2025-2026学年福建省厦门市海沧实验中学高二下册3月质检数学试题 含答案

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.设随机变量X的概率分布列为则（）A. B. C. D.2.用5种不同的颜色对如图所示的A，B，C区域进行着色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则共有（）种不同的着色方法．A.60 B.64 C.80 D.1253.函数的单调递减区间为（）A. B. C. D.4.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A. B. C. D.5.若函数在上单调递增，则实数a的取值范围()A. B. C. D.6.的展开式中的系数为（）A. B. C.14 D.497.6位学生在游乐场游玩三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（）A.180种 B.210种 C.240种 D.360种8.若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.已知是函数的导函数，的图象如图，则下列关于函数的说法正确的是（）A.在上单调递减B.在处取得极小值C.D.在处取得极小值10.已知的二项式系数和为64，则（）A.B.常数项是第3项C.二项式系数最大值为20D.所有项系数之和等于111.设，且，则下列关系式可能成立的是（）A. B. C. D.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.12.已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么________.13.若直线是曲线的一条切线，则_________.14.某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．16.甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.（1）随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率；（2）已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.17.如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面夹角的正弦值．18.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若有极大值，且极大值大于，求的取值范围.19.已知和为椭圆：上两点.（1）求椭圆的离心率；（2）过点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）.（i）若的面积为，求直线的方程；（ii）直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.设随机变量X的概率分布列为则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据随机变量的概率和为，即可求得的值，再将的概率相加，即可得解.解答过程：，则.故选：B．2.用5种不同的颜色对如图所示的A，B，C区域进行着色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则共有（）种不同的着色方法．A.60 B.64 C.80 D.125答案：C解析：思路：根据给定条件，按用色多少分类，再利用分步乘法计数原理列式计算即得.解答过程：依题意，对A，B，C区域进行着色，可以用2种颜色，也可以用3种颜色，用2种颜色，则A，C必同色，不同着色方法有（种），用3种颜色，不同着色方法有（种），所以不同着色方法共有（种）.故选：C3.函数的单调递减区间为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：直接求导，再令，解出不等式即可.解答过程：，令，解得，所以的单调递减区间为，故选：A.4.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A. B. C. D.答案：D解析：思路：男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.解答过程：两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．方法提示：本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．5.若函数在上单调递增，则实数a的取值范围()A. B. C. D.答案：A解析：思路：f(x)在上单调递增，等价于恒成立，据此即可求出a的范围．解答过程：由题可知，恒成立，故，即．故选：A﹒6.的展开式中的系数为（）A. B. C.14 D.49答案：D解析：思路：根据二项式的展开式的通项进行合理赋值即可.解答过程：的展开式的通项为，则，，则展开式中的系数为，故选：D.7.6位学生在游乐场游玩三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（）A.180种 B.210种 C.240种 D.360种答案：C解析：思路：分A有2人和4人，结合排列组合求解即可.解答过程：若A有2人游玩，则有种；若A有4人游玩，则有种；所以共有240种，故选：C.8.若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：求出函数的导数，求出函数有两个变号零点的的范围即可.解答过程：函数的定义域为R，求导得，由函数恰有两个极值点，得函数有两个变号零点，即方程有两个不等实根，令，因此函数的图象与直线有两个交点，求导得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，因此函数在处取得最小值，而，，且当时，恒成立，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图：观察图象知，当时，函数的图象与直线有两个交点，所以实数的取值范围是.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.已知是函数的导函数，的图象如图，则下列关于函数的说法正确的是（）A.