2025-2026学年福建泉州第五中学高一下册期中考试数学试题 含答案

/数学（本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数的实部与虚部互为相反数，则实数的值为（）A. B. C. D.2.化简以下各式，结果不是零向量的为（）A. B.C. D.3.已知向量，下列选项正确的为（）A.若，则 B.若，则C.的最小值为6 D.若与垂直，则4.如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（）A.B.C.D.5.如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（）A.米 B.米 C.米 D.米6.在中，角的对边分别为，若，，则（）A. B. C. D.7.已知三棱锥中，棱，，两两垂直，且长度都为．以为球心，4为半径的球与三棱锥的表交所得到的曲线长度为（）A. B. C. D.8.已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是A. B. C.2 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，是复数，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则是纯虚数C. D.10.如图（1）是一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器倒置，水面也恰好过点（图（2））．下列四个命题中，正确的有（）A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B.在图1容器中，若往容器内再注入升水，则水面高度是容器高度的C.将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点D.任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点11.第十五届全国运动会会徽“同心礼花”由广东木棉花、香港紫荆花、澳门莲花的三朵花瓣交叠旋转而成，构成爱心形状，象征三地同心同源、深度融合．会徽轮廓如下图1，现将其简化为图2：半径均为1的圆，，互相过圆心，A，B为圆上两点，且，点C在圆与圆上运动．若，则下列选项可能成立的是（）A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆台的高为，上底面半径为，下底面半径为，则该圆台的体积为______．13.已知关于的实系数一元二次方程的两个虚根为，若，则实数的值为______．14.已知的内角所对的边分别为，满足．（1）当时，的取值范围是___________．（2）当取得最小值时，___________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，，，，点E，F在BC边上且，．（1）若，用，表示，并求线段AE的长；（2）若，求的值．16.在中，内角，，的对边分别为，，，且，．（1）若，求；（2）若是边上一点，且满足，求的面积．17.如图1，设半圆的直径为4，点B、C三等分半圆，点M、N分别是OB、OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2），在图2中完成下列各题：（1）求圆锥中线段MN的长；（2）求四面体ACMN的体积．18.如图，为线段的中点，为延长线上的一点，以为圆心，为半径作半圆，为半圆上除去直径端点的一点，连接．（1）若，以为边作正三角形（点在直线的上方），当四边形面积为时，求；（2）在中，记的对边分别为，的面积为，满足①求证：；②求的最小值．19.我国南北朝数学家祖暅于5世纪末提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”.这就是“祖暅原理”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.（1）如图1，左边是半径为R的半球，右边是底面半径和高都等于R的圆柱，它们的底面在同一个平面上，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到的一个新几何体，现在用平行于平面的平面去截半球和新几何体，得到如图所示两个阴影面，设底面圆心O到截面的距离为d，分别求图中的两个阴影面积及新几何体的体积.（2）如图2，一个球体被平面截下的部分叫做球缺.截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高.根据祖暅原理，推导半径为R，高为H的球缺的体积公式.（3）若正方体棱长为，求该正方体与以A为球心，2为半径的球的公共部分的体积.

