《马尔可夫预测》课件

马尔可夫预测方法是根据俄国数学家马尔可夫(Markov)的随机过程理论提出来的，它主要是通过研究系统对象的状态转移概率来进行预测的。§7.7马尔可夫预测一变量x，能随机地取数据（但不能准确地预言它取何值），而对于每一个数值或某一个范围内的值有一定的概率，那么称x为随机变量。假定随机变量的可能值xi发生概率为Pi

即P(x=xi)=Pi

对于xi的所有n个可能值，有离散型随机变量分布列：∑Pi=1

对于连续型随机变量，有∫P(x)dx=1一随机变量1、状态：系统在某时刻出现的某种结果。常用Ei表示（i=1，2，…，N）。2、状态变量Xt=i：表示系统在时刻t处于Ei

。3、状态转移：系统由一种状态转移为另一种状态。常用Ei→Ej表示。二、状态和状态转移状态举例：例1：人民生活水平可分为三种水平状态：温饱、小康、富裕。例2：企业经营状况可分为：盈利、不盈不亏、亏损。例3：商品销售状况可分为：畅销、平销、滞销。状态转移举例：例4：营业情况由盈利→亏损。例5：商品由畅销→滞销。1、无后效性：如果系统在状态转移过程中，系统将来的状态只与现在的状态有关，而与过去的状态无关。这种特性称为无后效性或马尔柯夫性。例：本月库存只与本月调入调出、损耗及上月底库存有关。2、遍历性：又称稳定性，若转移概率矩阵不变，系统状态经过许多步转移之后将逐渐达到稳定的状态，且与系统的初始状态无关。例：市场最终占有率。三、无后效性和遍历性池塘里有三张荷叶，我们将它们编号为1，2，3，有一只青蛙随机地在荷叶上跳来跳去，假设在初始时刻t0，它在第一张荷叶上，在t1时刻，它有可能跳到第二张或者第三张荷叶上，也有可能在原地不动。无后效性举例：四、马尔柯夫链

如果一个系统具有有限个状态，状态转移的时间是离散（如月、季、年），且这种转移具有无后效性，则称此系统构成一个马尔柯夫链。五、状态转移概率和转移概率矩阵

设系统有N个状态Ei（i=1，2，…，N），以状态变量xt=i表示在时刻t处于Ei（i=1，2，…，N），如果系统在时刻t处于Ei而在时刻t+1转移到Ej的概率只与Ei有关而与t以前处的状态无关，则此概率可表示为：

Pij=P（Ei→Ej）=P（xt+1=j∣xt=i）并称为一步转移概率。

0≤Pij≤1∑Pij=1所有Pij构成的矩阵为：称为一步转移概率矩阵。在多步转移中，k步转移概率记为：Pij（k）=P（EikEj）=P（xn+k=j∣xn=i）（i，j=1，2，…，N）所有Pij（k）构成的矩阵称为k步转移概率矩阵。P（k）与P的关系：可证明：P（k）=Pk

P（k）=P（k-1）P=Pk-1P例：设一步转移矩阵为：

设系统有N个状态Ei（i=1，2，…，N），用Pi表示系统在k时期处于状态Ei（i=1，2，…，N）的概率，所有概率所构成的向量，称为状态概率向量。其中：0≤Pi（k）≤1（i=1，2，…，N）∑Pi（k）=1当k=0时，反映系统在初始时状态概率的分布情况，称为起始状态概率分布。六、预测模型由S（k+1）=S（k）P可得递推关系：这就是马尔柯夫链的预测模型。马尔柯夫预测法的步骤：1、确定系统的状态Ei和S（0）；2、确定P；3、进行预测：S（k）=S（0）Pk例1：某地有甲、乙、丙三家食品厂生产同一食品，有1000个客户，假定无新用户加入也无老用户退出，只有用户转移，转移表如下：试求其状态转移概率从转到甲乙丙合计甲4005050500乙2030080400丙101080100合计4303602101000解：状态转移概率为例2设味精市场的销售记录共有6年24个季度的数据，见表。求味精销售转移概率矩阵。季度123456789101112销售状态畅1畅1滞2畅1滞2滞2畅1畅1畅1滞2畅1滞2季度131415161718192021222324销售状态畅1畅1滞2滞2畅1畅1滞2畅1滞2畅1畅1畅1用“1”表示畅销用“2”表示滞销季度123456789101112销售状态畅1畅1滞2畅1滞2滞2畅1畅1畅1滞2畅1滞2季度131415161718192021222324销售状态畅1畅1滞2滞2畅1畅1滞2畅1滞2畅1畅1畅1

共24个季度数据，其中有15个季度畅销，9个季度滞销，现分别统计出:连续畅销、由畅转滞、由滞转畅和连续滞销的次数。以p11表示连续畅销的可能性，以频率代替概率，得：

分子7是表中连续出现畅销的次数，分母15是表中出现

畅销的次数，因为第24季度是畅销，无后续记录，故减1。2个状态:

“1”畅销“2”滞销季度123456789101112销售状态畅1畅1滞2畅1滞2滞2畅1畅1畅1滞2畅1滞2季度131415161718192021222324销售状态畅1畅1滞2滞2畅1畅1滞2畅1滞2畅1畅1畅1

以p12

表示由畅销转入滞销的可能性：

分子7是表中由畅销转入滞销的次数。以p21

表示由滞销转入畅销的可能性：

分子7是表中由滞销转入畅销的次数，分母数9是表中出

现滞销的次数。2个状态:“1”畅销“2”滞销季度123456789101112销售状态畅1畅1滞2畅1滞2滞2畅1畅1畅1滞2畅1滞2季度131415161718192021222324销售状态畅1畅1滞2滞2畅1畅1滞2畅1滞2畅1畅1畅1

