机械基础全套课件

人类从使用简单工具到今天能够设计复杂的现代机械，经历了漫长的过程。随着生产的不断发展，品种繁多的机械进入了社会的各个领域，承担着大量人力所不能或不便进行的工作，大大改善了劳动条件，提高了生产率。绪

论第一节引言

新中国成立后，我国科学技术有了巨大的发展，万吨水压机、万吨远洋货轮的制造；人造卫星的太空遨游以及大型精密的高新技术设备的生产等等，都标志着我国的机械工业正在朝着世界先进水平迈进，有的已处于领先地位。

图0-1所示为带式输送机示意图，它是由电动机1、小带轮2、大带轮3、主动齿轮4、从动齿轮5、联轴器6、滚筒7、输送带8、箱体和支承轴等组成。

机械是机器和机构的总称。

一、机器和机构

机器在人们感性认识中早已形成，如蒸汽机、内燃机、发电机、电梯、机器人及各种机床。第二节机械概述机器都具有如下特征：

都是人为的各种实物的组合；

各种实物间具有确定的相对运动；

可代替或减轻人的劳动，有效地完成机械功或转换机械能。

凡具备上述三个特征的实物组合体称为机器。

机构

具有确定的相对运动的各种实物的组合，实物间，即符合机器的前两个特征。

如图所示，齿轮4、5、箱体等组成的齿轮传动机构；滚筒与输送带组成的工作机构。机构主要用来传递和变换运动，而机器主要用来传递和变换能量，从结构和运动学的角度来分析，机器与机构之间并无区别。

二、零件与构件

机器是由若干不同零件组装而成，零件是组成机器的基本要素，即机器的最小制造单元。各种机器经常用到的零件称为通用零件，如螺钉、螺母、轴、齿轮、弹簧等。在特定的机器中用到的零件称为专用零件。如汽轮机中的叶片、起重机的吊钩、内燃机中的曲轴、连杆、活塞等。

构件是机器的运动单元，一般由若干个零件刚性联接而成，也可以是单一的零件。

三、机器的组成

根据功能的不同，一部完整的机器由以下几部分组成：

原动机部分

图示电动机，是机器的动力来源。常用的原动机有电动机、内燃机及液压机等；

工作机部分

处于整个机械传路线终端，是完成工作任务的部分，如前图中的滚筒和输送带。

传动部分

介于原动机与工作机之间，起的作用是把原动机的运动和动力传递给工作机，如图带传动和齿轮传动。但也有一些机器原动机直接驱动工作机。

较复杂的机器还包括控制部分，如控制离合器、制动器、变速器等，能够使机器的原动机部分，传动机和工作机部分按一定的顺序和规律运动，完成给定的工作循环。

四、机械的类型

机械种类较多，根据用途不同，可分为：

动力机械如电机、内燃机、发电机、液压机等，主要用来实现机械能量转换成其他形式的能量。

加工机械如轧钢机、包装机及各类机床，主要用来改变物料的结构形状、性质及状态。

运输机械如汽车、飞机、轮船、输送机等，主要用来改变人或物料的空间位置。

信息机械如复印机、传真机、摄像机;主要用来获取或处理各种信息。

本课程是一门综合性的技术基础课。

一、具体内容

工程力学

各种机械设备都是由若干构件组成，由于构件工作时往往承受载荷作用。这就需要用力学分析的方法，对构件承载能力加以分析，使之工作可靠。

机械工程材料

介绍机械工程材料组织结构、成份和性能，为提高及挖掘材料的潜能而进行的热处理方法，以及合理地选择机械工程材料。

第三节本课程的性质、内容和任务

公差与配合

介绍机械零件几何精度、互换性、标准化及有关公差与配合的基本知识，学习国家标准的相关内容。

机械设计

主要讲述机械中的常用机构和通用零件的工作原理，运动特性，结构特点和设计方法等。同时，简要地介绍国家标准，标准零部件的选用原则，以及机器设备的使用与维护。二、本课程的任务

（1）能熟练地运用力学平衡条件求解简单力系的平衡问题。掌握零部件的受力分析和强度计算方法；

（2）了解常用工程材料种类、牌号、性能、应用和热处理知识。合理选用常用金属材料。正确选定一般零件的热处理工艺方法；

（3）掌握有关公差标准基本内容和主要规定。对图样上的常见公差配合能正确理解，具有选用公差与配合的初步能力；

（4）熟悉通用零件的工作原理、特点、应用及其结构和标准，掌握通用零件的选用和设计的基本原理和方法；

（5）具有与本课程有关的解题、运算、绘图能力和应用标准、手册、图册等有关技术资料的能力。具备正确分析、使用及维护机械的能力。初步具有设计通用零件和简单机械传动装置的能力。机器的运行是由于力的作用引起的，构件的受力情况直接影响机器的工作能力。

力是物体间相互的机械作用。力的作用有两种效应：使物体的机械运动状态发生变化和使物体的形状发生改变，前者称为运动效应，后者称为变形效应。

力系是指作用于被研究物体上的一组力。物体平衡时的力系称为平衡力系。

刚体就是指在力系作用下不会变形的物体。

第一章构件的静力分析一、力的三要素

力对物体的作用效应，决定于力的大小、方向和作用点。这三个因素通常称为力的三要素，当这三个要素中任何一个改变时，力的作用效应就会改变。

力的单位采用牛（N）或千牛（kN）。第一节

静力分析基础力是矢量，可用一带箭头的有向线段表示。图中的有向线段AB，按一定的比例尺所作的线段长度AB表示力的大小；箭头的指向表示力的方向；线段的起点（或终点）表示力的作用点；通过力的作用点沿力的方向的直线称为力的作用线。二、静力学公理

1．二力平衡公理

刚体仅受两力作用而保持平衡的充分必要条件是：两力大小相等、方向相反，且作用在同一直线上。如图所示，即F1=F2在两个力作用下处于平衡的刚体，称为二力构件，又称为二力杆。二力构件受力的特点是两个力的作用线必沿其作用点的连线，且等值、反向。2．加减平衡力系公理

在任意一个已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不会改变原力系对刚体的作用效应。

力的可传性推理：作用在刚体上的力，沿其作用线移到刚体上任意一点，不会改变它对刚体的作用效应。3．平行四边形公理

作用于物体上某一点的两个力，可以合成为一个合力，其作用点也在该点，合力的大小和方向由两已知力为边所构成的平行四边形的对角线确定。此公理也称为平行四边形法则。力的合成法则可写成矢量式

