2025-2026学年辽宁省营口市、辽阳市普通高中高一下册5月学情调研数学试题 含答案

/数学满分150分，考试时间120分钟．一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.若扇形的圆心角为，面积为，则其半径为（）A.1 B. C. D.22.＝（）A.－1 B. C. D.13.已知向量，若，则（）A. B. C. D.4.设甲：，乙：，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知，则＝（）A. B. C. D.6.若函数在区间上单调递增，则a的最大值为（）A. B. C. D.7.如图为一个6×3的矩形网格，每个小格均是边长为1的正方形，图中A，B，C所处位置均为小格顶点，则＝（）A. B. C. D.8.已知平面向量满足，其中均为单位向量，则当取最小值时，的值为（）A.1 B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知平面向量满足，则下列说法正确的是（）A.若＝5，则B.若，则C.若在上的投影向量为2，则D.若在上的投影向量为，则10.已知函数的定义域为，则（）A.B.C.将图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，得到函数的图象，则在区间上有且仅有2个零点D.将的图象向左平移个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到函数的图象，则在区间上有且仅有4个零点11.记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ABC中（）A.必定存在两个内角之和等于 B.必定存在两个内角之差等于C.最小的内角必定不大于 D.最大的内角必定不小于三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.在矩形ABCD中，，E为CD中点，则＝______．13.曲线与在区间上的交点个数为______．14.已知，则______．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知向量，，．（1）若与共线，求k；（2）若，求．16.已知函数（1）求；（2）若，求的最小值；（3）求函数的单调区间．17.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求C（2）若c＝6．（Ⅰ）求△ABC周长的取值范围；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．18.在锐角△ABC中，．（1）证明：；（2）求C；（3）若△ABC的内切圆半径为．（i）当△ABC的外接圆半径为时，求△ABC的周长；（ii）求AB的最小值．19.（1）求函数f（x）＝的最大值；（2）证明：对任意实数a，x，；（3）是否存在△ABC，使得？若存在，求出A，B；若不存在，请说明理由．

数学满分150分，考试时间120分钟．一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.若扇形的圆心角为，面积为，则其半径为（）A.1 B. C. D.2答案：A解析：思路：根据扇形的面积公式求解即可.解答过程：设扇形的半径为r，由，得r＝1．2.＝（）A.－1 B. C. D.1答案：C解析：思路：利用诱导公式求解.解答过程：．故选：C．3.已知向量，若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据向量垂直的坐标表示计算即可得解.解答过程：由题得，由，得，即，由，得．4.设甲：，乙：，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：根据充分性、必要性及余弦函数的单调性求解.解答过程：对于充分性，因为在上单调递减，且，所以，充分性成立；对于必要性，取可知，但不满足，必要性不成立，所以甲是乙的充分不必要条件.5.已知，则＝（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据两角和、差的正余弦公式化简求解即可.解答过程：因为，则，即，因为，所以．因为，则，即，因为，所以．所以．6.若函数在区间上单调递增，则a的最大值为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：，当时，，令，得，所以在上单调递增，所以a的最大值为．7.如图为一个6×3的矩形网格，每个小格均是边长为1的正方形，图中A，B，C所处位置均为小格顶点，则＝（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据余弦定理，结合勾股定理及同角的三角函数关系求解即可.解答过程：由勾股定理可得，，，由余弦定理得，又，得，故．8.已知平面向量满足，其中均为单位向量，则当取最小值时，的值为（）A.1 B. C. D.答案：B解析：思路：根据，且均为单位向量，利用数量积的定义得到，，再利用平面向量的夹角范围得到的范围求解.解答过程：因为，且均为单位向量，所以则，，则，因为，所以，，则，解得，所以的最小值为2，当的最小值为2时，．故选：B．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知平面向量满足，则下列说法正确的是（）A.若＝5，则B.若，则C.若在上的投影向量为2，则D.若在上的投影向量为，则答案：ABC解析：思路：根据模的平方运算可判断AB，根据投影向量的计算公式判断CD.解答过程：对于A，因为，所以，即与同向，所以，故A正确；对于B，，则，所以，故B正确；对于C，由题，则，由，得，故C正确；对于D，由题，则，由得，D错误．