2027高考一轮数学总复习导学案专题四 指数函数与对数函数05函数的图像（原卷版及解析）

第=page11页，共=sectionpages33页第=page11页，共=sectionpages33页高考一轮总复习导学案专题四指数函数与对数函数05函数的图像考情分析本节内容是高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5分知识梳理知识点一图像变换1.平移变换2.对称变换①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称))y＝；②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称))y＝；③y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于原点对称))y＝；④y＝ax(a>0且a≠1)eq\o(→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝．3.伸缩变换①把函数图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得(0<<1)②把函数图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得(>1)③把函数图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得(>1)④把函数图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得(0<<1)4.翻折变换①y＝f(x)eq\o(→,\s\up12(保留x轴上方图象),\s\do4(将x轴下方图象翻折上去))y＝.②y＝f(x)eq\o(→,\s\up12(保留y轴右边图象，并作其),\s\do4(关于y轴对称的图象))y＝．【常用结论】（1）若恒成立，则的图象关于直线对称．（2）设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于直线对称．（3）若，对任意恒成立，则的图象关于直线对称．（4）函数与函数的图象关于直线对称．（5）函数与函数的图象关于直线对称．（6）函数与函数的图象关于点中心对称．（7）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”．二类型归纳（一）函数图像的识别与辨析（二）函数图像与零点问题核心方法：（三）函数图像与不等式问题（四）函数图像变换（五）实际应用问题类型应用类型一由解析式判断图像例1：（2026高三·全国·专题练习）在同一坐标系内，函数和的图像可能是（

）A． B．C． D．变式训练1-1：已知函数的图象如图所示，则其导函数图象可以是（

） B．C． D．变式训练1-2：函数的部分图象可能是（

）A． B．C． D．变式训练1-3：（2026·天津河北·二模）函数的大致图象为（

）A． B．C． D．变式训练1-4：（2026·天津·一模）函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．变式训练1-5：函数的部分图象大致是（

）A． B．C． D．变式训练1-6：（2026·四川·二模）函数的部分图象可能是（

）A． B．C． D．类型二由图像判断解析式例2：（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（

）A． B． C． D．变式训练2-1：函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（

）

A． B．C． D．变式训练2-2：（25-26高三下·天津·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（

）A． B．C． D．变式训练2-3：（2026·天津东丽·二模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（

）A． B． C． D．变式训练2-4：（2026·山东济南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．变式训练2-5：（25-26高三·上海·二轮复习）已知函数的图像如图所示，则函数的表达式可能为（）.A． B．C． D．变式训练2-6：（2024·天津·一模）如图是函数的部分图象，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．变式训练2-7：（2026·浙江宁波·三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（

）A． B． C． D．类型三图像变换例3：（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（

）A．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）B．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）C．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）D．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）变式训练3-1：（25-26高三上·北京·月考）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上（

）A．所有点纵坐标伸长为原来的2倍B．所有点纵坐标缩短为原来的倍C．所有点横坐标伸长为原来2的倍D．所有点横坐标缩短为原来的倍变式训练3-2：（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（

）A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变）变式训练3-3：把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（

）A．4 B．2 C． D．类型四函数图像的应用例4：已知是定义在上的奇函数，且当时，(1)根据条件，画出函数图像，并写出解析式和单调区间；(2)若关于的方程有三个不等实根，请直接写出实数范围；(3)写出不等式的解集.变式训练4-1：设函数，且，.

(1)求函数的解析式；(2)画出函数的图象，并指出函数的值域和单调区间；(3)直接写出不等式的解集.变式训练4-2：（2026高三·全国·专题练习）函数的图像如图所示，其中点，，，的坐标分别为，，，，则下列说法不正确的是（

）

A．的定义域是B．的值域是C．D．只与的一个值对应的值的范围是变式训练4-3：给定函数，，.(1)画出函数，的图象；(2)，用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数．例5：（25-26高三上·贵州黔西南·阶段检测）已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．变式训练5-1：（2026·河南焦作·一模）已知函数若方程恰有2个实根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．变式训练5-2：已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．类型五数学情境例6：一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（

