2025-2026学年甘肃省白银市实验中学高二下册期中考试数学试题 含答案

/数学考试时间120分钟，满分150分一、单选题1.已知随机变量服从正态分布，，则（）A.0.7 B.0.6 C.0.5 D.0.32.已知实数列为等比数列，其中，是方程的两根，则（）A. B. C. D.3.已知函数满足，则（）A. B. C. D.4.从5名男生和4名女生中选出4人去参加2项创新大赛，每项至少有1人参加，且男生甲与女生乙参加同一项目，则不同的安排种数为（）A.84 B.126 C.42 D.635.已知函数是增函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.6.是双曲线的左、右焦点，若双曲线的左顶点关于其渐近线的对称点恰好落在以为圆心、以半虚轴长为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.7.学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为（）．A. B. C. D.8.如果存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题9.设，则下列选项正确的是（

）A. B.C. D.10.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）、先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的是（）A.事件与相互独立 B.C. D.11.已知函数是定义在上的偶函数，是的导数，且，则（）A. B.C. D.三、填空题12.的展开式的常数项为______．13.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为___________．14.在数轴上，一个质点从原点0出发，每次移动遵循以下规则：如果当前位于点，则向右移动到点的概率为，向左移动到点的概率为；规定质点到达点时被吸收（不再移动），到达点-1时也被吸收（不再移动）．设表示质点从点出发，最终被点吸收的概率，规定，则___________．四、解答题15.某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.（1）求的值；（2）以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望；16.已知函数，是的导函数.（1）求的值；（2）求曲线在处的切线方程；（3）求的最值.17.如图甲所示，已知在长方形中，且E为BC的中点，将图甲中沿折起，使得如图乙.（1）求证：平面平面；（2）若点是线段上的动点，且满足.①若求平面与平面夹角的余弦值；②若平面与平面的夹角为求λ的值.18.已知函数.（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；（2）已知函数，若对，使得，求的取值范围.19.雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响.（1）求小王答3道题后积分小于6的概率；（2）设小王答4道题后积分为，求；（3）若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为时，最终积分为12的概率为，请直接写出和的值，并求出的值.

数学考试时间120分钟，满分150分一、单选题1.已知随机变量服从正态分布，，则（）A.0.7 B.0.6 C.0.5 D.0.3答案：D解析：解答过程：因为，所以，又因为，且，所以.2.已知实数列为等比数列，其中，是方程的两根，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先由韦达定理判断出，，再根据等比数列的性质求出并判断它的正负即可得解.解答过程：因为，是方程的两根，所以由韦达定理可得，所以，.因为为等比数列，所以，解得.若，则，不符合要求，故.3.已知函数满足，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：求导即可得解.解答过程：由可得，故，故，故选：A4.从5名男生和4名女生中选出4人去参加2项创新大赛，每项至少有1人参加，且男生甲与女生乙参加同一项目，则不同的安排种数为（）A.84 B.126 C.42 D.63答案：B解析：思路：根据题意分两种情况计算，第一种情况是3人参加一个项目，另外1人参加一个项目，第二种情况是2人参加一个项目，另外2人参加一个项目，然后结合排列组合代入计算，即可求解.解答过程：由题意可得4人去参加2项创新大赛，每项至少有1人参加，分两种情况，第一种情况是3人参加一个项目，另外1人参加一个项目，且男生甲与女生乙参加同一项目，则共有种；第二种情况是2人参加一个项目，另外2人参加一个项目，且男生甲与女生乙参加同一项目，则共有种；则不同的安排种数为种.故选：B5.已知函数是增函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先由函数为增函数，得到其导函数在定义域内恒非负，分离参数转化为在上恒成立，再通过求导判断的单调性，求出其值域，进而确定的取值范围．解答过程：，的定义域为，根据题意得，整理得，令，,因为，所以，，因此，所以在上单调递增，所以在上的值域为，所以．6.是双曲线的左、右焦点，若双曲线的左顶点关于其渐近线的对称点恰好落在以为圆心、以半虚轴长为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.答案：C解析：解答过程：设左顶点关于渐近线的对称点为，则，解得，即，已知在圆上，即，化简得，代入化简得：，，，解得（舍去）或，双曲线的离心率为2．7.学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为（）．A. B. C. D.答案：C解析：思路：先由求出,再由求出，最后利用即可求解.解答过程：设为第天选套餐，为第天选套餐，则，；从而，.8.如果存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：令，将转化为，令，利用导数判断函数的单调性，得到，令，根据导数判断单调性，求得最大值，即可求解.解答过程：令，则，，因为，所以，令，则，令，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，要使存在，使得不等式成立，则，令，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以，所以的取值范围是二、多选题9.设，则下列选项正确的是（

