2025-2026学年福建福州市台江区九校高一下册期中考试数学试题 含答案

/数学一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知平面向量，，若向量与共线，则（）A. B.2 C.5 D.2.复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（）A. B. C.1 D.3.圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（）A.7 B.6 C.5 D.34.在中，D为的中点，E为上一点，则（）A. B. C. D.5.如图，是一个平面图形的直观图，其中是直角三角形，，则原图形的面积是（）A.4 B. C.8 D.6.已知向量，，则“”是“向量与的夹角为锐角”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件7.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（）A. B. C. D.8.平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共30分）9.已知向量，，则（）A. B.向量,的夹角为C. D.在方向上的投影向量是10.下列说法正确的是（）A.B.C.若，则的最小值为2D.若是关于的方程的根，则11.对于有如下命题，其中正确的是（）A.若，则为钝角三角形B.若，且有两解，则的取值范围是C.在中，若，则不等式恒成立D.在中，若，则必是等边三角形三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________cm．13.海上一观测站测得南偏西的方向上有一艘停止待维修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里，此时海盗船距观测站海里，20分钟后测得海盗船位于距观测站20海里的处，再经___________分钟海盗船到达商船处．14.如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为______________四、解答题（本大题共5小题，共77分）15.已知复数．（1）若是纯虚数，求的值；（2）若在复平面内所对应的点在第四象限，求的取值范围．16.如图，在平行四边形中，E为的中点，设.（1）用表示；（2）若，且，求.17.如图，在中，，，点D在线段BC上.（1）若∠ADC=，求AD的长；（2）若BD=2DC，△ADC的面积为，求AC的长.18.如图，在高为2的正三棱柱中，是棱的中点．（1）求该正三棱柱的体积；（2）求三棱锥的体积；（3）设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值．19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且设点P为的费马点．（1）若，且面积为．（i）求角B；（ii）求；（2）若，，，的面积为，，，求的最小值．

数学一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知平面向量，，若向量与共线，则（）A. B.2 C.5 D.答案：D解析：思路：直接利用向量平行的坐标运算列方程求解．解答过程：因为向量与共线，所以，解得．故选：D．2.复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（）A. B. C.1 D.答案：C解析：解答过程：由题意可得：，所以，所以复数的共轭复数的虚部为1.3.圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（）A.7 B.6 C.5 D.3答案：A解析：思路：设圆台的上下底面圆的半径分别为，根据题意，求得，再利用圆台的侧面积公式，列出方程，即可求解.解答过程：设圆台较小底面圆的半径为，较大的底面圆的半径为，因为圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，可得，所以，又因为圆台的侧面积为，可得，解得.故选：A.4.在中，D为的中点，E为上一点，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由已知，根据平面向量线性运算加减法法则可以直接进行求解.解答过程：由已知，D为的中点，所以，所以.故选：D.5.如图，是一个平面图形的直观图，其中是直角三角形，，则原图形的面积是（）A.4 B. C.8 D.答案：B解析：思路：还原，求出其边长即可求解直角三角形的面积.解答过程：如图，的直观图是，则，则的面积为.故选：B6.已知向量，，则“”是“向量与的夹角为锐角”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：思路：由充分条件和必要条件的概念以及向量数量积的应用，进行判断即可.解答过程：若，则，解得．若向量与的夹角为锐角，则且，所以且，解得．故“”是“向量与的夹角为锐角”的必要不充分条件．故选：C.7.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理边化角求解．解答过程：在△ABC中，，而，由，得，又，，则，由正弦定理得，解得，由，得，所以．8.平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：建立平面直角坐标系，设，把的取值范围转化为求二次函数的值域问题，即可求得本题答案.