F=F1+F2

运用前面的公理，还可以得出三力平衡汇交定理：若刚体受到同一平面内互不平行的三个力作用而平衡时，则该三力的作用线必汇交于一点。如图所示刚体受到三个互不平行的力F1、F2和F3作用，当刚体处于平衡时，三力的作用线必汇交于O点。

4.作用力与反作用力公理

两物体之间的作用力与反作用力，总是同时存在，且两力等值、反向、共线，分别作用在这两个物体上。

车刀在工件上切削，车刀作用在工件上的切削力为Fp，与此同时，工件必有一反作用力Fp’作用在车刀上。这两个力Fp，、Fp’总是等值、反向、共线的。必须注意，由于作用力与反作用力作用在两个物体上，因此不能说成是一对平衡力。

三、约束与约束反力

在工程中，构件总是以一定的形式与周围其它构件相互联接的，例如转轴受到轴承的限制，使其只能产生绕轴心的转动；汽车受到地面的限制，使其只能沿路面运动等。

这种限制物体运动的周围物体，称为约束。上面的轴承就是转轴的约束，地面是汽车的约束。

物体的受力可分为两类：主动力和约束反力。主动力是指使物体产生运动或运动趋势的力，如物体的重力、零件的载荷等。而约束对物体运动起限制作用的力称为约束反力。由于约束的作用是限制物体的运动，所以约束反力的方向总与限制的运动方向相反，其作用点在约束与被约束物体相互连结或接触之处。

工程中约束的种类很多，下面介绍几种典型的约束模型。

（一）柔性约束

由线绳、链条或胶带等非刚性体所形成的约束。它们只能受拉不能受压，约束反力的方向沿着中心线而背离被约束物体。约束反力通常用符号FT来表示。图中线绳上的约束反力FT1

和FT2

。

（二）光滑面约束

物体与光滑面成点、线、面刚性接触（摩擦力很小，可忽略不计）所形成的约束。其约束反力的方向沿为接触表面的公法线并指向被约束物体。这种约束反力也称为法向反力，通常用符号FN来表示，如图中的FN。

（三）光滑铰链约束

物体经圆柱铰链连接所形成的约束。如图a所示根据光滑面约束反力的特点，销钉对物体的约束反力应沿接触点K处的公法线通过物体圆孔中心（即铰链中心）。但因为主动力的方向不能预先确定，接触点不能确定，所以约束反力FR的方向也不能预先确定。画约束反力FR时，通常用两个通过铰链中心的互相垂直的分力Fx和Fy来表示，如图b所示。

根据被连接物体的形状、位置及作用，光滑圆柱铰链约束又可分为：中间铰链约束，如图a；固定铰链支座约束，如图b和活动铰链支座约束，如图c。由于活动铰链支座约束只能限制物体沿支承面法线方向的运动，因此其约束反力FR的作用线通过销钉中心且垂直于支承面。（四）固定端约束

物体的一部分固嵌于另一物体所构成的约束，称为固定端约束。如车床刀架上的刀具（图a）、卡盘上的工件（图b）等都属于这种约束。

固定端约束的构件可以用一端插入刚体内的悬臂梁来表示（图a），这种约束限制物体沿任何方向的移动和转动，其约束作用包括限制移动的两个正交约束反力FAx、FAy和限制转动的约束反力偶MA（图c）。四、受力图

在对物体进行受力分析时，为了清楚地表示物体的受力情况，需将研究对象从周围的物体中分离出来，即解除全部约束，成为分离体。为了使分离体的受力情况与原来的受力情况一致，必须在分离体上画出所有主动力，在解除约束的地方画出相应的约束反力。这样所得到的画有分离体及其全部主动力和约束反力的简图称为受力图。

例1-1重W的均质圆球O，由杆AB、绳索BC与墙壁来支持，如图a所示。各处摩擦与杆重不计，试分别画出球O和杆AB的受力图。

例1-2

图a所示的结构，由杆AC、CD与滑轮B铰接组成。物重W，用绳子挂在滑轮上。如杆、滑轮及绳子的自重不计，并忽略各处的摩擦，试分别画出滑轮B、重物、杆AC、CD及整体的受力图。

第二节平面汇交力系

静力分析的主要问题是力系的合成与平衡。

按照力系中各力是否作用在同一平面，可将力系分为平面力系各空间力系两类；

按照力系中各力是否相交或平行，力系又可分为汇交力系、平行力系和任意力系。

本节主要研究平面汇交力系的合成与平衡问题。分析平面汇交力系一般有两种方法：几何法与解析法。

一、平面汇交力系合成的几何法

（一）力的三角形法则

设有F1和F2两力作用于某刚体的A点，在求合力时可不画出整个平行四边形。如图b所示，这种通过画三角形求合力的方法称为力的三角形法则。

（二）力的多边形法则

设刚体上作用有一平面汇交力系F1、F2

和F3，如图a所示。现求其合力。

把各分力矢量首尾相接，得到一开口的多边形ABCD，然后将第一个力矢量F1的起点A和最后一个力矢量F3的终点D相连，作为多边形的封闭边，所得矢量就代表该力系合力F的大小和方向。

运用力多边形求合力时，可以任意变换各分力矢量的次序，得到不同形状的力多边形，但求得的合力F不变，如图c所示。

F=F1+F2

+…+Fn=∑

Fi

二、平面汇交力系合成的解析法

解析法的基础是力在坐标轴上的投影，它是利用平面汇交力系在直角坐标轴上的投影来求力系合力的一种方法。

（一）力在直角坐标轴上的投影

设刚体的某点A作用一力F，在F的平面内取直角坐标系xOy。从力F的两端A和B分别向x、y轴作垂线，得线段ab和a1b1，如图a所示。线段ab和a1b1分别为力F在x、y轴上投影的大小，分别以Fx与Fy来表示。

力F的指向由Fx

与Fy

的正负号确定。力的投影是代数量，其正负规定如下：若从a到b（或a1到b1）的指向与坐标轴正向一致时，投影值为正，反之为负。如图a中的Fx与Fy均为正值，图b中的Fx与Fy均为负值。如果把力F沿两直角坐标轴分解，可得到两正交分力Fx和Fy，其大小与力F在相应坐标轴上的投影的绝对值相等，如图a所示。必须注意，力的投影与分力是不同的，投影是代数量，而分力是矢量，两者不可混淆。