数学（本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数的实部与虚部互为相反数，则实数的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用复数的除法化简复数，利用已知条件可得出关于的等式，即可求得实数的值.解答过程：因为，由已知可得，解得.故选：A.2.化简以下各式，结果不是零向量的为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据平面向量线性运算法则计算可得.解答过程：对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：，故D正确；故选：B3.已知向量，下列选项正确的为（）A.若，则 B.若，则C.的最小值为6 D.若与垂直，则答案：D解析：思路：运用向量平行垂直的坐标结论，结合模长公式计算判断即可.解答过程：对于A选项，若，已知，有，即，所以，A选项错误.对于B选项，若，根据两向量垂直的性质，.，则.又因为，联立方程组，解得，B选项错误.对于C选项，先求的坐标，.则.展开整理得.其最小值为.所以的最小值为，C选项错误.对于D选项，若与垂直，则，.因，，则.则，D选项正确.故选：D.4.如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（）A.B.C.D.答案：B解析：思路：以所在平面作为下底面，将展开图还原为正方体，根据正方体性质判断选项即可.解答过程：以所在平面作为下底面还原，则重合，重合，还原成如图正方体:对于A，由图可得异面不平行，故A错误；对于B，显然，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，由图可得异面不平行，故D错误.5.如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（）A.米 B.米 C.米 D.米答案：A解析：思路：先根据正弦定理求得，进而在中，利用求解．解答过程：在中，，，，则，由正弦定理得，所以.在中，，所以米.故选：A6.在中，角的对边分别为，若，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由，得，又，所以，，，因为（是三角形内角），所以，即，又，所以，由，得，又，且，所以，则，所以，所以，所以．7.已知三棱锥中，棱，，两两垂直，且长度都为．以为球心，4为半径的球与三棱锥的表交所得到的曲线长度为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：对于每个相交面，利用点到面的距离公式，结合球的半径，求出交线圆弧的半径；再通过几何关系确定圆心角，最后将所有相交得到的曲线长度相加，得到总长度.解答过程：面是过的平面，截球所得截面圆的圆心为，半径为,顶点都在球内（），在球外（），因此和各有一个交点，交线为两点间的圆弧,上交点满足，得，又（中），因此圆弧圆心角，弧长，同理，面与对称，弧长，是等边三角形，、各有一个交点，圆心角为，弧长：，到面的距离，截面圆半径，截面圆心为，弧长：，.8.已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是A. B. C.2 D.答案：A解析：思路：先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.解答过程：设，则由得，由得因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.方法提示：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，是复数，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则是纯虚数C. D.答案：BCD解析：解答过程：取，满足z1−z2设，若z12<0，说明是负实数，因此z满足虚部，且实部，若，则无实数解，因此只能，此时−b2<0得，即​是纯虚数，故B正确；根据共轭复数的性质z1+z推导得

(z因为z2=z10.如图（1）是一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器倒置，水面也恰好过点（图（2））．下列四个命题中，正确的有（）A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B.在图1容器中，若往容器内再注入升水，则水面高度是容器高度的C.将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点D.任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点答案：BC解析：思路：根据题意，结合棱柱和棱锥的体积公式，以及棱柱的结构特征，逐项判定，即可求解.解答过程：设图（1）中水的高度为，几何体的高度为，设正四棱柱的底面边长为，可得图（2）中水的体积为，对于A中，由，解得，所以A错误；对于B中，若往容器内再注入升水，即，则水面上升的高度为，所以水面的高度为，所以B正确；对于C中，由水的体积为，容器的体积为，所以，当容器侧面水平放置时，点点在长方体中截面上，中截面将容器内的空间分为体积相等的两部分，结合题意水面也恰好经过点，所C正确.对于D中，如图所示，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，因为四棱锥的高为，几何体的高度为，设正四棱柱的底面边长为，可得，由，可得，可得，所以的体积为，可得水的体积为，此时，矛盾，所以D不正确.