3，1)；(2)q=(-1，1，-2)；(3)r=(0，-2，-1)；(4)因为0=0e1+0e2+0e3，所以0=(0，0，0).解析：新课学习思考一下：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示吗？假设空间中两个向量a，b满足a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，当a=b时，有也就是说

a=x1e1+y1e2+z1e3，b=x2e1+y2e2+z2e3，x1e1+y1e2+z1e3=x2e1+y2e2+z2e3，由{e1，e2，e3}是单位正交基底和空间向量基本定理可知

x1=x2，y1=y2，z1=z2反之结论也成立.即：空间中两个向量相等的充要条件是它们的坐标分量对应相等.新课学习思考一下：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示吗？因为a+b=x1e1+y1e2+z1e3+x2e1+y2e2+z2e3=(x1+x2)e1+(y1+y2)e2+(z1+z2)e3所以a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2).同理可得，如果u，v是两个实数，那么ua+vb=(ux1+vx2，uy1+vy2，uz1+vz2).因为{e1，e2，e3}是单位正交基底，所以e1·e1=e2·e2=e3·e3=1，e1·e2=e2·e3=e3·e1=0新课学习思考一下：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示吗？因此a·b=(x1e1+y1e2+z1e3)·(x2e1+y2e2+z2e3)=x1x2e1·e1+y1y2e2·e2+z1z2e3·e3+(x1y2+x2y1)e1·e2+(y1z2+y2z1)e2·e3+(x1z2+x2z1)e3·e1

=x1x2+y1y2+z1z2即a·b=x1x2+y1y2+z1z2.特别地，当a≠0且b≠0时，由向量数量积的定义可知平面向量的坐标运算归纳总结空间向量的坐标运算若空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则：向量运算向量表示坐标表示相等a＝b_____________________加法a＋b______________________线性运算μa＋vb____________________________x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)(μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2)归纳总结空间向量的坐标运算若空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则：向量运算向量表示坐标表示数量积a·b_______________模____________夹角_______________________x1x2＋y1y2＋z1z2新课学习例2：已知a=(-2，3，5)，b=(3，-3，2)，求下列向量的坐标：(1)a-b;(2)2a+b;(3)-5b.(1)a-b=(-2，3，5)-(3，-3，2)=(-2-3，3+3，5-2)=(-5，6，3).(2)2a+b=2(-2，3，5)+(3，-3，2)=(-4，6，10)+(3，-3，2)=(-1，3，12).(3)-5b=-5(3，-3，2)=(-15，15，-10).解析：新课学习例3：已知a=(1，0，1)，b=(2，-2，0)，求〈a，b〉.

因为a·b=1×2+0×(-2)+1×0=2，所以因此〈a，b〉=60°.解析：新课学习尝试与发现：我们已经知道，如果a，b是空间向量：(1)当a≠0时，a//b的充要条件是存在实数λ，使得b=λa;(2)a⊥b的充要条件是a·b=0.如果已知a，b的坐标，即a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，那么上述结论怎样用它们的坐标表示？可以看出，当a≠0时，a//bb=λa(x2，y2，z2)=λ(x1，y1，z1)新课学习当a的每一个坐标分量都不为零时，有a⊥ba·b=0x1x2+y1y2+z1z2=0.而且新课学习例4：(1)已知a=(1，-1，1)，b=(x，y，z)，且a//b，求x，y，z所要满足的关系式；因为a=(1，-1，1)的每一个坐标分量均不为零，因此(1)空间向量的平行不一定有传递性，比如a∥b，a∥c，其中当a＝0，时b，c不一定平行.(2)若两个向量平行，其中一个向量的坐标分量为0时，则相应的另一个向量的坐标分量也一定为0.提醒新课学习(2)已知c=(-1，-1，1)，d=(2，-2，6)，求一个非零空间向量n，使得n⊥c且n⊥d.设n=(x，y，z)，则将z看成已知数，求解方程组可得x=-z，y=2z，因此n=(-z，2z，z)=z(-1，2，1)，取z=1，可得满足条件的一个非零空间向量n=(-1，2，1).空间中同时垂直于两个不共线向量的空间向量有无数个，而且这无数个向量是相互平行的.例5已知a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2).(1)若|c|＝3，且c∥(a－b)，求c；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.解：(1)a－b＝(2，1，－2).∵c∥(a－b)，设c＝λ(a－b)，即c＝λ(2,1，－2)＝(2λ，λ，－2λ)，∴c＝(2，1，－2)或c＝(－2，－1，2).例3已知a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2).(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.(2)∵ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4).又(ka＋b)⊥(ka－2b)，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0.即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.课堂练习A课堂练习B课堂练习3.(多选)下列每组中的两个向量满足平行的是()A.(5，0，5)，(0，5，0) B.(0，0，1