2025-2026学年安徽蚌埠市A层高中第四次联合教研素质评价高二下册数学试题 含答案

/数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.物体所受到的重力F与其到地心的距离r的关系为，则F对于r的瞬时变化率为（）．A. B. C. D.2.已知数列满足，若，则为（）A.3 B.9 C.27 D.813.为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展AI应用培训活动．现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为0，1，2，若，PX≥1=0.9，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.44.的二项展开式中x的系数是（）A. B. C. D.5.为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为（）A.种 B.种 C.种 D.种6.某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（）A.2 B.3 C.4 D.57.已知5张奖券中只有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，设甲、乙、丙中奖的概率分别为，则（）A.最大 B.最大 C.最大 D.8.已知函数，若存在，对于任意都有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）9.下列结论正确的是（）A.若随机变量，则时，概率最大B.若，，且，则，相互独立C.，，，则的值为D.已知，，，则10.已知函数，则（）A.，是增函数B.，是奇函数C.若有三个不同的零点，，，则D.过点且与曲线相切的直线恰有3条，则11.将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（）A. B.C. D.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知，则__________．13.某学校田径队有甲乙等8名运动员，现将这8人平均分成、两组集训，求甲乙两人同在组的概率为________．14.作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习．在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式．设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离dABq=∑k=1nak−b四、解答题（本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知等比数列的前项和满足，且，，成等差数列．数列满足：．（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和．16.已知双曲线的左焦点为，右顶点为，渐近线方程为，点在直线上.（1）求的方程；（2）过点的直线与相切于点（异于点），证明.17.如图，在三棱锥中，，，，，，，点，分别是棱，上的点，且直线平面.（1）求的长；（2）求三棱锥的体积；（3）求直线与平面所成角的正弦值.18.已知函数．（1）当求在处的切线方程；（2）当时，证明；（3）若对任意的不等正数，总有，求实数的取值范围．19.为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼，则记1分；若既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记2分．假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率．（1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；（2）从游客中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求；（3）从游客中随机抽取若干人逐个统计，记这些人的合计得分出现n分的概率为，求数列的通项公式．

数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.物体所受到的重力F与其到地心的距离r的关系为，则F对于r的瞬时变化率为（）．A. B. C. D.答案：D解析：思路：由题意可求F对于r的导数，结合求导法则即可求得答案.解答过程：由题意可知，则F对于r的瞬时变化率为．故选：D2.已知数列满足，若，则为（）A.3 B.9 C.27 D.81答案：B解析：思路：由题意可知，数列为等比数列，可求解与，再求解与即可.解答过程：因为，所以，所以数列为等比数列，公比为，因为，所以，则，即，解得，所以，，所以.3.为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展AI应用培训活动．现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为0，1，2，若，，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4答案：B解析：思路：根据离散型随机变量的期望计算公式列出方程，再由方差公式即可求解．解答过程：由题可设，则，，所以，解得．所以．4.的二项展开式中x的系数是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：的二项展开式的通项公式为，化简得，令，得，所以，所以的展开式中x的系数是．5.为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为（）A.种 B.种 C.种 D.种答案：B解析：思路：符合要求的排法可以分为两类：第一类“射”排在第五周的排法，第二类“射”不在第二和第五周且“乐”不在第五周的排法，利用分步乘法原理求出各类的方法数，再利用分类加法原理求总的方法数.解答过程：“射”不在第二周且“乐”不在第五周的排法可以分为两类：第一类“射”排在第五周的排法，第二类“射”不在第二和第五周且“乐”不在第五周的排法，其中第一类的排法有种，第二类的排法有种，由分类加法原理可得总的排法数为504，故选：B.6.某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（）A.2 B.3 C.4 D.5答案：B解析：思路：根据给定条件，利用超几何分布求出，再利用最大值情况列出不等式求解.解答过程：依题意，服从超几何分布，则，当取得最大值时，，即，解得，，所以.故选：B7.已知5张奖券中只有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，设甲、乙、丙中奖的概率分别为，则（）A.最大 B.最大 C.最大 D.答案：D解析：思路：计算甲中奖的概率，直接利用古典概型，乙中奖的情况，全概率公式，丙中奖的情况用全概率公式分多种情况计算.解答过程：计算甲中奖概率：甲第一个抽取，5张奖券共2张有奖，因此；计算乙中奖概率，乙中奖分两种情况：甲中奖后乙中奖：概率为；甲未中奖后乙中奖：概率为；；计算丙中奖概率，分情况计算丙中奖情况：甲中、乙中、丙中：；甲中、乙不中、丙中：；甲不中、乙中、丙中：；甲不中、乙不中、丙中：；；因此.8.已知函数，若存在，对于任意都有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：，∵存在，对于任意都有，∴在左侧附近，函数小于0.，，①当时，，∴存在，对于任意都有，，函数单调递增，∴当时，，满足题意.②当时，，，∴当时，，函数单调递减，∴不存在，对于任意都有，③当时，，∴存在，对于任意都有，函数单调递减，∴当时，，不满足题意.综上所述，实数的取值范围是.