10.已知函数的定义域为，则（）A.B.C.将图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，得到函数的图象，则在区间上有且仅有2个零点D.将的图象向左平移个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到函数的图象，则在区间上有且仅有4个零点答案：ACD解析：解答过程：对于A，B，由，得，可得，，故A正确，B错误；对于C，，则，由，得，则，所以在区间上有且仅有2个零点，故C正确；对于D，，由，得，则，得，所以在区间上有且仅有4个零点，故D正确．11.记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ABC中（）A.必定存在两个内角之和等于 B.必定存在两个内角之差等于C.最小的内角必定不大于 D.最大的内角必定不小于答案：ACD解析：思路：由正弦定理对已知式进行边角互化，逆用二倍角公式，并利用两角和差的正弦公式进行和化积，可得到，根据内角和为，结合诱导公式进行分析可得，或为，由此判断A正确；取特值检验，可判断B；由A的结果可得C正确；利用反证法，由内角和为，可判断D.解答过程：由正弦定理得，由二倍角公式得，即．因为，在△ABC中，，所以，又C，所以，所以，易知，则或．若，则，得，；若，得，得，.故A正确；若，，则三个内角分别为，两两之差分别为0，，不存在等于的情况，故B错误；由A选项的分析可知，必有一个角为，所以最小内角，故C正确；设最大内角为，若，则所有角均小于，又其中一个角必为，则，与内角和定理矛盾，故，故D正确．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.在矩形ABCD中，，E为CD中点，则＝______．答案：6解析：思路：先求得在上的投影向量，再利用数量积的几何意义可得.解答过程：因为E为CD中点，所以在上的投影向量为，又，所以．13.曲线与在区间上的交点个数为______．答案：2解析：思路：在同一坐标系中作出两曲线在区间上的图象，利用数形结合法求解.解答过程：列表：x0003在同一坐标系中作出与在区间上的图象，如图所示：由图象知；曲线与在区间上有2个交点．14.已知，则______．答案：##解析：解答过程：由，得，即，设，则，所以，解得，因此，所以.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知向量，，．（1）若与共线，求k；（2）若，求．答案：（1）（2）．解析：思路：（1）根据平面共线向量的坐标表示建立关于的方程，解之即可；（2）根据平面向量的线性运算的坐标表示建立关于的方程组，解之即可.（1）由题得，因为与共线，所以，解得．（2），则，解得．16.已知函数（1）求；（2）若，求的最小值；（3）求函数的单调区间．答案：（1）（2）（3）单调递增区间为，单调递减区间为解析：思路：（1）由结合的范围求解即可；（2）由可得，根据求解即可；（3）利用三角恒等变换化简，再由正弦型函数的单调性求解.（1）由题得，则，由，得，．（2）由（1）得，由，得，则．故的最小值为．（3）由，得，所以的单调递增区间为.由，得，所以的单调递减区间为.17.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求C（2）若c＝6．（Ⅰ）求△ABC周长的取值范围；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．答案：（1）（2）（Ⅰ）（12，18]；（Ⅱ）．解析：思路：（1）由正弦定理进行边角互化，化简可求得，从而求得.（2）（Ⅰ）由正弦定理将的周长表示为的函数，利用正弦型函数的取值范围，可得周长的取值范围；（Ⅱ）根据余弦定理及基本不等式可得的最大值，从而求得面积的最大值．（1）因为，，所以由正弦定理得，，则，由，得，所以，则．（2）（Ⅰ）由正弦定理得，，所以，.△ABC的周长，由，得.则，所以的周长的取值范围为．（Ⅱ）由余弦定理得，所以，当且仅当时等号成立.所以，所以面积的最大值为．18.在锐角△ABC中，．（1）证明：；（2）求C；（3）若△ABC的内切圆半径为．（i）当△ABC的外接圆半径为时，求△ABC的周长；（ii）求AB的最小值．答案：（1）证明见解析（2）（3）（i）18；（ii）6解析：思路：（1）根据两角和差的余弦公式计算即可证明；（2）根据和差化积和两角和差的余弦公式证明，利用二倍角的余弦公式可得，进而求解即可；（3）（i）根据正、余弦定理和三角形面积公式化简计算即可求解；（ii）根据完全平方公式和基本不等式化简计算即可求解.（1）；（2）证明一个引理：．，所以，因为≠0，所以，又，所以．（3）不妨记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（i）由余弦定理得，则，所以，记△ABC内切圆的半径为r，则，所以．所以，由正弦定理得，故△ABC的周长．（ii）由（i）得，则，整理可得，当且仅当时等号成立，即，解得或，又，所以，则，故AB的最小值为6．19.（1）求函数f（x）＝的最大值；（2）证明：对任意实数a，x，；（3）是否存在△ABC，使得？若存在，求出A，B；若不存在，请说明理由．答案：（1）3；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析解析：思路：（1）利用两角和公式展开并合并同类项，再通过辅助角公式将其化简为余弦型函数来求解最值；（2）提取含有变量的项构造辅助角形式以分离变量，随后利用换元法将原式转化为关于单变量的二次函数，通过求该二次函数的最大值来完成不等式证明；（3）直接套用第（2）问取得最大值4时必须同时满足的两个“取等条件”建立方程组，求解后发现算