）A． B．C． D．变式训练6-1：（19-20高一·全国·课后作业）下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事.（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.A．

B．C．

D．变式训练6-2：如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（

）．A． B．C． D．变式训练6-3：小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（

）

A．

B．

C．

D．

变式训练6-4：如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈路线为，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（

）A． B．C． D．变式训练6-5：世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定，被誉为藏在川西的“天空之心”.下图1是这个“心形湖”的轮廓，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（

）A． B． C． D．变式训练6-6：（2026·山东泰安·二模）2002年山西陶寺遗址的考古发掘中，出土了5件漆木漏斗形器，被确认为沙漏计时器，经3D打印复原实验，每件沙漏装满细沙后自动匀速下漏，全部漏完用时14.4分钟，100件漏完恰好为24小时.如图，该漏斗形器上部为圆台，下部为圆锥，则装满沙子的漏斗形器中剩余沙子的高度与时间的函数的大致图象为（

）A． B．C． D．素养提升1.（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（

）

A． B．C． D．2.（25-26高三·全国·一轮复习）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（

）A． B． C． D．3.函数的图象与的图象交点的个数为________.4.（25-26高三上·陕西西安·期中）已知函数f(x)=，则下列判断正确的是（）A．是奇函数B．的图象与直线有两个交点C．的值域是D．在内是增函数5.定义，若函数，则的最大值为______；若在区间上的值域为，则的最大值为______．6.已知函数，则方程的解的个数为（

）A．5 B．6 C．7 D．87.（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为______.8.已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.

高考一轮总复习导学案专题四指数函数与对数函数05函数的图像考情分析本节内容是高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5分知识梳理知识点一图像变换1.平移变换2.对称变换①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)；②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)；③y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)；④y＝ax(a>0且a≠1)eq\o(→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝logax(a>0且a≠1)．3.伸缩变换①把函数图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得(0<<1)②把函数图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得(>1)③把函数图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得(>1)④把函数图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得(0<<1)4.翻折变换①y＝f(x)eq\o(→,\s\up12(保留x轴上方图象),\s\do4(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f(x)|.②y＝f(x)eq\o(→,\s\up12(保留y轴右边图象，并作其),\s\do4(关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)．【常用结论】（1）若恒成立，则的图象关于直线对称．（2）设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于直线对称．（3）若，对任意恒成立，则的图象关于直线对称．（4）函数与函数的图象关于直线对称．（5）函数与函数的图象关于直线对称．（6）函数与函数的图象关于点中心对称．（7）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”．二类型归纳（一）函数图像的识别与辨析这是天津卷选择题中的固定题型，通常出现在第3~4题，分值5分，难度中等。主要分为以下两种考查形式。由解析式判断图像解题三步排除法：定义域：观察选项中图像是否有明显断点或范围差异，排除定义域不符的选项奇偶性：判断函数奇偶性，利用对称性缩小选择范围奇函数关于原点对称，f(−x)=−f(x)偶函数关于y轴对称，f(−x)=f(x)特殊点与单调性：代入特殊值（如x=01.2由图像判断解析式考查特点：给出函数图像，要求从四个解析式中选择最匹配的一个。解题要点：综合运用奇偶性判别+特殊点函数值符号+单调性趋势。（二）函数图像与零点问题这是天津卷区分度最高的压轴考点，2021—2025年连续5年出现在第15题（填空压轴），综合性强，难度较大。核心方法：数形结合（三）函数图像与不等式问题利用函数图像解决不等式问题，核心是以形助数，直观观察函数值的大小关系。（四）函数图像变换天津卷中函数图像变换常与三角函数结合考查，尤其是参数ω的求解问题。（五）实际应用问题将实际问题抽象为函数模型，通过图像分析变化规律，考查数学建模核心素养。常见实际场景行程问题：距离—时间图像，分析速度变化（匀速、加速、减速）面积变化：动点在几何图形上运动时，面积随路程的变化优化问题：通过函数图像求最大值或最小值（如利润最大、用料最省）类型应用类型一由解析式判断图像例1：（2026高三·全国·专题练习）在同一坐标系内，函数和的图像可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】幂函数图象的判断及应用、函数图像的识别【详解】当时：直线：斜率，轴截距，故直线过一、三、四象限.幂函数：若，在递增且“上凸”，无此选项.若，是偶函数，图像为开口向上的抛物线，对应选项C.若，在递增且“下凸”，无此选项.当时：直线：斜率，轴截距，故直线过一、二、四象限，无此选项.幂函数：在递减，对应选项A、D，但A中直线截距为负，D中直线截距为负，均与矛盾.综上，只有选项C符合条件.变式训练1-1：已知函数的图象如图所示，则其导函数图象可以是（