在上单调递减B.在处取得极小值C.D.在处取得极小值答案：ACD解析：思路：结合导函数图象，根据导数正负得函数的单调性，从而得出极值．由此判断各选项．解答过程：由已知，时，（只有），因此在上单调递减，AC正确；，且两侧的导数都是负数，所以不是极值，B错误；由，时，，单调递减，时，，单调递增，所以是极小值，D正确．故选：ACD10.已知的二项式系数和为64，则（）A.B.常数项是第3项C.二项式系数最大值为20D.所有项系数之和等于1答案：ACD解析：思路：根据给定条件，利用二项式系数的性质求出，再根据二项式及展开式通项、组合数、赋值法逐项判断即可.解答过程：对于A，由题意，二项式系数和为64，则，解得，故A正确；对于B，通项公式为，令，得，则第四项为常数项，故B错误；对于C，二项式系数最大项为中间项第四项，所以为，故C正确；对于D，令则系数和为，故D正确.故选：ACD.11.设，且，则下列关系式可能成立的是（）A. B. C. D.答案：AC解析：思路：首先求出，再分别构造函数，结合导数，利用函数单调性一一分析即可.解答过程：由于，知，及其，则，解得，对AB，，设函数，，故在上单调递减，则1，即，故A对B错；对C，由于，设，，故在上单调递减，，故，若，故C对；对D，，设，，令，则，则，，则，，则在上单调递增，在上单调递减，，故，即，故D错误.故选：AC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.12.已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么________.答案：0解析：思路：根据两点分布确定X的期望，再由随机变量的线性关系的期望性质，即可求解.解答过程：因为随机变量X服从两点分布，，所以，所以，因为，所以故0.13.若直线是曲线的一条切线，则_________.答案：解析：思路：法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解.解答过程：法一：对于，其导数为，因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2，令，即，解得，将代入切线方程，可得，所以切点坐标为，因为切点在曲线上，所以，即，解得.故答案为.法二：对于，其导数为，假设与的切点为，则，解得.故答案为.14.某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______．答案：①.②.解析：思路：结合列举法或组合公式和概率公式可求解第一空；采用列举法或者条件概率公式可求第二空.解答过程：解法一：列举法给这5个项目分别编号为,从五个活动中选三个的情况有：,共10种情况，其中甲选到有6种可能性：，则甲参加“整地做畦”的概率为：；乙选活动有6种可能性：，其中再选择有3种可能性：，故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为.解法二：设甲、乙选到为事件，乙选到为事件，则甲选到的概率为；乙选了活动，他再选择活动的概率为故；四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）设等差数列公差为d，首项为a1，根据已知条件列出方程组求解a1，d，代入通项公式即可得答案；（2）根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解．（1）解：设等差数列公差为d，首项为a1，由题意，有，解得，所以；（2）解：，所以．16.甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.（1）随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率；（2）已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.答案：（1）（2）解析：思路：（1）设出事件，运用全概率公式求解即可.（2）利用条件概率公式求解即可.（1）记取到甲盒子为事件，取到乙盒子为事件，取到丙盒子为事件，取到黑球为事件B：由全概率公式得，故摸出的球是黑球的概率是.（2）由条件概率公式得，故此球属于乙箱子的概率是17.如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面夹角的正弦值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）根据面面垂直的判定定理和性质定理，结合平行线的性质、平行四边形的判定定理和性质进行证明即可；（2）结合（1）的结论建立空间直角坐标系，利用线面角的定义、空间向量夹角公式进行求解即可.（1）证明：如图，取的中点，连接，，平面，平面，平面平面，为等边三角形，，又平面平面，平面，平面.，点为中点，，且，又，，，四边形是平行四边形，，平面.（2）由（1）可知平面，平面，，，两两垂直，故以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.，，.设平面的法向量，则即令，则，，.设直线与平面的夹角为，则，直线与平面夹角的正弦值为.18.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若有极大值，且极大值大于，求的取值范围.答案：（1）（2）答案见解析（3）解析：思路：（1）利用导数的几何意义求出斜率，结合切点，得到切线方程即可.（2）利用导数含参讨论单调性即可.（3）结合题意转化为不等式恒成立问题，利用导数判断函数单调性，再解不等式即可.（1），当时，.所以曲线在点处的切线方程，即.（2）由（1）知，，①当时，在上单调递增，无递减区间，②当时，，在上单调递增，在上单调递减，综上：当时，在上单调递增，无递减区间，当时，在上单调递增，在上单调递减.（3）因为有极大值，且极大值大于，故，且在处取极大值，，即，令，恒成立，在上单调递增，又，当且仅当时成立，故，当且仅当时成立，因此的取值范围是.19.已知和为椭圆：上两点.（1）求椭圆的离心率；（2）过点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）.（i）若的面积为，求直线的方程；（ii）直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值.答案：（1）（2）（i）；（ii）证明见解析解析：思路：（1）根据给定的点A和B在椭圆上，以及椭圆的离心率公式求出椭圆的离心率；（2）（i