2025-2026学年安徽桐城市杨公中学高二下册期中考试数学试题 含答案

/数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是定义在上的可导函数，若，则（）A. B. C. D.12.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.15 B. C. D.73.的展开式共（）A.15项 B.21项 C.25项 D.31项4.等比数列满足且，则（）A.4 B.6 C.8 D.105.已知直线是函数和函数图象的公切线，则（）A. B.3 C.4 D.6.已知定义在上的连续函数为奇函数，的导函数为．若对任意，都有，且，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.7.徽风皖韵，山水入怀，江淮毓秀名人辈出，安徽山水人文皆是胜景．7个人到安徽省的7个不同地方旅游，一人只去一个地方，甲不去A地，乙不去B地，丙不去C地，丁不去D地，其余3人无限制，则不同的旅游方案共有（）种A. B.C. D.8.如果存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于，关于下列排列组合数关系式，结论正确的是（）A. B.C. D.10.已知是等差数列的前项和，为公差，且，，则下列说法正确的是（）A. B.当时，取最小值C. D.11.已知定义域为的奇函数满足，不恒为零，为函数的导函数且的定义域为，则下列结论正确的有（）A. B.C.是偶函数 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数在上的最小值为______．13.某校安排3名男生和2名女生分两组去甲、乙两地参加社会调研．已知每组至多3人，且至少有1名男生，则不同的安排方案共有______种（用数字作答）．14.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里给出了杨辉三角，书中是用汉字来表示的，如图1.研究发现，杨辉三角可以由组合数来表示，如图2.杨辉三角有很多有趣的性质，如杨辉三角的两个腰上的数字都是1，用组合数表示为请仔细观察杨辉三角，从杨辉三角蕴含的规律可知：____________(用数字作答)四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知(且求：（1）n和；（2）（3）16.已知等比数列的前项和为，公比，且，.（1）求公比的值；（2）设，求证：是等比数列.17.已知函数（，，e为自然对数的底数），若对于恒成立．（1）求实数a的值；（2）证明：存在唯一极大值点，且．18.已知数列满足，当时，（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，求；（3）证明：，.19.已知函数．（1）求在上的零点个数；（2）若，都有成立，求实数的值；（3）对于任意，当时，都存在，使得成立，其中，直接写出的值．

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是定义在上的可导函数，若，则（）A. B. C. D.1答案：C解析：解答过程：.2.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.15 B. C. D.7答案：C解析：思路：使用等差数列前项和的性质成等差数列表示未知量，进而求解即可.解答过程：设，，则，，，成等差数列，，即，解得，所以.3.的展开式共（）A.15项 B.21项 C.25项 D.31项答案：B解析：思路：将问题转化为求满足的解的个数,再利用隔板法计算.解答过程：展开式中任意一项的形式为（为系数），其中指数满足，为非负整数，不同的对应不同的项，因此问题转化为求该不定方程的非负整数解的个数,根据隔板法公式：个相同元素分给个不同对象，非负整数解的个数为，此处，，代入得：

