双曲线及其标准方程（二）　第2课时　高二上学期数学人教A版选择性必修+第一册

第2课时双曲线及其标准方程（二）目录典型例题·精研析02知能演练·扣课标03典型例题·精研析01课堂互动关键能力提升

题型一与双曲线有关的轨迹问题

通性通法与曲线有关的轨迹问题的求解步骤第一步：根据题设建立适当的平面直角坐标系，并结合图形灵活运用

条件确定动点满足的等量关系式；第二步：根据动点满足的等量关系式的几何意义，结合有关曲线的定

义确定轨迹的形状；第三步：确定曲线方程中的参数并写出方程；第四步：验证所得到的曲线方程是否满足题意.【跟踪训练】

如图所示，已知定圆

F1：（

x

＋5）2＋

y2＝1，定圆

F2：（

x

－5）2

＋

y2＝16，动圆

M

与定圆

F1，

F2都外切，求动圆圆心

M

的轨迹方程.解：圆

F1：（

x

＋5）2＋

y2＝1，圆心

F1（－5，0），半径

r1＝1；

题型二与双曲线定义有关的最值问题

通性通法

（1）若定点

Q

（

x0，

y0）与双曲线右焦点

F2在双曲线右支的同

侧，则｜

MQ

｜＋｜

MF2｜的最小值是｜

QF1｜－2

a

，最大

值不存在；（2）若定点

Q

（

x0，

y0）与双曲线右焦点

F2在双曲线右支的异侧，

则｜

MQ

｜＋｜

MF2｜的最小值是｜

QF2｜，最大值不存在.【跟踪训练】

解析：双曲线的两个焦点

F1（－4，0），

F2（4，0）分别为两圆的圆

心，且两圆的半径分别为

r1＝2，

r2＝1，易知｜

PM

｜max＝｜

PF1｜＋

2，｜

PN

｜min＝｜

PF2｜－1，故｜

PM

｜－｜

PN

｜的最大值为｜

PF1｜＋2－（｜

PF2｜－1）＝｜

PF1｜－｜

PF2｜＋3＝2＋3＝5.5

题型三双曲线的实际应用【例3】

由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护

航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航.某日，甲舰在乙舰

正东方向6km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4km处，某时刻

甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4s

后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1km/s，若

甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？

通性通法利用双曲线解决实际问题的步骤（1）建立适当的坐标系；（2）求出双曲线的标准方程；（3）根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题（注意实际意义）.【跟踪训练】某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路

AP

，

BP

运到

P

处（如图），｜AP

｜＝100m，｜

BP

｜＝150m，∠

APB

＝60°，试说明怎样运土才能最省工.

1.已知点

F1（0，－13），

F2（0，13），动点

P

到

F1与

F2的距离之差

的绝对值为26，则动点

P

的轨迹方程为（

）A.

y

＝0B.

y

＝0（｜

x

｜≥13）C.

x

＝0（｜

y

｜≥13）D.以上都不对解析：

∵｜｜

PF1｜－｜

PF2｜｜＝｜

F1

F2｜，∴点

P

的轨迹是

分别以

F1，

F2为端点的两条射线，∴点

P

的轨迹方程为

x

＝0（｜

y

｜≥13）.2.（2024·淮安月考）相距4

k

m的

A

，

B

两地，听到炮弹爆炸的时间相

差2s，若声速为每秒

k

m，则炮弹爆炸点

P

的轨迹可能是（

）A.圆B.双曲线C.椭圆D.直线解析：

由已知条件可得｜｜

PA

｜－｜

PB

｜｜＝2

k

＜4

k

＝｜

AB

｜，根据双曲线的定义可知，点

P

在以

A

，

B

为焦点的双曲线上.

故选B.3.已知点

A

（0，2），

B

（0，－2），

C

（3，2），若动点

M

（

x

，

y

）满足｜

MA

｜＋｜

AC

｜＝｜

MB

｜＋｜

BC

｜，求点

M

的轨迹方程.

