材料力学第四章扭转

材料力学课件第四章扭转第1页，共58页。§4–1引言§4–2外力偶矩和扭矩§4–3薄壁圆筒的扭转§4–4圆轴扭转时的应力·强度计算§4–5圆轴扭转时的变形·刚度计算§4–6非圆截面杆扭转简介第四章扭转*圆轴扭转超静定问题第2页，共58页。2扭转§4–1引言轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆、汽车转向轴、搅拌器轴等。受力特点：在垂直于杆轴线的平面内作用有力偶.ABOmm

OBA

变形特点：任意横截面绕杆轴相对转动。（杆表面纵线~螺 旋线~扭转变形）第3页，共58页。3扭转扭转角(相对扭转角)（

）：任意两横截面绕轴线转动而 发生的角位移。剪应变(切应变)（

）：直角的改变量。mm

OBA

第4页，共58页。4扭转工程实例第5页，共58页。5扭转§4–2外力偶矩和扭矩一、外力偶矩其中：P—功率，千瓦（kW）n—转速，转/分（rpm）其中：P—功率，马力（PS）n—转速，转/分（rpm）1kW=1000N·m/s=1.36PS

使杆件产生扭转变形的力偶矩。数值上等于杆件所受外力对杆轴的力矩。传动轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：第6页，共58页。63扭矩的符号规定：“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则为正，反之为负。扭转二、扭矩及扭矩图mmmTx1扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。

2截面法求扭矩第7页，共58页。7扭转4扭矩图：表示扭矩沿轴线方向变化规律的图线。目的①扭矩变化规律；②|T|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。xT

第8页，共58页。8扭转[例1]已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nABCDm2

m3

m1

m4解：①计算外力偶矩第9页，共58页。9扭转nABCDm2

m3

m1

m4112233②求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩:任意截面的扭矩,数值上等于截面一侧轴段所有外力偶矩的代数和.转向与这些外力偶矩的合力偶矩之转向相反.第10页，共58页。10扭转③绘制扭矩图BC段为危险截面。xTnABCDm2

m3

m1

m44.789.566.37

––第11页，共58页。11扭转§4–3薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、实验：1.实验前：①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m。第12页，共58页。12扭转2.实验后：①圆周线的大小、形状、间距不变；②纵向线变成斜直线， 倾角相同。3.结论：①各圆周线的间距均未改变→横截面上无正应力. ②圆周线的形状、大小均未改变，只是绕轴线作了相对 转动→周向无正应力 ③纵向线倾斜→横截面上有切应力.

④各纵向线均倾斜了同一微小角度

→切应力均匀分布.第13页，共58页。13扭转

acdb

①横截面上无正应力②周向无正应力③横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应力

，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。

微小矩形单元体如图所示：第14页，共58页。14扭转二、薄壁圆筒切应力

与剪应变g：

A0：平均半径所作圆的面积。①切应力②剪应变mm

OBA

第15页，共58页。15扭转三、切应力互等定理：

上式称为切应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxb

dy´´tz

第16页，共58页。16扭转四、剪切虎克定律：

单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。薄壁圆筒体扭转实验

第17页，共58页。17扭转

T=m

剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)(在弹性范围内)，切应力与剪应变成正比关系。在一定范围内

第18页，共58页。18扭转式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因

无量纲，故G的量纲与

相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。第19页，共58页。19扭转§4–4圆轴扭转时的应力·强度计算圆轴横截面应力①变形几何方面②物理关系方面③静力学方面1.横截面变形后仍为平面；2.轴向无伸缩；3.纵向线变形后仍为平行。一、等直圆轴扭转实验观察：第20页，共58页。20第21页，共58页。21扭转二、等直圆轴扭转时横截面上的应力：1.变形几何关系：距圆心为

任一点处的

与到圆心的距离

成正比。——扭转角沿长度方向变化率(单位长度扭转角)。第22页，共58页。22扭转maxmax2.物理关系：胡克定律：代入上式得：距圆心等距离处的切应力相等第23页，共58页。23扭转3.静力学关系：OdA