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）9.下列结论正确的是（）A.若随机变量，则时，概率最大B.若，，且，则，相互独立C.，，，则的值为D.已知，，，则答案：BD解析：思路：根据互斥事件、相互独立事件的概率公式以及条件概率公式逐个计算，分别对每个选项进行分析判断.解答过程：选项A：若随机变量X∼B64,由于要使C64k最大，则,故时，概率最大，故A错误；选项B：根据条件概率公式PD∣C得1−PD=1−PCDPC选项C：由PA=P解得，故C错误；选项D：由题意知，PB∣A所以，因此PB=PB=1−P所以PA10.已知函数，则（）A.，是增函数B.，是奇函数C.若有三个不同的零点，，，则D.过点且与曲线相切的直线恰有3条，则答案：ACD解析：思路：选项A：根据导数与单调性的关系判断即可；选项B：根据奇函数的定义判断即可；选项C：根据函数零点的定义，结合韦达定理求解即可；选项D：利用导数的几何意义求得切线方程，代入点得，则函数与直线的图象有3个不同的交点，利用导数与极值的关系判断即可.解答过程：已知，则.选项A：若是增函数，只需，只需即可，所以.所以，是增函数，故A正确.选项B：，，则，故不是奇函数，故B错误.选项C：若有三个不同的零点，，，则有3个根.其中一个零点为，另外两个零点为的两个根，，则.所以，故C正确.选项D：设切点为，，所以切线方程为.又切线过，所以，即.切线恰有3条，等价于有3个不同的实数解，即函数与直线有3个交点..令，即，解得或.当时，，当时，，所以在、上单调递减，在上单调递增，所以极小值为，极大值为，所以当时，与有3个交点.所以当时，过点且与曲线相切的直线恰有3条，故D正确.11.将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：A选项利用独立事件的概率乘法公式求得；B选项通过列出的分布列计算期望得；C选项通过枚举发现，说明不能简单分解为独立事件；D选项利用（正面次数）及期望的单调性证得.解答过程：对于A，对应于连续次扔出正面，于是，A正确；对于B，，，，，则，B正确；对于C，观察前次扔出连续的次正面并不等价于前次的以及接下来的.严格计算：，，，C错误；对于D，不妨设表示前次投掷中出现正面的次数，于是，则，则，于是，D正确.故选：ABD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知，则__________．答案：19解析：思路：利用排列数与组合数关系求得的值，进而求解.解答过程：由得，所以，∴，解得，故．故19．13.某学校田径队有甲乙等8名运动员，现将这8人平均分成、两组集训，求甲乙两人同在组的概率为________．答案：解析：解答过程：先从8人中选4人进组，其余4人进，总事件数为C84C甲乙同在组时，只需从剩余6人中选2人补足组，其余4人进，符合要求事件数为C62C4所以所求概率P=14.作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习．在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式．设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数．若，，则的最小值为________．答案：##解析：思路：根据题意得出，构造函数fx=t−解答过程：由题意得dMN令fx所以fx因此对于固定的，dMN(2)的最小值为(令，求导得，又g′0=当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；所以，所以，综上所述，的最小值为．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知等比数列的前项和满足，且，，成等差数列．数列满足：．（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和．答案：（1），，，．（2）．解析：思路：（1）由数列的递推关系进行求解；（2）由1b（1）∵，，成等差数列，∴24a1又∵，当时，，得：，∴，∴，；因为，当时，2b1两式相减得2n则时，；当时，由得，解得符合该式；所以，．（2）由于1bTn所以．16.已知双曲线的左焦点为，右顶点为，渐近线方程为，点在直线上.（1）求的方程；（2）过点的直线与相切于点（异于点），证明.答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）根据条件求出即可；（2）设直线的方程，根据求出方程以及点的坐标、直线的方程，计算点到两直线的距离即可.（1）因为点在直线上，所以.因为的渐近线方程为，所以，故.所以的方程为.（2）设，由，得，则.易知直线的斜率存在（另一条过点的切线为），设其方程为，即.由消去，得.因为直线与相切，所以，且，得，所以直线的方程为，方程的根为，所以，所以直线的方程为.又因为点到直线的距离，等于点到轴的距离，又点在内部，所以.17.如图，在三棱锥中，，，，，，，点，分别是棱，上的点，且直线平面.（1）求的长；（2）求三棱锥的体积；（3）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据线面垂直的性质，结合勾股定理的逆定理、余弦定理、锐角三角函数定义进行求解即可；（2）根据三棱锥的等积性，结合三棱锥的体积公式进行求解即可；（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.（1）在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，因为平面，平面，所以，所以在中，，在中，，在中，由余弦定理，得，所以在中，由余弦定理，得.（2）所以在中，，在中，，在中，由余弦定理，得，所以，设点到平面的距离为，由三棱锥的体积公式和性质，得，所以.（3）由上可知：，取的中点，显然，因为平面，平面，所以，因此以所在的直线为轴和轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：，由上可知：是棱中点，，所以可得，，即设平面的法向量为，，所以，所以取该平面的一个法向量为，设直线BC与平面PAB所成角为，所以.18.已知函数．（1）当求在处的切线方程；（2）当时，证明；（3）若对任意的不等正数，总有，求实数的取值范围．答案：（1）（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，根据直线的点斜式即得切线方程；（2）通过求导，判断函数单调性求得，将待证不等式等价转化为，再构建新函数，求其最值即可证得结论；（3）由题设不等式等价转化后构建函数，根据其单调性得到，通过求的最大值即可求出参数范围.（1）当，故且，故，故切线方程为，即.（2）的定义域为，；当时，令，解得：，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减；故；要证，只需证，即证；设，则，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，.又，，故.（3）不妨设，则由得：，即，令，则，故在上单调递增，在上恒成立，即，又，（*）；设，则，由解得：（舍）或，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，由（*）可得，解得：，的取值范围为.19.为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼，则记1分；若既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记2分．假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率．（1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；（2）从游客中随机抽取n人，