若已知力F的大小为F，它与x轴所夹锐角为

，则由图可知：

Fx

=±Fcosα

Fy=±Fsin

α

反之，若已知力F在x、y轴上投影Fx与Fy，则由图中的几何关系，可得：

tgα

=|Fy/Fx|

（二）合力投影定理

设在刚体上有一平面汇交力系F1、F2、F3，用力多边形法则可知其合力为F，如图所示。取坐标系xOy，将合力F及力系中的各力F1、F2、F3向x轴投影，由图可得：

ad=ab+bc-cd

即

Fx

=F1x+F2x+F3x

同理有

Fy

=F1y+F2y+F3y

显然，上述关系可以推广到由n个力F1、F2、…、Fn组成的平面汇交力系，从而得出：

Fx

=F1x+F2x+…+

Fnx

=∑Fx

Fy

=F1y+F2y+…+

Fny

=∑Fy

即合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。这一关系称为合力投影定理。算出合力F的投影后，即可求出合力F的大小与方向：

式中

α是合力F与x轴间所夹的锐角。合力F的指向由Fx

和Fy

的正负号判定。平面汇交力系合成的结果是一个合力。即平面汇交力系可用其合力来代替。显然，如果物体处于平衡，此合力应等于零，反之亦然。所以，平面汇交力系平衡的充要条件是力系的合力等于零。即

F=∑Fi=0

由此可得平面汇交力系平衡的几何条件和解析条件。

三、平面汇交力系的平衡条件

（一）平面汇交力系平衡的几何条件

从力多边形图形上看，当合力F=0时，合力封闭边变为一点，即第一个矢量的起点与最后一个力矢量的终点重合，构成了一个自行封闭的力多边形，如图所示。

平面汇交力系平衡的几何条件是：力系中各力组成的力多边形自行封闭。

（二）平面汇交力系平衡的解析条件

平面汇交力系平衡时，应有

也即

∑Fx

=0

∑Fy=0

平面汇交力系平衡的解析条件是：各力在x轴和y轴上投影的代数和分别等于零。上式称为平面汇交力系的平衡方程。

用解析法求解平衡问题时，未知力的指向可先假设，若计算结果为正值，则表示所假设力的的指向与实际相同；若为负值，表示所假设力的指向与实际指向相反。

例1-3如图a所示刚架。在B处受一水平力FP=20kN，刚架自重不计，尺寸如图所示。试分别用几何法与解析法求解刚架在固定铰链A和活动铰链D处的约束反力。

例1-4

增力机构如图a所示，已知活塞D上受到油压力FP=3000N，通过连杆BC压紧工件。当压紧平衡时，杆AB、BC与水平线的夹角均为

α。不计各杆自重和接触处的摩擦，试求工件受到的压力。

第三节

力矩与平面力偶系

一、力对点之矩

力对物体除了具有移动效应外，有时还会产生转动效应。如图所示，当用扳手转动螺母时，作用于扳手一端的力F

能使扳手及螺母绕O点转动。由经验可知，拧动螺母的作用不仅与力F的大小有关，而且与转动中心（O点）到力的作用线的垂直距离d有关。因此，力F使物体绕O点转动的效应用两者的乘积Fd来度量。称为力F对O点之矩，简称力矩，以符号Mo（F）表示，即

Mo（F）=±Fd

O点称为力矩中心，简称矩心；O点到力F作用线的垂直距离d，称为力臂。力矩是一个代数量，其正负用来说明力矩的转动方向。一般规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之为负。力矩的单位为N·m。

例1-5如图所示，电线杆OA上端两根钢丝绳的拉力为F1=120N，F2=100N。试求F1

与F2对电线杆下端O点之矩。

二、合力矩定理

合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等于力系中各力对该点矩的代数和。即

Mo（F）=∑Mo（Fi）

合力矩定理的证明

如图所示，设力F1、F2作用于刚体上的A点，其合力为F，现计算它们对O点的矩。取直角坐标xoy，并让ox轴通过力的汇交点A，令OA=l，则各力对O点的矩分别为

这里F1y、F2y和Fy分别为F1、F2和合力F在oy轴上的投影，根据合力投影定理有

所以

Mo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)

若在A点有一平面汇交力系F1、F2、……Fn作用，则多次重复使用上述方法可得合力矩计算式。

在力矩的计算中，有时力臂不易确定，力矩很难直接求出。但如果将力进行适当分解，各分力力矩的计算就非常容易，所以应用合力矩定理可以简化力矩的计算。

例1-6圆柱直齿传动中，轮齿啮合面间的作用力为Fn，如图所示。已知Fn=500N，α=20°，节圆半径r=D/2=150mm。试计算齿轮的传动力矩。

三、力偶和力偶矩

人们用两个手指旋转钥匙开门、拧动水龙头；司机用两手转动方向盘等，这时在钥匙、水龙头和方向盘上都作用着一对等值、反向、作用线不在一条直线上的平行力，都能使物体产生转动。力学上把作用在同一物体上的等值、反向、不共线的两个平行力称为力偶，以符号(F，F’)表示。

力偶中两力所在的平面称为力偶作用面，两力作用线间的垂直距离称为力偶臂，以d表示，如图所示。

由经验可知，力偶使物体产生转动的效应，不仅与力偶中力的大小成正比，而且还与力偶臂d的大小成正比。因此，力学中用F与d的乘积来度量力偶，称为力偶矩，并以符号M（F，F’）表示，简写为M即M（F，F’）=M=±Fd

力偶矩的正负号、单位规定与力矩相同：力偶使物体作逆时针方向转动时，力偶矩取正号；反之取负号。力偶矩的单位为N·m。

力偶的具有如下性质：

1.力偶无合力，力偶不能用一个力来代替。

2.力偶对其作用面上任意点之矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关。

3.同平面内的两个力偶，如果力偶矩大小相等，力偶转向相同，则两力偶等效。

根据力偶的等效性，可以得出两个推论：

1）力偶在其作用面内可以任意移转，而不改变它对刚体的转动效应。即力偶对刚体的转动效应与它在作用面内的位置无关。

2）在保持力偶矩大小和力偶转向不变的情况下，可任意改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变它对物体的转动效应。

因此，力偶可用力和力偶臂来表示，也可直接用力偶矩来表示，即用带箭头的弧线表示，并将力偶矩值标注出，箭头的转向表示力偶的转向。

由物理学可知，机器的功率P（kW）、转速n（r/min）和转动力偶矩M(N·m)之间存在下列关系

可见机器功率一定时，转动力偶矩与转速成反比。

四、平面力偶系的合成

设在一物体的同一平面内有两个力偶，（F1，F1’）和（F2，F2’），力偶臂分别为d1

和d2，力偶矩分别为M1、M2，如图a所示。于是有

M1=F1

d1

，M2=F2

d2

现求其合成结果。在力偶作用面内任取一线段AB=d，根据力偶的等效性推论，在不改变力偶矩M1和M2的条件下，将它们的力偶臂都改为d，于是得到与原力偶等效的两个力偶（FP1，FP1’）和（FP2，FP2’）。FP1和FP2的大小可由下列等式算出：