令代入物理关系式得：第24页，共58页。24扭转—横截面上距圆心为

处任一点切应力计算公式。4.公式讨论：①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。②式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。

—该点到圆心的距离。Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。第25页，共58页。25扭转单位：mm4，m4。③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。对于实心圆截面：D

d

O第26页，共58页。26扭转对于空心圆截面：dDO

d

第27页，共58页。27扭转④应力分布maxmaxmaxmax（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，结构轻便，应用广泛。第28页，共58页。28扭转⑤确定最大切应力：由知：当Wt—抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：第29页，共58页。29扭转三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45

的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。第30页，共58页。30扭转1.点M的应力单元体如图(b)：(a)M(b)´´(c)2.斜截面上的应力；取分离体如图(d)：(d)

´

x第31页，共58页。31扭转(d)

´

xnt转角规定：轴正向转至截面外法线逆时针：为“+”顺时针：为“–”由平衡方程：解得：第32页，共58页。32扭转分析：当

=0°时，当

=45°时，当

=–45°时，当

=90°时，´maxmin45°由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的切应力为最大值；在方向角

=

45

的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。第33页，共58页。33扭转四、圆轴扭转时的强度计算强度条件：对于等截面圆轴：([

]

称为许用切应力。)强度计算三方面：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：静载下:[

]=(0.5~0.6)[s](钢)

[

]=(0.8~1.0)[s](铸铁)第34页，共58页。34扭转[例2]功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，

许用切应力[

]=30MPa,试校核其强度。Tm解：①求扭矩及扭矩图②计算并校核切应力强度③此轴满足强度要求。D3

=135D2=75D1=70ABCmmx第35页，共58页。35扭转§4–5圆轴扭转时的变形·刚度计算一、扭转时的变形由公式知：长为l一段等截面杆两截面间相对扭转角

为单位:弧度(rad)第36页，共58页。36扭转二、单位扭转角q：或三、刚度条件或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。[q]称为许用单位扭转角。第37页，共58页。37扭转刚度计算的三方面：①校核刚度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。[q]根据机器要求、轴的工作条件确定。可查手册。精密机器轴：[q]=（0.15~0.30）º/m一般传动轴：[q]=（0.30~１.0

）º/m精度不高的轴：[q]=（１.0~２.５

）º/m第38页，共58页。38扭转[例3]长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为

=0.8，G=80GPa，许用切应力[

]=30MPa，试设计杆的外径；若[q]=2º/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：①设计杆的外径第39页，共58页。39扭转40NmxT代入数值得：D

0.0226m。②由扭转刚度条件校核刚度第40页，共58页。40扭转40NmxT③右端面转角为：第41页，共58页。41[例4]某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率N1=500马力，输出功率分别N2=200马力及N3=300马力，已知：G=80GPa，[

]=70MPa，[f´]=1º/m，试确定：①AB段直径d1和BC段直径d2？②若全轴选同一直径，应为多少？③主动轮与从动轮如何安排合理？扭转解：①图示状态下,扭矩如图 ，由强度条件得：

500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)第42页，共58页。42扭转由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)第43页，共58页。43扭转

综上：②全轴选同一直径时第44页，共58页。44扭转

③轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应

该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径

为75mm。Tx–4.21(kNm)2.814第45页，共58页。45扭转圆轴扭转的超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；几何方程——变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。第46页，共58页。46扭转[例5]长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为

=0.8，外径D=0.0226m，G=80GPa，试求固端反力偶。解：①杆的受力图如图示，

这是一次超静定问题。

平衡方程为：第47页，共58页。47扭转②几何方程——变形协调方程③综合物理方程与几何方程，得补充方程：④由平衡方程和补充方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。第48页，共58页。48扭转§4–6非圆截面杆扭转简介非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲成空间曲面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。第49页，共58页。49扭转一、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相邻截面的翘曲程度完全相同。二、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面的翘曲程度不同。三、矩形杆横截面上的切应力:

h³bht1T

t

max注意！b1.切应力分