2025-2026学年安徽省宣城市郎溪中学等校高二下册4月期中检测数学试题 含答案

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某校开展社团招新，有3个科技类社团和4个文艺类社团．若某同学打算报名1个科技类社团和1个文艺类社团，则不同的报名方式共有（）A.7种 B.12种 C.16种 D.24种2.已知等比数列中，，，则（）A.192 B.81 C.72 D.453.已知函数，则（）A. B. C. D.4.已知函数的定义域为，且其图象是一条连续的平滑曲线，若，则（）A. B.C. D.5.为迎接校运动会，某校高二年级组织了一个大型团体操表演．队形被设计成一个由多个同心圆组成的图案．从最内圈开始，逐圈向外增加队员．最内圈（第1圈）站了12名同学，为了方便队形展开，从第2圈开始，每一圈的人数都比其相邻内圈多4人．若这次团体操表演总共动用了300名同学，则这个队形的圈数为（）A.6 B.8 C.10 D.126.某科技公司研发了5个不同的人工智能大模型算法，准备应用到智慧医疗、自动驾驶、智能客服这3个不同的应用场景中．要求每个应用场景至少应用1个算法，且每个算法只能应用于1个应用场景，则不同的应用方案共有（）A.150种 B.120种 C.90种 D.60种7.在长方体中，，，，向量，则（）A. B. C. D.8.已知，，且，，则（）A. B. C. D.1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.函数的大致图象可能是（）A. B.C. D.10.已知点P在圆上运动，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则（）A.圆与圆外切B.当直线与圆相切时，的面积为C.的最小值为D.的最小值为11.设，分别为数列，的前n项和．已知，，．若数列满足，则下列说法正确的是（）A.是等差数列 B.是等比数列C.是递减数列 D.若恒成立，则k的最小整数值为6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.计算：______________．（用数字作答）13.对于整数a和正整数m，定义为a除以m所得的非负余数．已知数列满足，，，则______________．14.已知函数，若，，则______________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的展开式中第5项为常数项．（1）求n；（2）求展开式中所有的有理项．16.已知数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前n项和为，证明：．17.已知函数．（1）当时，判断经过点的曲线的切线有多少条；（2）若在区间上的最小值为，求实数a的值．18.已知双曲线C的焦点在x轴上，且C过点，一条渐近线的方程为．（1）求C的方程．（2）已知斜率存在的直线l与C交于A，B两点，且与C的两条渐近线分别交于点M，N．（i）求证：与的中点相同；（ii）若的中点的纵坐标为2，且l与两条坐标轴的正半轴所围成三角形的面积为，求l的方程．19.已知函数．（1）当时，求的极值；（2）当时，，均有，求m的最大整数值；（3）若有且仅有1个零点，求a的取值范围．附：当，且时，．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某校开展社团招新，有3个科技类社团和4个文艺类社团．若某同学打算报名1个科技类社团和1个文艺类社团，则不同的报名方式共有（）A.7种 B.12种 C.16种 D.24种答案：B解析：思路：根据分步乘法计数原理直接得出结果．解答过程：由分步乘法计数原理，可知共有种不同的报名方式．2.已知等比数列中，，，则（）A.192 B.81 C.72 D.45答案：A解析：解答过程：因为是等比数列，所以，即，解得．3.已知函数，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先根据导数的运算法则求出，再将代入，进而即可求出．解答过程：因为，则，所以，解得．4.已知函数的定义域为，且其图象是一条连续的平滑曲线，若，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据，分析函数的正负，从而得到的单调性，从而得正确答案.解答过程：由，得当时，，所以；当时，，所以．因为的图象是一条连续的平滑曲线，所以，则．5.为迎接校运动会，某校高二年级组织了一个大型团体操表演．队形被设计成一个由多个同心圆组成的图案．从最内圈开始，逐圈向外增加队员．最内圈（第1圈）站了12名同学，为了方便队形展开，从第2圈开始，每一圈的人数都比其相邻内圈多4人．若这次团体操表演总共动用了300名同学，则这个队形的圈数为（）A.6 B.8 C.10 D.12答案：C解析：思路：由题意得每一圈的人数构成等差数列，结合等差数列前项和的公式即可求解.解答过程：每一圈的人数构成首项，公差的等差数列，其前项和，则，解得（负值舍去）．6.某科技公司研发了5个不同的人工智能大模型算法，准备应用到智慧医疗、自动驾驶、智能客服这3个不同的应用场景中．要求每个应用场景至少应用1个算法，且每个算法只能应用于1个应用场景，则不同的应用方案共有（）A.150种 B.120种 C.90种 D.60种答案：A解析：思路：依题意将5个算法分为3组，分组形式为3，1，1或2，2，1，进而求解即可．解答过程：将5个算法分为3组，每组至少1个算法，分组形式为3，1，1或2，2，1，所以不同的应用方案共有种．7.在长方体中，，，，向量，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出坐标，再应用模长公式计算求解.解答过程：以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，所以，所以，所以．8.已知，，且，，则（）A. B. C. D.1答案：D解析：思路：由得，由得，设，利用导数研究的性质可得，代入计算即可求解.解答过程：由，可得，由，可得，即，设，则，当时，，所以在上单调递减．因为，，且，，又，所以，所以．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.函数的大致图象可能是（）A. B.C. D.答案：ABC解析：思路：求导可得，分类讨论的取值情况，得出函数对应的单调性，结合选项即可求解.