） B．C． D．【答案】C【知识点】函数图像的识别、函数与导函数图象之间的关系【详解】由图象可知，在整个定义域内，始终单调递减，，在从到的变化过程中，切线斜率（导数）在递增且为负数；在从到的变化过程中，切线斜率（导数）在递减且为负数.故只有C选项，导函数图象满足题意.变式训练1-2：函数的部分图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】求含cosx的函数的奇偶性、函数图像的识别、函数奇偶性的定义与判断【分析】根据题意，求得函数为奇函数，排除C、D选项，再由，结合选项，即可求解.【详解】由函数，可得其定义域为，且，所以函数是上的奇函数，其图象关于原点对称，可排除C、D项；当时，令，即，即，可得，解得，即时，，所以B选项符合题意.变式训练1-3：（2026·天津河北·二模）函数的大致图象为（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别【分析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再利用特殊值法判断.【详解】定义域为，且，故为奇函数，可排除C；又，可排除A、D；故函数的大致图象为B.变式训练1-4：（2026·天津·一模）函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、比较对数式的大小【详解】函数的定义域为.由知是偶函数，图象关于轴对称，排除B、D；当时，恒成立，A项不合题意,而C项均符合.变式训练1-5：函数的部分图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别【分析】根据奇偶性排除A；根据正负性排除CD.【详解】定义域为，，则是偶函数，排除A选项；当时，，则，当时，，则；当时，，则，排除CD选项.变式训练1-6：（2026·四川·二模）函数的部分图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、函数图像的识别【分析】根据函数的奇偶性及赋值法判断即可.【详解】函数定义域为，，因此是奇函数，故排除A.当时，，又，所以.故排除C.当时，，故排除D.函数的部分图象可能是选项B.类型二由图像判断解析式例2：（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】根据函数图象选择解析式、奇偶函数对称性的应用、根据解析式直接判断函数的单调性【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解.【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB；又当时，此时，由图可知当时，，故C不符合，D符合.故选：D变式训练2-1：函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（