以p22

表示连续滞销的可能性：

分子2是表中连续出现滞销的次数。综上所述，得销售状态转移概率矩阵为：例：某经济系统有三种状态（如畅销、一般、滞销），系统地转移情况见下表，试求系统的二步状态转移概率矩阵。解：首先是写出一步状态转移系统本步所处状态系统下步所处状态E1E2E3E121714E216812E31082二步转移概率矩阵可由一步转移概率矩阵通过公式计算求出:

由一步转移概率矩阵求出，由公式计算得：例：某商店在最近20个月的商品销售量统计记录如下：

解：1、划分状态：按盈利状况为标准 （1）销售量＜60千件属于滞销 （2）60千件≤销售量≤100千件属于一般 （3）销售量＞100千件属于畅销商品销售量统计表单位：千件时间t1234567891011121314151617181920销售量404580120110384050629011013014012055704580110120试预测第21期商品销售状态。2、计算初始概率Pi

为使问题更为直观，绘制销售量散点图如下，并画出状态分界线。 由图可算出处于：

滞销状态的有：M1=7

一般状态的有：M2=5

畅销状态的有：M3=83、计算初始转移概率矩阵

计算状态转移概率时，最后一个数据不参加计算，因为它究竟转到哪个状态尚不清楚。

M11=3，M12=4，M13=0，M21=1，M22=1，M23=3，

M31=2，M32=0，M33=5从而：P11=3/7，P12=4/7，P13=0/7，P21=1/5，P22=1/5，

P23=3/5，P31=2/7，P32=0/7，P33=5/7滞销状态：M1=7一般状态：M2=5畅销状态：M3=8-1

4、预测第21月的销售情况

由于第20月的销售情况属于畅销状态，而经由一次转移到达三种状态的概率是：

P31=2/7，P32=0/7，P33=5/7

P33

＞P32

＞P31

因此，第21月超过100千件的可能性最大。即预测第21月的销售状态是“畅销”。二、人力资源预测例：某高校教师状态分为5类：助教、讲师、副教授、教授、流失及退休。目前状态(550人)：根据历史资料:

试分析三年后教师结构以及三年内为保持编制不变应进多少研究生充实教师队伍？

一年后人员分布： 要保持550人的总编制，流失76人，故第一年应进76位新教师。第二年：补充74人。第三年：

补充72人。

在第三年年底，人员结构为：三、预测:策略与市场占有率例：

A、B、C三公司的产品市场占有率分别为50%，30%，20%。由于C公司改善了销售与服务，销售额逐期稳定上升，而A公司却下降。通过市场调查发现三个公司间的顾客流动情况如表所示。其中产品销售周期是季度。问题：按目前趋势发展，A公司产品销售或客户转移的影响将严重到何种程度？更全面的，三个公司产品的占有率将如何变化？未来各期的市场占有率：C—促销政策：C的市场份额不断增大，是否可持续下去？稳态市场占有率问题：

稳态市场占有率即为平衡状态下的市场占有率，亦即马氏链的平稳分布。

可解得：最佳经营策略：因于A厂不利，A厂随后制定两套方案：最佳经营策略A厂制定的两套方案：甲方案

保留策略，拉住老顾客。

新的平衡状态下Ａ、Ｂ、Ｃ三公司的市场占有率分别为31.6％，26.3％，42.1％，Ａ公司的市场占有率从17.65％提高到31.6％。乙方案争取策略，挖客户。乙方案：在新的平衡状态下，Ａ、Ｂ、Ｃ三家公司的市场占有率分别为33.3％，22.2％，44.5％。例：市场上有三种品牌的汽水，6月份市场占有率分别是30%、40%、30%。各品牌消费变化情况如下表：试求（1）8月份的市场占有率；（2）预测长期占有率本月下月甲乙丙甲0.20.60.2乙0.10.50.4丙0.20.30.56月份各品牌汽水消费变化表解：初始市场占有率为：S(0)=(0.30.40.3)状态转移概率矩阵为(1)7月份市场占有率为8月份市场占有率为(2)顾客的流动经过一段时间后会达到稳定的平衡状态，设稳态矩阵为U,则U*P=U如果即经过长时期流动后，甲、乙、丙三品牌的市场占有率分别是15.6%、43.4%、41.0%例3

、设备维修方面的应用企业中的机器设备，粗略地划分，可以分为良好和损坏两种状态，在运转和使用过程中，良好的可能会转变为损坏，而损坏的也可能经过维修转变为良好。一般可用下图表示这种状态转移。状态转移概率矩阵可写为式中P11为某时刻机器处于良好，到下一时刻仍转变为良好状态的概率；P12为某时刻机器处于良好，到下一时刻转变为故障状态的概率；P21为某时刻处于故障到下一时刻转为良好概率；P22为某时刻处于故障到下一时刻仍为故障状态的概率；例

设某车间里的机器出故障的概率为0.2，机器能修复良好的概率为0.85，试求稳定状态下，机器处于良好状态和故障状态的概率各为多少？解:由题意可知，机器不出故障的概率为1–0.2=0.8；机器修不好的概率为1–0.85=0.15。故得状态转移概率矩阵为于是有解此联立方程组得：即在稳定状态下机器不出故障的概率为0.81，而出故障的概率为0.19。43

四、应用举例

已知2005年为大旱年，要求预测2006年的气象情势和该地区的长期气象趋势。2005年的状态为初始状态，即

例

某地区根据历史长期统计资料统计出其旱、涝的年际转移状态概率，其状态转移概率矩阵如下44

四、应用举例马尔可夫预测法