解答过程：因为，所以．当时，，可能是A中的图象；当时，恒成立，所以在上单调递增，可能是B中的图象；当时，令，得或，令，得，故在上单调递减，在上单调递增，可能是C中的图象，但不可能是D中的图象．10.已知点P在圆上运动，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则（）A.圆与圆外切B.当直线与圆相切时，的面积为C.的最小值为D.的最小值为答案：BC解析：思路：根据圆与圆的位置关系即可判断A；直线与圆的位置关系和三角形的面积公式计算即可判断B；如图，确定当取最小值时取得最小值，结合点与圆的位置关系计算即可判断C；设，根据平面向量数量积的定义，由选项C可得，结合换元法和基本不等式计算即可判断D.解答过程：对于A，因为圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，且，所以圆与圆外离，故A错误；对于B，当与圆相切时，，所以的面积为，故B正确．对于C，连接，则，当取最小值时取得最小值，又，所以，故C正确；对于D，设，则，在中，，则，由对C的分析，知，所以，令，则，，当且仅当时等号成立，故D错误．11.设，分别为数列，的前n项和．已知，，．若数列满足，则下列说法正确的是（）A.是等差数列 B.是等比数列C.是递减数列 D.若恒成立，则k的最小整数值为6答案：ABD解析：思路：A选项：利用作差并化简，求出相邻两项的差为常数，从而证明其为等差数列；B选项：利用作差得出相邻两项的比值为常数，并验证首项，从而证明其为等比数列；C选项：写出的通项公式后，利用作商法判断出数列先增后减，故不是递减数列；D选项：基于作商法的结果锁定数列的最大项为并计算出具体数值，从而求得满足不等式恒成立的最小整数.解答过程：对于A，由，可得当时，，两式作差得，移项整理得，因为，所以，两边同时除以，得，所以是以2为首项，4为公差的等差数列，故A正确；对于B，由，得，解得，当时，，两式作差，得，则，所以，所以是以1为首项，为公比的等比数列，故B正确：对于C，D，由A，B知，则，，令，得，可知，当时，，当时，，所以，又，所以k的最小整数值为6，故C错误，D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.计算：______________．（用数字作答）答案：900解析：解答过程：因，则．13.对于整数a和正整数m，定义为a除以m所得的非负余数．已知数列满足，，，则______________．答案：2解析：思路：应用数列周期计算求解.解答过程：由题意，，，，则是周期为4的周期数列，又，所以．14.已知函数，若，，则______________．答案：解析：思路：利用导数分析分段函数的单调性，分情况讨论最大值的情况，令最大值小于或等于16，即可求得的值.解答过程：，当或时，，所以在上单调递增，在上单调递增；当时，，令，得或；令，得.故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.要使，则，解得，所以；当时，在上单调递增，在上单调递减，所以，解得，与矛盾，故舍去；当时，在上单调递增，所以，与矛盾，故舍去.综上，．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的展开式中第5项为常数项．（1）求n；（2）求展开式中所有的有理项．答案：（1）（2），，，．解析：思路：（1）根据二项展开式，令的指数为0即可得解；（2）根据展开式中，的指数为整数即可得解.（1）的展开式的通项为，因为第5项为常数项，所以当时，，解得．（2）由（1）知，展开式的通项为，其中，1，2，…，6．展开式中的有理项即x的指数为整数的项，分别为：当时，，当时，，当时，，当时，．16.已知数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前n项和为，证明：．答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）由累加法，结合等差数列的前n项和公式，可求得数列的通项公式；（2）结合（1）的结论，求得数列的通项公式，利用裂项相消求和法求得，即可证得．（1）因为，所以，当时，，当时，也满足上式，故数列的通项公式为．（2）由（1）知，，．即17.已知函数．（1）当时，判断经过点的曲线的切线有多少条；（2）若在区间上的最小值为，求实数a的值．答案：（1）1条（2）解析：思路：（1）设切点，求出切线，根据过解出切点．（2）求导，对范围讨论，判断单调性，求出最小值，得到实数a的值．（1）由题可知的定义域为，当时，，所以曲线在点处的切线方程为：．将代入上式，得，化简得．令，则，设，则，令，得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，在上有唯一的零点，所以经过点的曲线的切线仅有1条．（2），令，得，令，得．①当时，在上恒成立，故在上单调递增，所以，不符合题意；②当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，由，解得；③当时，在上恒成立，在上单调递减，所以，不符合题意，舍去．综上，．18.已知双曲线C的焦点在x轴上，且C过点，一条渐近线的方程为．（1）求C的方程．（2）已知斜率存在的直线l与C交于A，B两点，且与C的两条渐近线分别交于点M，N．（i）求证：与的中点相同；（ii）若的中点的纵坐标为2，且l与两条坐标轴的正半轴所围成三角形的面积为，求l的方程．答案：（1）（2）（i）证明见解析（ii）解析：思路：（1）利用待定系数法，根据题意即可求得双曲线C的标准方程．（2）设l的方程为，与双曲线的方程联立，用表示出的中点坐标；与渐近线的方程联立，用表示出的中点坐标，即可证得与的中点相同；用表示出l与两条坐标轴的正半轴交点的坐标，根据题意列出关于的方程组，即可求得的值，从而得到直线l的方程.（1）由题可设双曲线的方程为．因为C的一条渐近线的方程为，所以，即，①又因为C过点，所以．②联立①②，解得．所以C的方程为．（2）（i）设l的方程为．联立得，消去y，得，则，由，得，设，则，AB中点的横坐标为．C的渐近线方程为，，得，由，得，则MN中点的横坐标为，所以，又两个中点都在l上，所以，故MN与AB的中点相同．（ii）l与两条坐标轴的交点的坐标分别为和．将代入，得，由，得．③因为与两条坐标轴的正半轴相交，所以即因为l与两条坐标轴的正半轴所围成三角形的面积为，所以，化简得，④将④代入③，得，