）

A． B．C． D．【答案】D【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数图象选择解析式【分析】根据函数的图象关于原点对称，排除B，C选项，再由，排除A选项，从而得出正确答案.【详解】根据函数的图象关于原点对称，可知函数为奇函数，而B，C选项中的函数为偶函数，不符合题意，排除；又，对于A选项，当时，，不符合，排除；对于D选项，当时，，符合条件，所以D选项正确.故选：D变式训练2-2：（25-26高三下·天津·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】函数图象的应用、函数奇偶性的定义与判断、根据函数图象选择解析式【分析】由取值情况判断B；由时函数值情况判断C；由的值判断D；分析函数性质判断A.【详解】对于B，函数的定义域为R，而给定图象对应函数中，B不是；对于C，函数，当时，，此时图象在下方，C不是；对于D，函数，，其图象过点，D不是；对于A，函数，定义域为，，函数为奇函数，图象关于原点对称，当时，；当时，，A可能是.变式训练2-3：（2026·天津东丽·二模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】根据函数图象选择解析式、函数奇偶性的定义与判断【分析】根据函数性质，利用排除法逐项判断即可得.【详解】由图象可知，函数定义域为，为奇函数，且，对B：的定义域为，不符，故B错误；对C：时，，不符，故C错误；对D：时，，不符，故D错误；对A：时，，定义域为，且，故该函数为奇函数，符合题意，故A正确.变式训练2-4：（2026·山东济南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】根据函数图象选择解析式、求含sinx的函数的奇偶性、求含cosx的函数的奇偶性【分析】分析各选项中函数的定义域、零点、奇偶性以及函数值符号，结合题中图象可得答案.【详解】对于A选项，对于函数，由可得，即函数的定义域为，与题中图象不符；对于B选项，令，可得，即函数只有一个零点，与题中图象不符；对于C选项，函数的定义域为，，函数为偶函数，与题中图象不符；对于D选项，函数的定义域为，，函数为奇函数，令得，可得，当时，，则，与题中图象相符.变式训练2-5：（25-26高三·上海·二轮复习）已知函数的图像如图所示，则函数的表达式可能为（）.A． B．C． D．【答案】D【知识点】根据函数图象选择解析式、函数奇偶性的定义与判断【分析】先得到的定义域且为偶函数，对四个选项一一判断，得到答案.【详解】由函数的图象可得函数的定义域，且为偶函数，对于A，函数定义域，且，所以函数为定义域上的奇函数，所以A不符合题意；对于B，函数定义域，且，所以函数为定义域上的奇函数，所以B不符合题意；对于C，由函数，当时，可得与图象不符，所以C不符合题意；对于D，函数定义域为，且，所以函数为偶函数，当时，；当时，，，所以D符合题意.故选：D.变式训练2-6：（2024·天津·一模）如图是函数的部分图象，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】根据函数图象选择解析式、函数奇偶性的定义与判断、求含sinx(型)函数的值域和最值【分析】根据时，函数值的正负可排除A；根据函数的奇偶性可排除C；根据函数的定义域可排除D.【详解】由图可知：的定义域为，图象关于轴对称，则为偶函数．对于A，当时，，此时，与图不符，故A错误；对于C，的定义域为，，则不是偶函数，故C错误；对于D，在有意义，故D错误，故选：B．变式训练2-7：（2026·浙江宁波·三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数图象选择解析式、函数图像的识别【分析】根据零点特征排除A、C；结合导数和图象特点判断B；的图象特征判断D；【详解】图像中函数与轴有两个交点（即两个零点），选项A，只有1个零点，选项C，没有零点，因此排除A、C.图像中时，函数值趋近于0，选项D，当时，，不符合趋势，排除D.选项B：，零点为（两个零点，一负一正，符合图像）；时，，，且时，，符合图像左半部分趋势；时，，，时，符合；时，，求导得，可得时函数先增后减，且时，指数函数增长快于多项式，，完全符合图像特征.类型三图像变换例3：（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（

）A．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）B．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）C．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）D．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）【答案】A【知识点】对数函数图象的应用、函数图象的变换【分析】利用函数的图象平移和伸缩变换，可得结论.【详解】把的图象上所有的点向左平移2个单位长度，得到的函数解析式为，再把所得各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到的函数解析式为.故选：A.变式训练3-1：（25-26高三上·北京·月考）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上（

）A．所有点纵坐标伸长为原来的2倍B．所有点纵坐标缩短为原来的倍C．所有点横坐标伸长为原来2的倍D．所有点横坐标缩短为原来的倍【答案】D【知识点】函数图象的变换【分析】根据函数图象的变换得解.【详解】函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，故选：D变式训练3-2：（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（

）A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变）【答案】A【知识点】函数图象的变换【分析】由，根据平移法则即可解出．【详解】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象，故选：A.变式训练3-3：把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（

