2025-2026学年黑龙江省大庆中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年黑龙江省大庆中学高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=i(2+3i)，则|z|=(

)A.−3 B.2 C.13 D.2.已知a，b是两个不共线的向量，若向量2a+3b，xa−9A.6 B.4 C.−4 D.−63.已知向量a=(1,2),b=(−3,1)，则b在a上的投影向量为A.(25,15) B.(−4.一个水平放置的平面图形△OAB，用斜二测画法画出了它的直观图△O′A′B′，如图所示，O′A′=3，O′B′=2，则原平面图形△OAB的面积为(

)A.322

B.32

5.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，则|A.0 B.1 C.2 D.36.如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AB=2，BC=CD=5，将梯形整ABCD绕着AD所在的直线旋转一周，得到的旋转体的体积为(

)A.116π3

B.52π

C.160π3

7.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔MN垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶M的仰角分别为∠MDE=30°，∠MCE=45°(如图)，设乘客眼睛离地面的距离为DA=CB=1m，CD=90m.若D，C，E在同一水平高度，且MD，MC，MN在同一竖直平面内，则北塔MN高为(

)A.(453−44)m B.(453+46)m8.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的表面上一个动点，A.三棱锥A−PB1D1体积的最大值为83

B.若点P满足AP⊥D1F，则动点P的轨迹长度为4+25

C.当直线AP与AB所成的角为45°时，点P的轨迹长度为π+42

D.当二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。9.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=4，a与b的夹角为π3，若(ka−10.在△ABC中，点D在线段AB上，点E在线段CD上，且满足BD=2AD，CE=3ED.若AE=xAB+yAC(x,y∈R)，则x+y的值为11.在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=b+2bcosA，则ab的取值范围为

．三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。12.(本小题13分)

已知向量a与b的夹角θ=3π4，且|a|=3，|b|=22．

(1)求a⋅b，(13.(本小题15分)

如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点．

(1)求证：BD//14.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AD//BC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=1，AD=2．

(1)求证：DC⊥平面PAC；

(2)求直线EC与平面PAC所成角的正弦值．15.(本小题17分)

锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=2acosB−ccosB．

(1)求角B；

(2)求2sinA−2sinC的取值范围．16.(本小题17分)

如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=m，点M是棱CD的中点．

(1)求异面直线B1C与AC1所成的角的大小；

(2)是否存在实数m，使得直线AC1与平面BMD1垂直？说明理由；

四、多项选择题：本大题共3小题，共18分。17.已知m、n是空间中两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列说法正确的(

)A.若m⊥β，α//β，则m⊥α B.若n⊥α，n⊥β，则α//β

C.若m//α，n//α，则m//n D.若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n18.如图，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则直线AB与平面MNQ平行的是(

)A. B.

C. D.19.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将棱长为2的正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有(

)A.该半正多面体的体积为163

B.该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为33

C.该半正多面体外接球的表面积为16π

D.该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】5210.【答案】1211.【答案】(12.【答案】−6，−33

−13.【答案】∵E，F分别为BB1，DD1的中点，BB1=DD1，BB1/​/DD1，

∴BE/​/DF且BE=DF，

∴四边形BDFE为平行四边形，

∴BD//EF，

又EF⊂14.【答案】证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，

又四边形ABCD为直角梯形，且∠ABC=∠BAD=90°，BC=12AD，

则AC2=AB2+BC2=2，所以AC=2，

因为AB=BC=1，所以∠BAC=45°，所以∠DAC=45°，

在△ACD中，由余弦定理可得CD2=AC2+AD2−2AC⋅AD15.【答案】π3

(−1,1)16.【答案】解：(1)连接BC1，由四边形BCC1B1为正方形，可得B1C⊥BC1，

又ABCD−A1B1C1D1为长方体，可得AB⊥B1C，

而AB∩BC1=B，AB⊂平面ABC1，BC1⊂平面ABC1，

∴B1C⊥平面ABC1，

而AC1⊂平面ABC1，∴B1C⊥AC1，

即异面直线B1C与AC1所成的角的大小为90°；

(2)存在实数m=2，使得直线AC1与平面BMD1垂直．

当m=2时，CM=22，

∵BC=1，∴ABBC=BCCM=2，则Rt△ABC∽