）A. B.C. D.答案：AB解析：思路：令，则，将原式变形，对于，为第二项的系数，由二项式定理即可求解；对于，令，即可得；对于，令，可求，令，即可求解；对于，令，即可求解.解答过程：令，所以，所以原式可变形为，所以，故正确；令，则，故正确；令，则，令，则，所以，故不正确；令，则，所以，故不正确.故选.10.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）、先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的是（）A.事件与相互独立 B.C. D.答案：BC解析：思路：根据相互独立事件的定义判断A，根据条件概率公式判断B，根据全概率公式判断C，根据贝叶斯公式判断D．解答过程：对于A：因为，，而，所以事件与不相互独立，故A错误；对于B：因为，，所以，故B正确；对于C：因为，，，所以，故C正确；对于D：，故D错误．11.已知函数是定义在上的偶函数，是的导数，且，则（）A. B.C. D.答案：BCD解析：思路：根据条件构造合适的辅助函数，再利用单调性比较函数值，结合偶函数性质逐一验证各选项.解答过程：由，可得，令，则由题设，且，故，即在上单调递增.选项A：设，满足偶函数、，则，故A错误.选项B：取，令，则，即，因，则，即对，，所以，即.所以，，即，所以B正确.选项C：由得，即，则，所以C正确；选项D：，即，化简得，即，D正确.三、填空题12.的展开式的常数项为______．答案：16解析：思路：直接利用二项展开式的通项公式即可求解．解答过程：，因为的展开式的通项为，所以令，即，则的常数项为1，令，即，则的常数项为15，所以的展开式的常数项为．13.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为___________．答案：解析：思路：依题意可设，，由其导数可知在上为减函数，又由可得则，分析可得的符号，进而分析在上的符号规律，结合函数的奇偶性即可解出.解答过程：设，，则其导数，而当时，所以，即在上为减函数，又由，为定义在上的奇函数，则，则，所以在区间上，，在区间上，，则在区间上，，在区间上，，又由是定义在上的奇函数，则，且在区间上，，在区间上，，综合可得：不等式的解集为．14.在数轴上，一个质点从原点0出发，每次移动遵循以下规则：如果当前位于点，则向右移动到点的概率为，向左移动到点的概率为；规定质点到达点时被吸收（不再移动），到达点-1时也被吸收（不再移动）．设表示质点从点出发，最终被点吸收的概率，规定，则___________．答案：解析：思路：利用一步转移建立递推方程，再研究相邻两项差，将问题转化为等比数列求和，最后代入所求式子化简即可.解答过程：当时，由一步转移得，整理得.设，则，所以.又，所以，即，得.于是，且.又，所以.四、解答题15.某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.（1）求的值；（2）以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望；答案：（1）（2）分布列见解析，1解析：思路：（1）根据频率之和为1列式计算即可；（2）由题意可得，根据二项分布概率和期望计算公式计算即可.（1）依题意可得，解得；（2）由（1）可得高度在的频率为，所以，，，，，所以的分布列为：X01234P所以.16.已知函数，是的导函数.（1）求的值；（2）求曲线在处的切线方程；（3）求的最值.答案：（1）；（2）；（3）最小值为，无最大值.解析：思路：（1）先求导，再代入求值；（2）设，求的切线，即为的切线；（3）研究导函数的单调性，进而判断导函数的正负，来研究原函数的单调性.（1），，所以.（2）设，则，，，所以在处的切线方程为，即.（3）由（2）可知，，所以在上单调递增，因为，所以，，即，单调递减，，即，单调递增，所以的最小值为，无最大值.17.如图甲所示，已知在长方形中，且E为BC的中点，将图甲中沿折起，使得如图乙.（1）求证：平面平面；（2）若点是线段上的动点，且满足.①若求平面与平面夹角的余弦值；②若平面与平面的夹角为求λ的值.答案：（1）证明见解析（2）①；②解析：思路：（1）根据题意，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得平面平面；（2）①以为原点建立空间直角坐标系，求得平面和的法向量，再利用面面角的向量法求解；②由求得出，进而求出平面和平面的法向量，再利用面面角的向量法列出求解.（1）在矩形中，由，且为的中点，得，则，，即，而，且平面，因此平面，又平面，所以平面平面.（2）①由（1）知，过点作直线平面，则直线两两垂直，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，取，得，而平面的法向量，设平面与平面所成夹角为，则，所以平面与平面所成夹角的余弦值为.②由，得，，则，设平面的法向量，则，取，得，而平面的法向量，平面与平面的夹角，则，解得，所以.18.已知函数.（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；（2）已知函数，若对，使得，求的取值范围.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）由在区间上单调递增，得到在区间上恒成立，结合二次函数单调性，即可求得参数范围；（2）根据题意，在区间上，，先利用导数分析的单调性，从而求得其最大值；再对参数进行分类讨论，在不同情况下求得的最大值，进而求得参数的范围.（1）由题意知，又函数在区间上单调递增，所以，也即恒成立，在上单调递增，所以，解得，即的取值范围是.（2）若对，使得，所以，又，则，当单调递增，当，单调递减，所以；因为，又在上单调递增，又，，故，当时，，所以在单调递减，所以，所以，又，所以；当时，，当，所以单调递减，当，，所以单调递增，又，所以在上的最大值是中较大的，则只需且，解得：；当时，，所以在单调递增，故，所以6，又，故此时无解.综上，的取值范围是.19.雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加