M1=FP1·d，

M2=FP2·d

再根据力偶的可移性，将M1和M2在力偶作用面内移转，将它们的力偶臂与AB重合，如图b所示。于是，在A和B点各得一组共线力系，其合力为F和F’，如图c所示，其大小为

F=F

’=FP1+FP2

F和F’等值、反向、相互平行，因此，力F和F

’组成一个新力偶（F，F’），它就是两个已知力偶的合力偶，其力偶矩为

M=Fd=（FP1+FP2）d=FP1d+FP2d=M1+M2

同样地，若作用在同一平面内有n个力偶，则其合力偶矩应为

M=M1+M2+…+Mn

或

M=∑Mi

即平面力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。五、平面力偶系的平衡

平面力偶系的合成结果是一个合力偶，要使力偶系平衡，则合力偶矩必须等于零，即

∑Mi=0

可见，平面力偶系平衡的充要条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。

例1-7

图所示的电动机轴通过联轴器与工作轴相连接，联轴器上四个螺栓A、B、C、D的孔心均匀分布在一直径为0.15m的圆周上，电动机传给联轴器的力偶矩M为2.5kN·m，试求每个螺栓所受的力的大小？

第四节

平面任意力系

各力的作用线在同一平面内，既不汇交于一点，也不平行的力系，称为平面任意力系。平面任意力系是工程实际中最常见的一种力系，平面汇交力系和平面力偶系是平面任意力系的特殊情况。因此，研究平面任意力系具有普遍意义。

一、力的平移定理

作用于刚体上的力F可以平行移动到任一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩Mf等于原来的力F对新作用点之矩。二、平面任意力系的简化

(一）平面任意力系的主矢与主矩

设在刚体上作用有平面任意力系（F1，F2、…、Fn），如图a所示。在力系平面内任取一点O，称为简化中心。根据力的平移定理可将各力都向O点平移，得到一个平面汇交力系（F1’、F2’、…、Fn’）和一个附加平面力偶系（M1、M2、…、Mn），如图b所示。

所得的平面汇交力系（F1’、F2’、…、Fn’）可以合成为一个作用于O点的合矢量F’：

F’=∑Fi

’=∑Fi

合矢量F’称为原力系的主矢。取坐标系xOy

如图b所示，可得出主矢F’的大小和方向分别为

α为主矢与x轴间所夹锐角，F’的指向由∑Fy

和∑Fx的正负号决定。

所得的附加平面力偶系可以合成为一个合力偶，其力偶矩用Mo表示，则

Mo=∑M=∑Mo（Fi）

力偶矩Mo称为原力系对简化中心O的主矩。

综上所述，可得如下结论：平面任意力系向平面内任意一点简化，一般可以得到一个作用在简化中心的主矢和一个作用于原平面的主矩。主矢等于原力系各力的矢量和，主矩等于原力系各力对简化中心之矩的代数和。

由于主矢等于各力的矢量和，它与简化中心的位置无关；而主矩的大小和转向随简化中心位置的改变而改变。因此，对于主矩必须标明简化中心，符号中的下标就表示其简化中心为O。

三、平面任意力系的平衡条件

平面任意力系平衡的充要条件为：力系的主矢及力系对任一点的主矩均为零，即

F’=0

Mo=0

由此可得平面任意力系的平衡方程为

∑Fix=0

∑Fiy=0

∑Mo（Fi）=0

上式表明，平面任意力系平衡时，力系中各力在两个任选的直角坐标轴上投影的代数和分别为零，各力对任意点之矩的代数和也为零。

上述两个投影式和一个力矩式，是平面任意力系平衡的基本形式。这三个方程完全独立，最多能解出三个未知量。此外还有二矩式和三矩式。

∑Fix=0

∑MA（Fi）=0

∑MB（Fi）=0

其中A，B两点的连线不能与x轴垂直。

∑MA（Fi）=0

∑MB（Fi）=0

∑MC（Fi）=0

其中A、B、C三点不能在一条直线上。

实际应用时，采用哪种形式的平衡方程，取决于计算是否简便，最好一个方程仅含一个未知量，以避免解联立方程。所以，一般矩心应尽量取在较多未知力的汇交点上，而投影轴应尽量与较多的未知力垂直。

例1-8

梁AB一端固定、一端自由，如图a所示。梁上作用有均布载荷，载荷集度为q

kN/m。在梁的自由端还受有集中力F和力偶矩为M的力偶作用，梁的长度为l，试求固定端A处的约束反力。

四、平面平行力系的平衡方程

各力作用线处于同一平面内且相互平行的力系称为平面平行力系。它是平面任意力系的一种特殊情况，其平衡方程可由平面任意力系列化平衡方程导出。取y轴平行各力，则平面平行力系中各力在x轴上的投影均为零。在式中，∑Fix=0就成为恒等式，于是，平行力系只有两个独立的平衡方程，即

∑Fiy=0

∑Mo（Fi）=0

平面平行力系的平衡方程，也可用两个力矩方程的形式，即

∑MA（Fi）=0

∑MB（Fi）=0

其中AB连线不能与各力作用线平行。

五、物系的平衡

由若干个物体通过适当的约束方式组成的系统，力学上称为物体系统，简称物系。求解物系的平衡问题，往往是不仅需要求物系的外力，而且还要求系统内部各物体之间的相互作用的内力，这就需要将物系中某些物体取出来单独研究才能求出全部未知力。当系统平衡时，组成系统的各部分也是平衡的。因此，求解物系的平衡问题，既可选整个物系为研究对象，也可选局部或单个物体为研究对象。对整个物系来说，内力总是成对出现的，所以研究整个物系的平衡时，这些内力无须考虑。

例1-9图所示为一手动水泵，图中尺寸单位均为cm，已知FP=200N，不计各构件的自重，试求图示位置时连杆BC所受的力、连杆A的反力以及水压力FQ。

第六节空间力系简介

所谓空间力系，是指各力的作用线不在同一平面内的力系。本节将讨论力沿空间直角坐标轴的分解与投影、空间力系的平衡方程及应用。

一、力沿空间直角坐标轴的分解与投影

为了分析空间力对物体的作用，有时需要将力沿空间直角坐标轴分解。例如要了解作用在斜齿轮上的力Fn对齿轮轴的作用时，就需要将该力分解为沿齿轮的圆周方向、径向和轴向三个分力Ft、Fr和Fa，如图所示。下边讨论将一个空间力分解为三个相互垂直的分力的方法。