）A．4 B．2 C． D．【答案】C【知识点】指数幂的运算、函数图象的变换【分析】首先根据平移变换求出图象的函数解析式，然后根据图象重合列方程解出的值.【详解】把函数的图象向右平移2个单位长度，得到函数表达式为，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象的函数表达式为，因为图象与重合，所以，即，解得，.类型四函数图像的应用例4：已知是定义在上的奇函数，且当时，(1)根据条件，画出函数图像，并写出解析式和单调区间；(2)若关于的方程有三个不等实根，请直接写出实数范围；(3)写出不等式的解集.【答案】(1)图像见详解，，单调递增区间为，单调递减区间为和；(2)；(3).【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由奇偶性求函数解析式、根据函数零点的个数求参数范围、画出具体函数图象【分析】（1）作出时的图像，然后结合奇函数的性质即可画出函数的图像，再根据图像求函数的单调递增区间；利用函数是奇函数，求函数的解析式；（2）利用数形结合，转化为与的图像有个交点，从而得解；（3）分，两种情况，数形结合可得出原不等式的解集.【详解】（1）解：当时，的图像开口向上，对称轴为，顶点为，又因为是定义在上的奇函数，其图像关于原点对称，所以图像如图，

结合图像可知，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为．因为当时，，所以当时，，所以，因为是定义在上的奇函数，所以，所以当时，，又，故的解析式为.（2）解：因为有个不相等的实数根，等价于与的图像有个交点，结合（1）中的图像可知，当时，与的图像有个交点，所以.（3）解：当时，，解得；当时，，解得.综上所述，不等式的解集为.变式训练4-1：设函数，且，.

(1)求函数的解析式；(2)画出函数的图象，并指出函数的值域和单调区间；(3)直接写出不等式的解集.【答案】(1)(2)作图见解析，答案见解析(3)【知识点】根据图像判断函数单调性、已知函数值求自变量或参数、函数图象的应用、画出具体函数图象【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出函数的解析式；（2）根据函数的解析式可作出函数的图象，结合图象可得出函数的值域、增区间和减区间；（3）分、两种情况讨论，结合图象可得出不等式的解集.【详解】（1）因为，且，.即，解得，故.（2）图象如下：

函数的值域为，单调递增区间是，单调递减区间是、.（3）当时，由可得，由图可得或，当时，由可得，由图可得.综上所述，不等式的解集为.变式训练4-2：（2026高三·全国·专题练习）函数的图像如图所示，其中点，，，的坐标分别为，，，，则下列说法不正确的是（

）

A．的定义域是B．的值域是C．D．只与的一个值对应的值的范围是【答案】B【知识点】函数图象的应用【详解】由图可知：的定义域是，值域为，故A正确，B错误，，C正确，当和时，此时的图像只有一个交点，故只与的一个值对应的值的范围是,D正确.变式训练4-3：给定函数，，.(1)画出函数，的图象；(2)，用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数．【答案】(1)图象见解析(2)图象见解析；.【知识点】一次函数的图像和性质、画出具体函数图象、二次函数的图象分析与判断、图象法表示函数【分析】（1）根据一次函数与二次函数的图象与性质，即可求解；（2）根据题意，结合（1）中的函数的图象，进而求得函数的解析式，画出图象.【详解】（1）解：由函数，根据一次函数与二次函数的图象与性质，可得函数和的图象，如图所示：

（2）解：联立方程组，整理得，解得或，结合（1）中的图象，可得：当时，；当时，；当时，，所以函数的解析式为.函数的图象，如图所示.

例5：（25-26高三上·贵州黔西南·阶段检测）已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围、分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用【分析】利用分段函数图象，即可得到判断.【详解】作出函数图象：因为方程化为，方程恰有三个不同的实数解，等价于的图象有三个不同的交点，所以由图可得，当，即时符合题意，故选：C变式训练5-1：（2026·河南焦作·一模）已知函数若方程恰有2个实根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性【分析】画出函数图象，数形结合得到答案.【详解】时，，则，令得，令得，故在上单调递增，在上单调递减，又，时，，故，当时，单调递增，且，画出的图象如下：方程恰有2个实根，即与有2个交点，则，则实数的取值范围是.变式训练5-2：已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】指数函数图像应用、指数式与对数式的互化、根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用【分析】由题意得与的图象有三个不同的交点，作出与的图象，根据二次函数的对称性，可得，根据图象可得k的范围，进而可得的范围，即可得答案.【详解】因为函数有三个不同的零点，所以，即有三个不同的根，则与的图象有三个不同的交点，作出与的图象，如下图所示当时，为开口向下，对称轴为的抛物线，则关于对称，所以，即，由图象可得，令，解得，令，解得，所以，则，即的取值范围为.类型五数学情境例6：一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】根据实际问题作函数图象【分析】根据题意分析可得相遇时间为4小时，此时两车距离为0，排除B选项；再求出快车继续行驶到达乙地所需要的时间排除A选项；再分析可得当特快车停止行驶时，快车还在行驶，结合速度排除D选项.【详解】当两车同时相向出发时，相遇时间小时，此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项；相遇时，快车已经行驶的路程为千米，还需要行驶小时才能到达乙地，故排除A选项；特快车相遇时已经行驶的路程为千米，只需要再行驶小时才能到达甲地，所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项.故选：C.变式训练6-1：（19-20高一·全国·课后作业）下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事.（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.A．

