2025-2026学年辽宁省名校联盟高三下册5月考前模拟考试数学试题 含答案

/数学满分150分，考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.2.复数的虚部为（）A. B. C.32 D.3.已知实数满足，则（）A. B.C. D.4.函数fxA. B.C. D.5.如图，已知某频率分布直方图形成“左拖尾”形态，则下列结论正确的是（）A.众数平均数中位数B.众数中位数平均数C.众数平均数中位数D.中位数平均数众数6.中华人民共和国道路交通安全法判定酒驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于，但小于；判定醉驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于.某驾驶员饮酒后血液中酒精含量为，若停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时的速度减少，则该驾驶员至少需经过（）小时才能合法驾驶（酒精含量需小于）.参考数据：lg2≈0.301,lg3≈0.477.A.10 B.11 C.12 D.137.已知正四面体的棱长为，若点满足OP→=12OA→A. B. C. D.8.已知函数，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等比数列的前项和为，公比为，若，则（）A.B.C.D.10.蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.点为椭圆的两焦点，过直线上任一点可作椭圆的两条切线，切点分别记为，且其中存在两点，使得，则下列说法正确的是（）A.B.C.椭圆的离心率为，则的范围为

D.11.已知函数fnx=A.函数的最小正周期为B.函数的图象关于点成中心对称C.函数的值域为D.函数在单调递增三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列的前项和为，且，则_________.13.已知圆锥的底面半径为，将一个半径为的球置于圆锥内，若球与圆锥的底面及侧面均相切，且圆锥顶点到球面上的点距离的最小值为，则圆锥的体积为_________.14.已知函数，若函数的对称中心横坐标不小于，则函数的个数为_________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在一次招聘中，应聘者要进行三项测试，至少通过两项测试即可被录用.已知甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是，且所有测试结果相互独立.（1）求甲没有被录用的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列及期望.16.如图，在平面四边形中，.（1）若的面积为，求；（2）若，求.17.如图，在四棱台中，四边形为菱形.，，且.（1）证明：平面；（2）若平面与平面夹角的余弦值为为中点，求点到平面的距离.18.已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上.（1）求的方程；（2）过的左焦点作的不垂直于轴的弦（其中点在轴上方），为中点，直线与双曲线交于两点.（i）四边形能否为平行四边形，若能，求此时直线的方程，若不能，说明理由；（ii）求四边形面积的取值范围.19.已知函数.（1）证明：当时，x−x（2）若恒对一切成立，求实数的取值范围；（3）已知数列满足：，数列满足：，试比较与的大小.

数学满分150分，考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由抛物线性质得是一个抛物线开口向左的抛物线，且，所以−p2=−12.复数的虚部为（）A. B. C.32 D.答案：C解析：解答过程：z=3.已知实数满足，则（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：实数满足，，y−z，但是正负不确定，B项错误；，但是正负不确定，C项错误；x−z>4.函数fxA. B.C. D.答案：A解析：解答过程：f−x=所以为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除B，D项，并且在y轴右侧，趋近于0时，ex>1,1−ex故只有选项满足题意.5.如图，已知某频率分布直方图形成“左拖尾”形态，则下列结论正确的是（）A.众数平均数中位数B.众数中位数平均数C.众数平均数中位数D.中位数平均数众数答案：B解析：解答过程：平均数受极端值影响，中位数，众数不受极端值影响，由于图象“左拖尾”，众数最大，平均数小于中位数，B项满足.6.中华人民共和国道路交通安全法判定酒驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于，但小于；判定醉驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于.某驾驶员饮酒后血液中酒精含量为，若停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时的速度减少，则该驾驶员至少需经过（）小时才能合法驾驶（酒精含量需小于）.参考数据：lg2≈0.301,lg3≈0.477.A.10 B.11 C.12 D.13答案：C解析：解答过程：设至少需要小时，则有2.4(1−20%)n所以至少需要经过小时才能合法驾驶.7.已知正四面体的棱长为，若点满足OP→=12OA→A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意可知OA→解答过程：如图所示，已知正四面体的棱长为，则∠AOB=∠BOC所以OA→·OBOP→则OP→8.已知函数，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：对一切恒成立，需要分别分析和的正负性，通过对的范围进行讨论，结合函数的性质确定的取值范围.解答过程：fx当，fx=，，不符；当，对于，，单调递增，当，，，y=ex−mx→−∞此时，不符；当，对于，，令，，令，，单调递增，令，，单调递减，所以，的最小值为，易知，若存在两个零点，则两个零点互为相反数，而与图像的存在两个交点时，交点横坐标都为正数，即函数不存在互为相反数的零点，所以与的变号零点不可能完全相同，故要使对一切恒成立，m−mlnm≥0解得.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等比数列的前项和为，公比为，若，则（）A.B.C.D.答案：ABC解析：解答过程：设等比数列的公比为，由，得a1q3=4a1q2又因，则，进而，所以，B项正确；log21a10.蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.点为椭圆的两焦点，过直线上任一点可作椭圆的两条切线，切点分别记为，且其中存在两点，使得，则下列说法正确的是（）A.B.C.椭圆的离心率为，则的范围为