已知作用在物体上的力F，过其作用点建立空间直角坐标系如图所示，力F与z轴的夹角为

γ,力F与z轴所决定的平面与x轴的夹角为

φ。求力F沿x、y和z轴的分力。

先将力F分解为沿z轴方向和在xOy平面内的两个分力FZ和Fxy，再将Fxy分解为沿x轴和y轴方向的分力FX和Fy，则FX、Fy和FZ就是力F沿空间直角坐标轴的三个相互垂直的分力。其大小就是力F在三个坐标轴上的投影，即

FZ=

Fcos

FXY=Fsin

FX=FXY

cos=Fsin

cos

（1-23）

Fy=FXYsin=Fsinsin

例1-10

在图中，若Fn=1410N，齿轮压力角

，螺旋角

，求轴向力Fa、圆周力Ft和径向力Fr的大小。二、空间任意力系的平衡方程及应用

与平面任意力系相同，可依据力的平移定理，将空间任意力系简化，找到与其等效的主矢和主矩，当二者同时为零时力系平衡。此时所对应的平衡条件应为

上式表明空间任意力系平衡的充要条件是：各力在三个坐标轴上的投影的代数和以及各力对此三轴之矩的代数和都等于零。式中前3个方程表示刚体不能沿空间坐标轴x、y、z移动；后三个方程表示刚体不能绕x、y、z三轴转动。

六个独立的平衡方程，可以解六个未知量。

为避免求解联立方程，可灵活的选取投影轴的方向和取矩轴的位置，尽可能的使一个方程中只含一个未知量，使解题过程得到简化。

计算空间力系的平衡问题时，也可将力系向三个坐标平面投影，通过三个平面力系来进行计算，即把空间力系问题转化为平面力系问题的形式来处理。此法称为空间力系问题的平面解法，特别适合解决轴类零件的空间受力平衡问题。

一般来说，轴是用轴承支撑的，轴承就成了轴的约束。对于向心轴承，轴承约束反力为两个正交的径向反力；对于向心推力轴承，轴承约束反力应包括两个正交的径向反力和一个轴向反力。

例1-11

一车床的主轴如图所示，齿轮C直径为200mm，卡盘D夹住一直径为100mm的工件，A为向心推力轴承，B为向心轴承。切削时工件匀速转动，车刀给工件的切削力FX=466N，Fy=352N，FZ=1400N，齿轮C在啮合处受力为F，作用在齿轮的最低点如图所示。不考虑主轴及其附件的重量与摩擦，试求力F的大小及A、B处的约束力。

解

选取主轴及工件为研究对象，过A点取空间直角坐标系，画受力图，如图所示。向心轴承B的约束反力为FBx和FBz，向心推力轴承A处约束反力为FAx、FAy、FAz。主轴及工件共受九个力作用，为空间任意力系。可分别用两种方法来求解。

对比两种方法可以看出，后一种方法较易掌握，适用于受力较多的轴类构件，因此在工程中多采用此法。

第七节滑动摩擦简介

前几节讨论物体的平衡问题时，把物体的接触表面都看作是绝对光滑的，忽略了物体间的摩擦。这是因为摩擦力对所研究的问题影响很小。但是在许多工程技术问题中，摩擦是一个不容忽视的因素。本节将讨论滑动摩擦的规律以及考虑摩擦时物体的平衡问题。

一、滑动摩擦力

两个相互接触的物体，如果有相对滑动或相对滑动的趋势，在接触面间就产生彼此阻碍滑动的力，这种阻力称为滑动摩擦力，简称摩擦力。

当拉力FP不够大时，物体仅有相对滑动的趋势但并不滑动。这表明台面对物体除了有法向反力FN作用外，必定还有一个与FP力相反的阻力Ff。这种在两个接触面之间有相对滑动趋势时所产生的摩擦力称为静摩擦力。若适当增加拉力FP，物体仍可保持相对静止而不滑动。因此，静摩擦力Ff是随主动力FP的增大而增大。

进一步的实验表明，静摩擦力并不随主动力的增大而无限制地增大。当拉力FP增大到一定数值时，物体将要开始滑动。物体处于将要滑动而未滑动的临界状态时，静摩擦力达到最大值，称为称最大静摩擦力，以Ffmax。表示。

大量实验表明，最大静摩擦力的方向与相对滑动趋势方向相反，大小与两物体间的正压力(即法向反力)的大小成正比，即

式中比例系数f称为静滑动摩擦因数，简称静摩擦因数。它的大小与两接触物体的材料以及表面状况有关。由实验测定的钢、铸铁的摩擦因数值可参考表1-1

继续上述实验，当静摩擦力已达最大值时Ffmax，若拉力再增大，物体就要向右滑动，这时存在于接触面之间的摩擦力就是动摩擦力，用F’表示。大量实验表明，动摩擦力F’的大小也与接触面正压力FN的大小成正比，即

F’=f’FN

式中比例系数f’，称为动滑动摩擦因数，其值也可由实验测定，数值可参考表。

综上讨论可知,在考虑摩擦时,首先要分清物体处于静止、临界和滑动三种情况中哪一种，然后选用相应的方法来计算摩擦力。

二、摩擦角和自锁现象

1．摩擦角

在分析图中物块A的受力情况时，为了计算方便，有时常以法向反力FN与静摩擦力Ff

的合力FR来代替它们的作用。FR称为支承面的全反力。全反力FR与接触表面的法线间的夹角φ将随着摩擦力的增大而增大

，当摩擦力达到最大值Ffmax时，φ也达到最大值

φm。φm称为摩擦角，由图可得

即摩擦角的正切等于静摩擦因数。

物块平衡时，静摩擦力不一定达到最大值，可在零与最大值Ffmax之间变化，所以全反力FR与法线间的夹角

也在零与摩擦角

之间变化，即

由于静摩擦力不可能超出最大值，因此全反力FR的作用线也不可能超出摩擦角以外，即全反力必在摩擦角之内。因此，摩擦角表示了全反力能够生成的范围。如物体与支撑面的摩擦因数在各个方向均相同，则这个范围在空间就形成一个锥体，称为摩擦锥。全反力的作用线不可能超出这个摩擦锥，如图所示。

2．自锁现象

如图所示，若作用于物块上的全部主动力的合力FQ的作用线在摩擦锥范围以内。由二力平衡条件可知，在约束面上必产生一个与其等值、反向、共线的全反力FR构成平衡。这时不论主动力FQ值增加到多大，都不会使物体滑动，这种现象称为自锁。不难看出，图示物块的平衡条件为