故选：BC.11.第十五届全国运动会会徽“同心礼花”由广东木棉花、香港紫荆花、澳门莲花的三朵花瓣交叠旋转而成，构成爱心形状，象征三地同心同源、深度融合．会徽轮廓如下图1，现将其简化为图2：半径均为1的圆，，互相过圆心，A，B为圆上两点，且，点C在圆与圆上运动．若，则下列选项可能成立的是（）A. B. C. D.答案：ACD解析：思路：根据题意求得，从而得到，对于ACD，将其代入，有解即可判断正确；对于B，根据基本不等式得到，可判断.解答过程：由题意知，，，，因为，所以，故，对于A，当时，则，此时，，所以当四点共线或四点共线时成立（不重合），故A正确；对于B，因，故，即，故B错误；对于C，当时，将代入得，解得满足，故C正确；对于D，当时，，代入得，即满足，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆台的高为，上底面半径为，下底面半径为，则该圆台的体积为______．答案：解析：思路：根据圆台的体积公式计算可得.解答过程：因为圆台的高，上底面半径，下底面半径，所以圆台的体积.故13.已知关于的实系数一元二次方程的两个虚根为，若，则实数的值为______．答案：解析：思路：利用公式法求解一元二次方程可得题意方程的两个虚根为，进而，解之即可求解.解答过程：由关于的实系数一元二次方程的两个虚根为，得，所以，解得.故14.已知的内角所对的边分别为，满足．（1）当时，的取值范围是___________．（2）当取得最小值时，___________．答案：①.②.解析：思路：（1）已知条件利用正弦定理化简得，当时，，代入m的表达式可得的取值范围；（2）结合积化和差公式得(当且仅当时取等号)，此时m最小，有，令，由万能公式化简得，当且仅当时取等号，再用倍角公式计算此时的.解答过程：（1）已知，由正弦定理化简得，所以，当时，，故，有，则有，因，故，从而，代入m的表达式得，当且仅当时取等号，故m的取值范围为；（2）对固定的角A，，当且仅当时取等号，此时m最小，设，则，，故，令，由万能公式得，代入化简得，当且仅当即时取等号，此时.故；四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，，，，点E，F在BC边上且，．（1）若，用，表示，并求线段AE的长；（2）若，求的值．答案：（1），（2）解析：思路：（1）由向量的线性运算，利用基底表示，再利用数量积的运算律求出长.（2）利用基底表示出，，再利用数量积的运算律，结合已知建立等式即可.（1）在中，令，，则；，，，所以|AE（2），，则，即，，化简得：，所以.16.在中，内角，，的对边分别为，，，且，．（1）若，求；（2）若是边上一点，且满足，求的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）借助正弦定理将角化为边后结合余弦定理可得，则可得，再利用正弦定理计算即可得；（2）设，利用可得，再利用余弦定理计算即可得，从而可得为正三角形，再利用面积公式计算即可得解.（1），由正弦定理得：，，即，，，在中，由正弦定理得：，；（2）记，则，，．在和中，由余弦定理得：，解得：，是边长为6的正三角形，故，的面积．17.如图1，设半圆的直径为4，点B、C三等分半圆，点M、N分别是OB、OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2），在图2中完成下列各题：（1）求圆锥中线段MN的长；（2）求四面体ACMN的体积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先求出圆锥的底面圆半径，再利用正弦定理求出，进而可得出答案；（2）根据求解即可；（1）在图2中，设圆锥的底面圆半径为r，则，解得.因为在图1中，点B、C三等分半圆，所以在图2中，点B、C为圆锥的底面圆周的三等分点，则为等边三角形，所以，所以.又因为点M、N分别是OB、OC的中点，所以（2）因为，圆锥的高，所以，所以，即四面体ACMN的体积为18.如图，为线段的中点，为延长线上的一点，以为圆心，为半径作半圆，为半圆上除去直径端点的一点，连接．（1）若，以为边作正三角形（点在直线的上方），当四边形面积为时，求；（2）在中，记的对边分别为，的面积为，满足①求证：；②求的最小值．答案：（1）（2）①证明见解析；②解析：思路：（1）设，，根据条件得到，结合条件，即可求解；（2）①根据条件，利用三角形面积及余弦定理得到，利用正弦定理边转角，得到，即可求解；②设，利用①及正弦定得到，从而有，再利用基本不等式，即可求解.（1）设，，在中，，，由余弦定理，得到又，所以，得到，又，所以，则，所以，则.（2）①由，则，又，所以，即，又由余弦定理，得到，所以，得以，∴，又∴，又，，∴或，即或（舍去），故，即.②不妨设，则，由正弦定理知，所以，又，∴，∴又，∴原式，当且仅当，即时取等号，∴的最小值为，此时.19.我国南北朝数学家祖暅于5世纪末提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”.这就是“祖暅原理”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.（1）如图1，左边是半径为R的半球，右边是底面半径和高都等于R的圆柱，它们的底面在同一个平面上，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到的一个新几何体，现在用平行于平面的平面去截半球和新几何体，得到如图所示两个阴影面，设底面圆心O到截面的距离为d，分别求图中的两个阴影面积及新几何体的体积.（2）如图2，一个球体被平面截下的部分叫做