.4.等比数列满足且，则（）A.4 B.6 C.8 D.10答案：C解析：解答过程：因为，所以，由等比数列性质可知，所以，.5.已知直线是函数和函数图象的公切线，则（）A. B.3 C.4 D.答案：C解析：解答过程：由，得由，得.直线的斜率为.令，得，将代入，得，所以直线与函数的图象的切点为，所以，.设直线与函数的图象的切点为，则，得.因为函数单调递增，且，所以，.所以.6.已知定义在上的连续函数为奇函数，的导函数为．若对任意，都有，且，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：令，首先判断的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，最后根据函数的单调性解函数不等式.解答过程：令，因为是奇函数，即，，是奇函数；又当时，，在上单调递增，在上单调递增；是定义在上的连续函数，所以在上单调递增；又，，对于不等式，又，所以，所以不等式等价于，即，所以，且，即不等式解集为．7.徽风皖韵，山水入怀，江淮毓秀名人辈出，安徽山水人文皆是胜景．7个人到安徽省的7个不同地方旅游，一人只去一个地方，甲不去A地，乙不去B地，丙不去C地，丁不去D地，其余3人无限制，则不同的旅游方案共有（）种A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据容斥原理，总方案数＝7人全排列－任意1人违规的方案数＋任意2人违规的方案数－任意3人违规的方案数＋4人都违规的方案数，求解即可．解答过程：记甲去A地，或乙去B地，或丙去C地，或丁去D地为违规，且对应不能去的地方为禁地，7个人到7个不同地方，即7人全排列，共有种情况，任意1人违规（从甲、乙、丙、丁中选1人去禁地，其余6人无限制），共有种方案数；任意2人违规（从甲、乙、丙、丁中选2人去禁地，其余5人无限制），共有种方案数；任意3人违规（从甲、乙、丙、丁中选3人去禁地，其余4人无限制），共有种方案数；4人都违规（甲、乙、丙、丁中4人都去禁地，其余3人无限制），共有种方案数，所以不同的旅游方案共有种方案数．故选：A8.如果存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：令，将转化为，令，利用导数判断函数的单调性，得到，令，根据导数判断单调性，求得最大值，即可求解.解答过程：令，则，，因为，所以，令，则，令，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，要使存在，使得不等式成立，则，令，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以，所以的取值范围是二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于，关于下列排列组合数关系式，结论正确的是（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：根据排列数、组合数的性质或排列数、组合数的计算公式即可求解.解答过程：根据组合数的性质或组合数的计算公式，所以，所以A选项正确；，，所以，所以B选项正确；，而，所以C选项错误；，，所以D选项正确．10.已知是等差数列的前项和，为公差，且，，则下列说法正确的是（）A. B.当时，取最小值C. D.答案：AD解析：思路：根据等差数列性质可得，，即可得，即可判断A；结合单调性分析数列的正负性，即可得的最值，即可判断BCD.解答过程：因为数列为等差数列，则，即，且，即，可得，所以公差，故A正确；可知等差数列为递增数列，当时，；当时，；所以当时，取最小值，故B错误；所以，，故C错误，D正确．11.已知定义域为的奇函数满足，不恒为零，为函数的导函数且的定义域为，则下列结论正确的有（）A. B.C.是偶函数 D.答案：BCD解析：思路：对于A，令，代入计算即可判断；对于B，结合奇函数和对称轴的性质即可判断；对于C，由，两边求导数即可求解；对于D，由，两边求导数，令即可求解.解答过程：因为定义域为的奇函数满足，所以，且的对称轴为，对于A，令，满足是定义在上的奇函数，且对称轴为，但，故A错误；对于B，由于，则，因为为奇函数，所以，则，所以，故B正确；对于C，由，两边求导数可得，所以是偶函数，故C正确；对于D，由，两边求导数可得，令，可得，解得，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数在上的最小值为______．答案：1解析：思路：对函数的导数，判断函数的单调区间和极值点，从而求出的最小值.解答过程：根据题意可得，令，解得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以是区间上的极小值点，也是最小值点，则.13.某校安排3名男生和2名女生分两组去甲、乙两地参加社会调研．已知每组至多3人，且至少有1名男生，则不同的安排方案共有______种（用数字作答）．答案：18解析：思路：结合排列组合知识，按照分类加法原理和分步乘法原理求解即可.解答过程：先将3名男生和2名女生按要求分成两组，有两类分组方法：第一类：由1男1女组成一组，其余2男1女组成一组，有种分法；第二类：由1男2女组成一组，其余2男组成一组，有种分法.