α≤φm

。这个与作用力的大小无关，而与受载几何条件及摩擦角有关的平衡条件称为自锁条件。工程实际中常应用自锁原理设计一些机构或夹具，如千斤顶、压榨机等，它们始终保持在平衡状态下工作。

若作用在物块上的全部主动力的合力FQ的作用线在摩擦锥以外，则无论这个力怎样小，物体一定会滑动。因为在这种情况下，支撑面的全反力FR和FQ不能满足二力平衡条件。应用这道理，可以设法避免自锁现象。

三、考虑摩擦时物体的平衡问属

求解考虑摩擦时物体的平衡问题，其方法和步骤与前几节所述基本相同，仍然是选取研究对象、分析受力情况、画受力图，然后应用平衡方程求解。所不同的只是在分析物体的受力时，必须考虑摩擦力。静摩擦力Ff的方向总是沿着物体接触面的切线并与物体运动趋势方向相反，它的大小在零与最大值之间，是个未知量。要确定这些新增加的未知量，除列出平衡方程外，还需列出补充方程。

例1-12

重FG的物块放在倾角为

的斜面上(大于摩擦角)，如图所示，已知物块与斜面间的静摩擦因数f，试求能使物块维持平衡状态的F值。

此题中，如果斜面的倾角小于摩擦角，即

时，上式左端成为负值，即

为负值，这说明不需要力F支持，物块就能静止在斜面上，且无论主动力FG多大，都不会破坏平衡，即出现自锁现象。

第二章零件的变形及强度计算

零件变形的基本形式有四种：a）拉伸或压缩；b）剪切；c）扭转；d）弯曲。其它复杂的变形都可以看成是这几种基本变形的组合。

零件变形过大时，会丧失工作精度、引起噪声、降低使用寿命，甚至发生破坏。

第一节零件的拉伸和压缩

一、拉伸和压缩的概念

工程上经常遇到承受拉伸或压缩的零件。如图a所示的起重机吊架中的拉杆AB（拉伸），图b所示的建筑物中的支柱（压缩）。

受力零件的共同特点是：外力的作用线与零件的轴线重合，零件的变形是沿轴线方向伸长或缩短。若把零件的形状和受力情况进行简化，都可以简化成图2-1a所示的计算简图。

二、轴向拉伸和压缩时的内力

零件受到外力作用时，由于内部各质点之间的相对位置的变化，材料内部会产生一种附加内力，力图使各质点恢复其原来位置。附加内力的大小随外力的增加而增加，当附加内力增加到一定限度时，零件就会破坏。因此，在研究零件承受载荷的能力时，需要讨论附加内力。后面的讨论中所述的内力，都是指这种附加内力。

1．截面法

截面法是用以确定零件内力的常用方法。

取左段来研究。由平衡方程

，可得：

即该横截面上的内力是一个与杆轴线重合、大小等于FP的轴向力。

综上所述，用截面法求内力的步骤为：

一截为二。即在欲求内力处，假想用一截面将零件一截为二；

弃一留一。即选其中一部分为研究对象并画受力图（包括外力和内力）；

列式求解。即列研究对象的静力平衡方程，并求解内力。

2．轴力

与杆轴线重合的内力又称为轴力。轴力的符号规定如下：轴力的方向与所在截面的外法线方向一致时，轴力为正；反之为负。由此可知，拉杆的轴力为正，压杆的轴力为负。

为了直观地反映出轴力随截面位置的变化，常用轴力图来表示。

例2-1

试计算如图a所示等直杆的轴力，并画出轴力图。

解：

（1）求约束反力

（2）分段计算轴力

（3）绘制轴力图

轴力图不仅显示了轴力随截面位置的变化情况和最大轴力所在截面的位置，而且还明显地表示了杆件各段是受拉还是受压。

三、拉伸和压缩时的应力

杆件是否破坏，不取决于整个截面上的内力大小，而取决于单位面积上所分布的内力大小。单位面积上的内力称为应力，它所反映的是内力在截面上的分布集度。其单位为帕斯卡（Pa），工程上常用兆帕（MPa）。1Pa=1N/m2，1Mpa=106Pa。

通过观察拉杆的变形情况来推测内力的分布情况

取一等直杆，在其侧面上划两条垂直于轴线的直线ab、cd，如图a所示。并在杆的两端加一对轴向拉力FP，使其产生拉伸变形。

如将杆件设想为由无数纵向纤维所组成，由此推想它们的受力是相同的，在横截面上各点的内力是均匀分布的，横截面上各点的应力也是相等的。若以FN表示内力（N），A表示横截面积（mm2），则应力σ(MPa)的大小为

这就是拉（压）杆横截面上的应力计算公式。

的方向与FN一致，即垂直于横截面。垂直于横截面的应力，称为正应力，都用

表示。和轴力的符号规定一样，规定拉应力为正；压应力为负。

四、拉伸和压缩时的变形

1．变形与应变

杆件在受轴向拉伸时，轴向尺寸伸长，横向尺寸缩小。受轴向压缩时，轴向尺寸缩短，横向尺寸增大。设等直杆的原长为l，横向尺寸为b。变形后，长为l1，横向尺寸为b1，如图所示。

杆件的轴向变形量为

横向变形量为

Δl称为轴向绝对变形，Δb称为横向绝对变形。拉伸时，Δl为正，Δb为负；压缩时，Δl为负，Δb为正。

绝对变形与杆件的原有尺寸有关，为消除原长度的影响，通常用单位长度的变形来表示杆件变形的程度，即

ε，ε’分别称为轴向线应变和横向线应变。显然，二者的符号总是相反的，它们是无量纲量。

2．虎克定律

实验表明，轴向拉伸或压缩的杆件，当应力不超过某一限度时，轴线变形Δl与轴向载荷FN及杆长l成正比，与杆的横截面面积成反比。这一关系称为虎克定律，即

引进比例常数E，则有

比例常数E称为弹性模量，其值随材料不同而异。

则有

σ

=Eε

上式是虎克定律的又一表达形式，即虎克定律可以表述为：当应力不超过某一极限时，应力与应变成正比。

五、零件拉伸与压缩时的强度计算

（一）极限应力

在应力作用下，零件的变形和破坏还与零件材料的力学性能有关。力学性能是指材料在外力作用下表现出来的变形和破坏方面的特性。金属材料在拉伸和压缩时的力学性能通常由拉伸试验测定。