D.答案：ABD解析：思路：由题意可知点在椭圆的外部，可判断A；由直线与蒙日圆有2个交点及直线与椭圆没有交点，求出的范围，即可判断B；结合B及离心率的定义，可判断C；由直线与圆相交的弦长公式可得,利用转化思想及函数的单调性，求出其范围后，即可判断D.解答过程：由过直线上任一点可作椭圆的两条切线，可知点在椭圆的外部，所以，A项正确；椭圆（）对应的蒙日圆方程为，由已知可得圆与直线有2个交点，设圆心到直线的距离为，则，则.由题意可知直线与椭圆没有交点，将与联立，得没有实根，所以，则有，综上，B项正确；，由B知，则，C项错误；线段为蒙日圆的一条弦，则，所以,令，则,易知y=4(所以，D项正确.11.已知函数fnx=A.函数的最小正周期为B.函数的图象关于点成中心对称C.函数的值域为D.函数在单调递增答案：BCD解析：思路：对A直接由f2x+π2解答过程：对于A，因为f2所以是函数的一个周期，且，因此A项错误；对于B，g2π2−x所以函数关于点成中心对称，B项正确；对于C，fn所以是函数的一个周期.又因为fn'x当x∈0,π所以函数在单调递减，在(π4,所以fnxmin所以时，的值域为，又由上述分析可知是函数的一个周期，所以函数的值域为，故C项正确；对于D，因为gn所以gn'x=2n所以函数在单调递增，D项正确..三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列的前项和为，且，则_________.答案：解析：思路：通过已知条件推导出为等差数列，进而求出.解答过程：根据数列前项和的性质，对任意，有​，代入得：