所以共有种分组方法.再将分好的两组分配到甲、乙两地参加社会调研，有种分法，根据乘法分步原理，不同的安排方案有种.14.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里给出了杨辉三角，书中是用汉字来表示的，如图1.研究发现，杨辉三角可以由组合数来表示，如图2.杨辉三角有很多有趣的性质，如杨辉三角的两个腰上的数字都是1，用组合数表示为请仔细观察杨辉三角，从杨辉三角蕴含的规律可知：____________(用数字作答)答案：19600解析：解答过程：由杨辉三角的性质，得，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知(且求：（1）n和；（2）（3）答案：（1），（2）（3）解析：思路：（1）通过使用二项式定理展开的通项就可以得到通项的表达式，再利用求解;（2）使用赋值法，令直接解；（3）使用两次赋值法，令，得到，令得，，两式联立即可求解.（1）由于，运用二项式定理展开可知，，．（2）令得，（3）令得，，令得，，.16.已知等比数列的前项和为，公比，且，.（1）求公比的值；（2）设，求证：是等比数列.答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）根据条件计算出等比数列的公比；（2）运用等比数列的定义证明即可.（1）由题可知，将代入得，解得或，又因为公比，所以；（2）由（1）可知，，，，所以是等比数列.17.已知函数（，，e为自然对数的底数），若对于恒成立．（1）求实数a的值；（2）证明：存在唯一极大值点，且．答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）对于恒成立，化为：，令，利用导数研究其单调性，对分类讨论，求出其最小值，要求其大于等于0即可得出.（2）求导，令，利用导数研究其单调性，根据，由零点存在定理知，方程在上有唯一根，进而，根据基本不等式及的单调性可得，即可得证.（1），因为，所以恒成立，令，则，①时，，函数单调递减，，不恒成立，不合题意；②时，令得，令得，令得，所以在单调递减，在上单调递增，所以时，取得极小值即最小值，所以．令，，则，，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以，即，所以只有时，，满足恒成立，故．（2）由（1）可知：，故，令，，所以在上单调递减，在上单调递增，，，，因为，由零点存在定理及的单调性知，方程在上有唯一根，设为且，从而有两个零点和0，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，从而存在唯一的极大值点，得证．由得：，，所以，取等不成立，所以得证．又因为，在上单调递增，所以，从而成立，得证．18.已知数列满足，当时，（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，求；（3）证明：，.答案：（1）（2）（3）证明见解析.解析：思路：（1）对两边同时除以，再用累加法求和.（2）先算出，再用分组求和法求解（3）保留和式的前4项，对后面的项放缩为等比数列求和（1）由题可知，上式两边同时除以得，由累加法得：，化简得：，再化简得：，即当时，，又因为，符合的通项公式，所以.（2），Tn=，令Sn=.（3），计算前四项和：，所以当时不等式成立，下证当时成立，当时，，.19.已知函数．（1）求在上的零点个数；（2）若，都有成立，求实数的值；（3）对于任意，当时，都存在，使得成立，其中，直接写出的值．答案：（1）在上恰有一个零点．（2）（3）解析：思路：（1）先求导，分与判断，从而得到在给定区间上单调递增，再结合端点函数值与零点存在定理确定零点个数．（2）构造，由且推出是的最小值点，再由先求出的必要值，最后验证时恒成立．（3）先求在上的值域为，再把题设转化为集合关于某个常数和的配对问题，由确定即可．（1）因为，所以．当时，，，所以，当时，，，所以．因此在上单调递增．又，，且在上连续，所以在上存在一个零点．由于在上单调递增，所以该零点唯一．故在上恰有一个零点．（2）令．由题意，，都有．又，所以是的最小值点．因为在上可导，所以．由，得，解得．下面验证时满足题意．当时，，．当时，，，所以，于是在上单调递减．当时，需证明，即证明．若，则，且设，则，所以是增函数，又，所以，所以，故；若，则，设，则，所以在时，是增函数，又，所以，故仍有．所以当时，，于是在上单调递增．综上，在上单调递减，在上单调递增，所以．因此，都有