把一定尺寸和形状的金属试样（图a）装在拉伸试验机上，然后对试样逐渐施加拉伸载荷，直至把试样拉断为止（图b）。

根据拉伸过程中试样承受的应力

和产生的应变

之间的关系，可以绘出该金属的

曲线。

通过对低碳钢的

曲线分析可知，试样在拉伸过程中经历了弹性变形（oab段）、塑性变形（bcde段）和断裂（e点）三个阶段。

弹性变形阶段，试样的变形与应力始终呈线性关系。应力σp称为比例极限。图中直线oa的斜率就是材料的弹性模量E。

塑性变形阶段，试样产生的变形是不可恢复的永久变形。该阶段又分屈服阶段（bc-塑性变形迅速增加）、强化阶段（cd-材料恢复抵抗能力）和颈缩阶段（de-试样局部出现颈缩）。应力σs称为屈服点，当零件实际应力达到屈服点时，将会引起显著的塑性变形。应力σb称为抗拉强度，当零件实际应力达到抗拉强度应力值时，将会出现破坏。

（二）许用应力

零件由于变形和破坏而失去正常工作的能力，称为失效。零件在失效前，允许材料承受的最大应力称为许用应力，常用[σ]表示。为了确保零件的安全可靠，需有一定的强度储备，为此用极限应力除以一个大于1的系数（安全系数）所得商作为材料的许用应力[σ]。

上述比例极限

、屈服点

和抗拉强度

分别是材料处于弹性比例变形时和塑性变形、断裂前能承受的最大应力，称为极限应力。

对于塑性材料，当应力达到屈服点时，零件将发生显著的塑性变形而失效。考虑到其拉压时的屈服点相同，故拉、压许用应力同为

式中，nS是塑性材料的屈服安全系数。

对于脆性材料，在无明显塑性变形下即出现断裂而失效（如铸铁）。考虑到其拉伸与压缩时的强度极限值一般不同，故有

式中，nb是脆性材料的断裂安全系数；[σl]和

[σy]分别是拉伸许用应力和压缩许用应力；σbl和σby分别是材料的抗拉强度和抗压强度。

（三）强度条件

为了保证零件有足够的强度，就必须使其最大工作应力σmax不超过材料的许用应力[σ]。即

上式称为拉（压）强度条件式，是拉（压）零件强度计算的依据。式中，FN是危险截面上的轴力；A是危险截面面积。

根据强度条件式，可以解决三类问题：

强度校核

设计截面

确定许可载荷

例2-2某车间自制一台简易吊车（图a）。已知在铰接点B处吊起重物最大为FP=20kN，杆AB与BC均用圆钢制作，且dBC=20mm，材料的许用应力[σ]=58Mpa。试校核BC杆的强度，并确定AB杆的直径dAB（不计杆自重）。

第二节零件的剪切和挤压

一、剪切和挤压的概念

如图b所示，在外力FP的作用下，截面发生相对错动的变形称为剪切变形。产生相对错动的截面m—m称为剪切面，剪切变形是零件的一种基本变形。剪切变形的受力特点是作用在零件两侧面的外力大小相等、方向相反、作用线相距很近。

螺栓除受剪切作用外，还在螺栓圆柱形表面和钢板圆孔表面相互压紧（图d），这种局部受压的现象称为挤压。作用在挤压面上的压力叫挤压力，承受挤压作用的表面叫挤压面，在接触处产生的变形称为挤压变形。如果挤压变形过大，会使联接松动，影响机器正常工作，甚至造成挤压破坏。

二、剪切和挤压的实用计算

（一）剪切强度实用计算

应用截面法假想地沿剪切面m—m将螺栓分为两段，任取一段为研究对象，如图c所示。由平衡条件可知，剪切面上必有一个与该外力FP等值、反向的内力，该内力称为剪力，常用符号FQ表示。

剪力FQ形成与剪切面相切的工作应力称为切应力，用符号τ表示。切应力分布规律比较复杂，工程上常采用以实际经验为基础的实用计算法来确定。即假设切应力是均匀地分布在剪切面上的，切应力的计算公式为

式中，FQ是剪切面上的剪力；A是剪切面的面积。

为了保证零件安全可靠地工作，其强度条件为

式中，

为材料的许用切应力实验表明，许用切应力与许用拉应力之间有如下关系：

塑性材料[τ]=（0.6~0.8）[σ]

脆性材料[τ]=（0.8~1.0）[σ]

(二)挤压强度实用计算

如图d所示为了计算简化，假定挤压应力是均匀分布在挤压面的。由此，挤压强度的条件为

式中，σjy为挤压应力，Pjy为挤压力；Ajy为挤压计算面积，[σjy]是材料的许用挤压应力，可查设计手册而得。对于钢材，有

[σjy]=（1.7~2.0）[σ]

如果两个相互接触零件的材料不同，应对许用挤压应力低者进行挤压强度计算。

挤压面面积的计算，要根据实际接触的情况而定。若挤压面为平面，则挤压面面积就是接触面面积，如图a所示的键联接，其挤压面面积为

；若接触面为半圆柱面，如螺栓、铆钉、销等，其挤压面面积为半圆柱面的正投影面面积，如图c所示，

，d为螺栓或铆钉的直径，t为螺栓或铆钉与孔的接触长度。

例2-3

如图a所示的铆接件，主钢板通过上下两块盖板对接。铆钉与钢板的材料相同，=160Mpa，=140Mpa，=320Mpa，铆钉直径d=16mm，主板厚度t1=20mm，盖板厚度t2=12mm，宽度b=140mm。在P=240kN作用下，试校核该铆接件的强度。

第四节圆轴的扭转

一、扭转的概念

如图所示的汽车转向轴和传动系统的传动轴AB，工作时，轴的两端都受到转向相反的一对力偶作用而产生扭转变形，轴上任意两截面皆绕轴线产生相对转动。扭转零件的受力特点是(图c)：零件两端受到一对大小相等、转向相反、作用面与轴线垂直的力偶作用。

二、圆轴扭转时横截面上的内力——扭矩

如图a所示，一圆轴AB在一对大小相等、转向相反的外力偶矩Me作用下产生扭转变形，并处于平衡状态。取左段为研究对象，如图b所示。由平衡关系可知，扭转时横截面上内力合成的结果必定是一个力偶，其内力偶矩称为扭矩或转矩，用符号T表示。由平衡条件

T-Me=0

T=Me

为使从左右两段所求得的扭矩正负号相同，通常采用右手螺旋法则来规定扭矩的正负号。如图a所示，如果以右手四指表示扭矩的转向，则拇指的指向离开截面时的扭矩为正；反之为负（图b）。