，因为，故S1=a由可得：Sn+1若存在使得，则Sk−1=0依此类推可得，与矛盾，故对任意都有，等式两边同除以，整理可得：

，因此是以首项为1S1=1，公差为的等差数列，由等差数列通项公式可得：1S

因此.13.已知圆锥的底面半径为，将一个半径为的球置于圆锥内，若球与圆锥的底面及侧面均相切，且圆锥顶点到球面上的点距离的最小值为，则圆锥的体积为_________.答案：解析：思路：利用圆锥与球的轴截面图形关系，再结合切线长定理及余弦定理可得.解答过程：设圆锥的高为，因为球与圆锥的底面及侧面均相切，且圆锥顶点到球面上的点距离的最小值为，所以圆锥的高.如图：在圆锥轴截面中，，圆锥的底面半径r=BE=BN在直角三角形中，由勾股定理，得CN=2R所以圆锥母线长，又在直角三角形中，，由勾股定理，32+3R2解得（舍去）.因此，圆锥体积V=14.已知函数，若函数的对称中心横坐标不小于，则函数的个数为_________.答案：22解析：思路：先利用导数求出的对称中心的横坐标为，从而得，分、和，求出对应的的值，即可得答案.解答过程：因为所以，，令，得，所以的对称中心为(b3所以的对称中心横坐标为，即，则时：可取中的任意一个数，共8种情况；可取6,7,8,9,10中的任意一个数，共5种情况；可取9，10中的一个数，共2种情况；综上共有15种；时：可取6,7,8,910中的任意一个数，共5种情况；时：可取9，10中的一个数，共2种情况.综上，共有22个不同的.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在一次招聘中，应聘者要进行三项测试，至少通过两项测试即可被录用.已知甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是，且所有测试结果相互独立.（1）求甲没有被录用的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列及期望.答案：（1）（2）的分布列为：0123解析：思路：（1）先求出甲被录用的概率，再利用对立事件即可求解；（2）首先说明服从二项分布，进而可得分布列和期望.（1）设“甲被录用”为事件，则PA所以甲没有被录用的概率为1−P（2）由（1），三人被录用与否相互独立，且概率相同，均为，所以，的可能取值为，PXPX所以的分布列为：0123期望为.16.如图，在平面四边形中，.（1）若的面积为，求；（2）若，求.答案：（1）AD=3+（2）解析：思路：（1）由三角形面积公式求得，进而得，在中，由余弦定理求得，在中，由余弦定理得解；（2）由，可得四点共圆，进而得，在中，由余弦定理得解.（1）S△ABC=12由∠ABC=2π3在中，由余弦定理得，所以，解得，在中，由余弦定理得，代值化简得，解得AD=3+13（2）若，则四点共圆，又，则，在中，由余弦定理得，所以AC2=4+16−2×2×4×17.如图，在四棱台中，四边形为菱形.，，且.（1）证明：平面；（2）若平面与平面夹角的余弦值为为中点，求点到平面的距离.答案：（1）连接，并分别取中点，，连接.四棱台ABCD−A1又B1四边形为菱形⇒BD⊥AC,AC∩所以平面，又面，所以.又A1A⊥AC,所以平面.（2）解析：思路：（1）连接，并分别取中点，，易得，进而得平面，故，再根据线面垂直的判定定理得证；（2）根据题意易证平面，以为原点，TB,TC,TC1分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设C10,0,m，，求出平面和平面的法向量，结合条件求得，利用向量法求得答案.（1）略（2）由（1）A1C1=AT所以，又平面，所以平面.又TB⊥以为原点，TB,TC,TC1分别为轴，不妨设C10,0,则有CB=设平面的一个法向量为，所以n1⋅CB=3又平面的一个法向量为，由已知可得cosn所以，得，所以，又A0,−所以点到平面的距离为.18.已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上.（1）求的方程；（2）过的左焦点作的不垂直于轴的弦（其中点在轴上方），为中点，直线与双曲线交于两点.（i）四边形能否为平行四边形，若能，求此时直线的方程，若不能，说明理由；（ii）求四边形面积的取值范围.答案：（1）（2）（i）存在，直线的方程为；（ii）解析：思路：（1）根据椭圆的对称性，可知一定在椭圆上，进一步判断点也在椭圆上，即可求出椭圆方程；（2）（i）假设四边形为平行四边形，设直线方程，联立方程组，根据平行四边形对角线互相平方建立中点等量关系，根据方程是否有解判断是否存在即可；（ii）求出直线方程，联立方程组，分别求出到直线的距离，再根据弦长公式求出，表示出面积，最后求出面积的取值范围.（1）因为P3−1,63,P4所以不在上，所以在上，则，所以，因此的方程为.（2）（i）由题意知，假设四边形为平行四边形，设直线的方程为，设，将直线方程代入椭圆方程，化简整理得t2+3所以Δ=8t2所以x1所以中点坐标为−32t若四边形为平行四边形，则与互相平分，所以为中点，则，，所以点的坐标为−62t2+3代入，化简整理得24−8t2=t解得或（舍），所以，因此