知能演练·扣课标02课后巩固核心素养落地

1.设定点

F1（0，－3），

F2（0，3），动点

P

（

x

，

y

）满足条件｜

PF1｜－｜

PF2｜＝4，则动点

P

的轨迹是（

）A.双曲线B.双曲线的一支C.不存在D.双曲线或线段或不存在12345678910111213141516解析：

因为定点

F1（0，－3），

F2（0，3），动点

P

（

x

，

y

）

满足条件｜

PF1｜－｜

PF2｜＝4＜｜

F1

F2｜，所以根据双曲线的定

义及｜

PF1｜＝4＋｜

PF2｜＞｜

PF2｜，可知动点

P

的轨迹是双曲

线的一支，故选B.123456789101112131415162.设动点

P

到

A

（－5，0）的距离与它到

B

（5，0）距离的差等于6，

则

P

点的轨迹方程是（

）

12345678910111213141516

12345678910111213141516

123456789101112131415164.已知点

M

（－3，0），

N

（3，0），

B

（1，0），动圆

C

与直线

MN

相切于点

B

，过

M

，

N

与圆

C

相切的两直线相交于点

P

，则

P

点

的轨迹方程为（

）12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

123456789101112131415167.在△

ABC

中，

a

，

b

，

c

分别是内角

A

，

B

，

C

的对边，且

a

＝10，

c

－

b

＝6，若以

BC

所在直线为

x

轴，

BC

的中点为原点建立平面直角

坐标系，则顶点

A

运动的轨迹方程是

⁠.

12345678910111213141516

8.已知动点

M

与两定点

A

（－1，0），

B

（1，0）构成△

MAB

，且直

线

MA

，

MB

的斜率之积为4.设动点

M

的轨迹为

C

，则轨迹

C

的方程

为

⁠.

12345678910111213141516

4＋4

1234567891011121314151610.设动圆

M

的半径为

r

，分别求满足下列条件的圆心

M

的轨迹方程：（1）与圆

C

：（

x

＋2）2＋

y2＝2内切，且过点

A

（2，0）；

12345678910111213141516（2）与圆

C1：（

x

＋3）2＋

y2＝9外切，且与圆

C2：（

x

－3）2＋

y2＝1内切.

12345678910111213141516

11.半径不等的两定圆

O1，

O2无公共点（

O1，

O2是两个不同的点），

动圆

O

与圆

O1，

O2都内切，则圆心

O

的轨迹是（

）A.双曲线的一支B.椭圆或圆C.双曲线的一支或椭圆或圆D.双曲线的一支或椭圆12345678910111213141516解析：

两定圆

O1，

O2无公共点，则它们的位置关系是外离

或内含.设两定圆

O1，

O2的半径分别为

r1，

r2（

r1＞

r2），圆

O

的半径为

R

.

又圆

O

与圆

O1，

O2都内切，则当两圆

O1，

O2外

离时，｜

OO1｜＝

R

－

r1，｜

OO2｜＝

R

－

r2，∴｜

OO2｜

－｜

OO1｜＝

r1－

r2＜｜

O1

O2｜，此时圆心

O

的轨迹是双曲线

的一支；当两圆

O1，

O2内含时，｜

OO1｜＝

r1－

R

，｜

OO2｜

＝

R

－

r2，∴｜

OO2｜＋｜

OO1｜＝

r1－

r2＞｜

O1

O2｜，此时

圆心

O

的轨迹是椭圆.故选D.12345678910111213141516

A.椭圆B.双曲线C.一条直线D.圆12345678910111213141516解析：

连接

PC1，

PC2（图略），设动圆

P

的半径为

r

，当｜

r1－

r2｜＞4时，不妨设

r1－

r2＞4，此时圆

C1与

C2内含.若动圆

P

与圆

C1内切且与圆

C2外切，则｜

PC1｜＝

r1－

r

，｜

PC2｜＝

r

＋

r2，即｜

PC1｜＋｜

PC2｜＝

r1＋

r2；若动圆

P

与两圆都内切，同理可得｜

PC1｜＋｜

PC2｜＝

r1－

r2.因此当｜

r1－

r2｜＞4时，动点

P

的轨迹是椭圆.当

r1＋

r2＜4时，两圆外离.若动圆

P

与两圆都外切或内切，则｜｜

PC1｜－｜

PC2｜｜＝｜

r1－

r2｜，所以动点

P

的轨迹是双曲线或一条直线；若动圆

P

与两圆一外切一内切，则｜｜

PC1｜－｜

PC2｜｜＝｜

r1＋

r2｜，所以动点

P

的轨迹是双曲线.故选A、B、C.12345678910111213141516

－2

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

2

k

（

a

－

m

）

12345678910111213141516