2027届高考数学一轮总复习4.7正弦定理和余弦定理【课件】

第7节正弦定理和余弦定理课标解读

1.通过对三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.2.会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题.3.能用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题.强基础•固本增分1.正弦定理和余弦定理在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,R为△ABC外接圆的半径,则定理正弦定理余弦定理公式a2=

,

b2=a2+c2-2accosB,c2=

b2+c2-2bccosAa2+b2-2abcosC定理正弦定理余弦定理常见变形a=

,

b=

,

c=

.

sinA=

,

sinB=

,

sinC=

.

a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC

cosA=

,

cosB=

,

cosC=

不要错以为a=sin

A2RsinA

2RsinB2RsinC

定理正弦定理余弦定理可解决的问题(1)已知两角和任一边,求另一角和其他两条边;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角(该三角形具有不唯一性)(1)已知三边,求各角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;(3)已知两边和其中一边的对角,求其他角和边微思考

在△ABC中,∠A>∠B是sin

A>sin

B的什么条件?提示

在△ABC中,∠A>∠B⇔a>b⇔sin

A>sin

B,即∠A>∠B是sin

A>sin

B成立的充要条件.2.三角形解的判断

A的情况A为锐角A为钝角或直角图形

关系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解

[自主诊断]1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中的三边之比等于相应的三个内角之比.(

)(2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形.(

)(3)在△ABC的内角A,B,C,边长a,b,c中,已知任意三个可求其他三个.(

)(4)在△ABC中,a2+b2<c2是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件.(

)×解析

三边之比等于相应的三个内角的正弦之比.√×解析

已知三个角时,三条边的长度不确定.√

D

C

B

研考点•精准突破考点一利用正弦、余弦定理解三角形

A

D

AD

规律方法

解三角形的常见题型及解题策略(1)知两角和一边:先用A+B+C=π及sin(A+B)=sin

C等求第三角,然后用正弦定理求另外两条边.(2)知两边及其夹角:先用余弦定理求第三边,然后用正弦定理(或余弦定理)及三角形内角和定理求另外两角.(3)知三边:用余弦定理求角.(4)知两边及一边的对角:求角首选正弦定理,求边首选余弦定理.

C

ABC

考点二利用正弦、余弦定理判断三角形形状

ABD

(2)[一题多变](2025·江西抚州模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2asinCcosA=csin2B,则△ABC的形状为(

)A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形D

规律方法

判断三角形形状的基本方法

考点三正弦、余弦定理的综合应用

规律方法

解三角形中求最值、范围问题的解题策略(1)利用余弦定理,找三角形三边之间的关系,利用基本不等式将a+b与ab相互转化,从而求得与周长或面积等有关的最值或范围.(2)利用正弦定理,将边化成角的正弦,利用三角恒等变换进行化简,利用三角函数的性质求最值、范围.

规律方法

正弦、余弦定理解平面几何问题的策略(1)计算问题:①从已知边长的三角形入手,建立边角关系方程;②注意利用图形性质,结合整体代换处理周长等问题.(2)证明问题:①通过正弦、余弦定理将条件转化为边或角的等(不等)式;②结合三角形隐含条件(如A+B+C=π,边角不等关系)及三角性质、恒等变换进行推导.

教材衍展射影定理射影定理:在△ABC中,边a,b,c所对的角分别为A,B,C,则有a=bcos

C+ccos

B,b=ccos

A+acos

C,c=acos

B+bcos

A.该结论可由正弦或余弦定理推导得出.应用射影定理解题时,应观察题目结构是否符合其整体形式,恰当运用可显著简化求解过程.典例(1)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=

.

2

规律方法

出现acos

B+bcos

A,acos

C+ccos

A,bcos

C+ccos

B这些结构,除