解答过程：作，垂足为，以点为原点，所在直线为轴，轴建立如下图的平面直角坐标系.因为，而,所以，在直角中，因为，，所以，，则，设，所以，所以，因为二次函数开口向上，对称轴为，且，所以当时，取最小值，当时，取最大值，所以的取值范围是.故选：C二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共30分）9.已知向量，，则（）A. B.向量,的夹角为C. D.在方向上的投影向量是答案：BD解析：思路：根据向量的坐标运算，即可结合选项逐一求解.解答过程：对于，，，，，，故A错误；对于B，，由于，则向量的夹角为，故B正确；对于C，，，故C错误；对于D，在方向上的投影向量为，故D正确．故选：BD．10.下列说法正确的是（）A.B.C.若，则的最小值为2D.若是关于的方程的根，则答案：ABD解析：思路：设，，计算出判断A；利用复数单位的幂运算判断B；设，，得到，，根据，得到的最小值为1判断C，先求出二次方程的另一个根，然后利用韦达定理求得判断D．解答过程：设，，则，又，，所以成立，所以A正确．，所以B正确．设，，由于，则，即，故，由，得，则，故当时，的最小值为1，所以C不正确．因为是关于的方程的根，所以也是关于的方程的根，则，则，所以D正确．故选：ABD．11.对于有如下命题，其中正确的是（）A.若，则为钝角三角形B.若，且有两解，则的取值范围是C.在中，若，则不等式恒成立D.在中，若，则必是等边三角形答案：ACD解析：思路：由正弦定理将角化边，再由余弦定理可得，判断出角为钝角，判断A；由三角形有两解的充要条件列表达式，可得的范围，判断B；由正弦定理判断C；由余弦定理可得，判断出△ABC的形状，判断D．解答过程：A中，，即，由正弦定理可得，由余弦定理可得，因为，所以，即为钝角，所以该三角形为钝角三角形，故A正确；B中，若，且△ABC有两解，则，即，即的范围为，所以B错误；C中，在△ABC中，，由大角对大边得，由正弦定理可得成立，所以C正确；D中，若，由余弦定理可得，即，即，所以，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________cm．答案：解析：思路：利用上升水的体积等于实心铁球的体积计算即可得.解答过程：设水面升高了cm，由题意知，解得.13.海上一观测站测得南偏西的方向上有一艘停止待维修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里，此时海盗船距观测站海里，20分钟后测得海盗船位于距观测站20海里的处，再经___________分钟海盗船到达商船处．答案：解析：思路：根据图示：在中，利用余弦定理求得，从而得到，然后在中，利用正弦定理求得，然后再根据速度求出时间.解答过程：如图所示：在中，，由余弦定理得：，所以，则，在中，，所以，即再经分钟海盗船到达商船处．故方法提示：本题主要考查余弦定理的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14.如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为______________答案：解析：思路：利用平面向量共线的推论直接计算即可．解答过程：因为，，所以．因为三点共线，所以，解得．四、解答题（本大题共5小题，共77分）15.已知复数．（1）若是纯虚数，求的值；（2）若在复平面内所对应的点在第四象限，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）化简复数，根据复数是纯虚数，列出方程组，即可求解；（2）由复数在复平面内所对应的点在第四象限，根据复数的几何意义，列出不等式组，即可求解.（1）由复数，因为复数是纯虚数，则满足，解得或（舍去），所以实数的值为.（2）由复数，若在复平面内所对应的点在第四象限，则满足，解得，所以实数的取值范围为.16.如图，在平行四边形中，E为的中点，设.（1）用表示；（2）若，且，求.答案：（1），，（2）解析：思路：（1）由向量对应线段的数量、位置关系用表示出即可；（2）由（1）及向量数量积的运算律可得，结合已知即可求值.（1）由，，，所以，，.（2）由（1）知：，又，且，则.17.如图，在中，，，点D在线段BC上.（1）若∠ADC=，求AD的长；（2）若BD=2DC，△ADC的面积为，求AC的长.答案：（1）（2）解析：思路：（1）在中，由正弦定理即可求解；（2）由，得到，结合三角形面积公式求得，再由余弦定理即可求解.（1）在中，.在中，由正弦定理得，又，（2）.又.，解得：在中，由余弦定理得，所以.18.如图，在高为2的正三棱柱中，是棱的中点．（1）求该正三棱柱的体积；（2）求三棱锥的体积；（3）设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值．答案：（1）；（2）；（3）．解析：思路：（1）由正三棱柱的体积公式求解即可；（2）由的体积等于，分别求出的体积代入即可得出答案.（3）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示,当三点共线时，取得最小值，求解即可.（1）因为，所以．（2）因为，，所以（3）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示．当三点共线时，取得最小值，且最小值为．19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且设点P为的费马点．（1）若，且面积为．（i）求角B；（ii）求；（2）若，，，的面积为，，，求的最小值．答案：（1）（i）；（ii）（2）．解析：思路：（1）（