为了形象地表示各截面扭矩的大小和正负，常需画出扭矩随截面位置变化的图像，这种图像称为扭矩图（前图d）。

例2－4图a所示的传动轴，转速n=200r/min，功率由A轮输入，B、C轮输出，已知PA=40kW，PB=25kW，PC=15kW。要求：①画出传动轴的扭矩图；②确定最大扭矩Tmax的值；③设将A轮与B轮的位置对调，试分析扭矩图是否变化？最大扭矩Ｔmsx值为多少？两种不同的载荷分布形式，哪一种更为合理？

二、圆轴扭转时横截面上的切应力

（一）圆轴扭转时横截面上应力分布规律

如图a所示，在圆轴表面上画出圆周线和纵向线，形成矩形网格。在扭转小变形的情况下（图b），可以观察到下列现象：

1）各圆周线均绕轴线相对地旋转了一个角度，但形状、大小及相邻两圆周线之间的距离均未改变；

2）所有纵向线都倾斜了一微小角度

，表面上的矩形网格变成了菱形。

根据上述现象，可以推出这样的假设：圆轴扭转时，各横截面像刚性平面一样地绕轴线转动。各横截面仍保持为平面，其形状、大小都不变，各截面间的距离保持不变。

利用变形的几何关系分析应变的分布规律。

上式说明，横截面上任意点的剪应变

与该点到圆心的距离

成正比。

根据剪切虎克定律，横截面上距圆心为

的任意点处的剪应力

，与该点处的剪应变

成正比，即

上式表明，横截面上各点剪应力的大小与该点到圆心的距离成正比，圆心处的剪应力为零，轴周边的剪应力最大，在半径为

的同一圆周上剪应力相等。圆轴横截面上剪应力沿半径的分布规律如图所示。（二）扭转剪应力的计算

横截面上距圆心为

的剪应力

的计算公式为

当ρ=R时，

此时由式（2-15）可得

令

，则上式可写成

式中，

是仅与截面尺寸有关的几何量，称为抗扭截面系数。

对于实心圆轴（图a），有

对于

的空心圆轴（图b），有

四、圆轴扭转时的强度和刚度计算

（一）强度计算

为了保证圆轴能安全地工作，应限制轴上危险截面的最大工作应力不超过材料的许用剪应力，即圆轴扭转的强度条件为

式中

与

分别为危险截面上的扭矩和抗扭截面系数。

（二）刚度计算

1．圆轴扭转时的变形

圆轴扭转时的变形是以两个横截面的相对扭转角

来度量。

直径圆轴两截面间的扭转角计算公式为

GIp称为扭转刚度。

工程上常常采用单位长度的扭转角

来衡量扭转变形的程度，即

其单位为弧度/米（rad/m）。

2．刚度条件

为了保证轴的刚度，通常规定单位长度扭转角的最大值

不超过轴单位长度的许用扭转角

。即

工程上，

的单位习惯上用度/米（°/m）表示。故用1rad=180°/π代入上式换算成度，得

的数值可从有关手册中查得。一般情况下，可大致按下列数据取用：

精密机器的轴[θ]=（0.25~0.5）°/m

一般传动轴[θ]=（0.5~1.0）°/m1

要求不高的轴[θ]=（1.0~2.5）°/m

例2-5

一汽车传动轴由无缝钢管制成，外径mm，内径mm，许用剪应力=60Mpa，传递的最大力偶矩1.5kNm，=2°/m，G=80GPa。试校核其强度和刚度；若保持扭转强度或扭转刚度不变，将传动轴改为同材料的实心轴，试分别确定其直径；并分别求出空心轴和实心轴的重量比值。

第四节直梁的弯曲

一、直梁平面弯曲的概念

直杆类零件（图a、b、c），其受力变形特点是：外力垂直于杆件的轴线，使杆的轴线变形后成曲线，这种形式的变形称为弯曲变形。以弯曲变形为主的杆件习惯上称为梁。

当作用在梁上的所有载荷都在纵向对称面内时，则弯曲变形后的轴线也将是位于这个对称面内的一条平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。

二、梁的计算简图

作用在梁上的载荷通常可以简化为下列三种类型：

集中力

集中力偶

分布载荷

经过简化，梁有三种典型形式：

1．简支梁

梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座。如图f所示。

2．外伸梁

外伸梁的支座与简支梁完全一样，所不同的是梁的一端或两端伸出支座以外，如图d所示。

悬臂梁一端固定，另一端自由的梁，如图e所示。

以上三种梁的未知约束反力最多只有三个，应用静力平衡条件就可以确定。

三、梁横截面上的内力——剪力和弯矩

梁如图a所示AB，用截面沿n—n将梁分为左、右两段(图b、c)。若以左段为研究对象，由于外力FA有使左段上移和顺时针转动的作用，因此，在横截面n—n上必有垂直向下的内力FQ和逆时针转动的内力偶矩M与之平衡，如图b所示。

由静力平衡方程即可求出FQ与M之值

上面分析可知，AB梁发生弯曲变形时，横截面上的内力由两部分组成：作用线切于截面、通过截面形心并在纵向对称面内的力FQ和位于纵向对称面的力偶M，它们分别称为剪力和弯矩。

工程中，对于一般的梁(跨度与横截面高度之比l／h>5)，弯矩起着主要的作用，而剪力则是次要因素，在强度计算中可以忽略。因此，下面仅讨论有关弯矩的一些问题。

弯矩符号规定：梁变形后，若凹面向上，截面上的弯矩为正；反之，若凹面向下，截面上的弯矩为负，如图2-26所示。

弯矩的计算有以下的规律：若取梁的左段为研究对象，横截面上的弯矩的大小等于此截面左边梁上所有外力(包括力偶)对截面形心力矩的代数和，外力矩为顺时针时，截面上的弯矩为正，反之为负。若取梁的右段为研究对象，方法类似。

有了上述规律后，在实际运算中不必用假想截面将截面截开，再用平衡方程去求弯矩，而可直接利用上述规律求出任意截面上弯矩的值及其转向。

四、弯矩图

为了形象地表示弯矩沿梁长的变化情况，常需画出梁各截面弯矩的变化规律的图像，这种图像称为弯矩图。

例2-6

简支梁如图所示。在跨度内某一点受集中力的作用，试作此梁的弯矩图。

五、弯矩图的作图规律

由以上例题可以总结出弯矩图与载荷之间的几点普遍规律：

1)在两集中力之间的梁段上，弯矩图为斜直线。

2)在集中力作用处，弯矩图出现折角。

3)在均布载荷作用的梁段上，弯矩图为抛物线。

4)在集中力偶作用处，其左右两截面上的弯矩值发生突变，突变值等于集中力偶矩之值

。

利用以上规律，不仅可以检查弯矩图形状的正确性，而