B．C．

D．【答案】见解析.【知识点】函数图象的应用、函数图像的识别【解析】根据时间和离开家距离的关系逐一进行判断.【详解】解：（1）根据回家后，离家的距离又变为0，对应（D）；（2）由途中遇到一次交通堵塞，可判断中间有一段函数值没有发生变化，对应（A）；（3）由为了赶时间开始加速，可判断函数的图象上升速度越来越快，对应（B）.剩下的图象（C）为：我出发后越走越累，所以速度越来越慢.【点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，通过分析实际情况中离家距离随时间变化的趋势，找出关键的图象特征，对3个图象进行分析，即可得到答案.变式训练6-2：如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（

）．A． B．C． D．【答案】A【知识点】根据实际问题作函数图象【分析】分，，求出解析式，然后可知图象.【详解】当时，，是一条过原点的线段；当时，，是一段平行于轴的线段；当时，，图象为一条线段.故选：A．变式训练6-3：小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【知识点】根据实际问题作函数图象【分析】分析在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离的变化，可得出合适的选项.【详解】由题图知，小李从点到点的过程中，的值先增后减，从点到点的过程中，的值先减后增，从点到点的过程中，的值先增后减，从点到点的过程中，的值先减后增，所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即的值）的增减性为：增、减、增、减、增，D选项合乎题意，故选：D.变式训练6-4：如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈路线为，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】根据实际问题作函数图象【分析】根据扇形的特点结合路程关系进行判断即可.【详解】小明沿走时，与点的直线距离保持不变，沿走时，随时间增加与点的距离越来越小，沿走时，随时间增加与点的距离越来越大.故D选项的函数图象符合题意.故选：D变式训练6-5：世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定，被誉为藏在川西的“天空之心”.下图1是这个“心形湖”的轮廓，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】根据函数图象选择解析式【分析】利用基本不等式可求得，知A错误；由时，可知B错误；根据函数定义域可知C错误；根据、图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调性可知D正确.【详解】对于A，（当且仅当，即时取等号），在上的最大值为，与图象不符，A错误；对于B，当时，，与图象不符，B错误；对于C，由得：，不存在部分的图象，C错误.对于D，，当时，；又过点；由得：，解得：，即函数定义域为；又，为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减；综上所述：与图象相符，D正确；故选：D.变式训练6-6：（2026·山东泰安·二模）2002年山西陶寺遗址的考古发掘中，出土了5件漆木漏斗形器，被确认为沙漏计时器，经3D打印复原实验，每件沙漏装满细沙后自动匀速下漏，全部漏完用时14.4分钟，100件漏完恰好为24小时.如图，该漏斗形器上部为圆台，下部为圆锥，则装满沙子的漏斗形器中剩余沙子的高度与时间的函数的大致图象为（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】函数图像的识别、锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算【分析】根据给定条件，利用圆台、圆锥的结构特征，结合单位时间内漏出相同体积的沙子，分析高度下降速度随时间变化的快慢即可判断得解.【详解】依题意，细沙匀速下漏，单位时间漏出沙子的体积恒定，随时间的增大，高度逐渐减小，沙面面积逐渐减小，由圆台上部大下部小，得漏出的沙子，随时间的增大，高度的变化量逐渐增大，因此的下降速度越来越快，对应图象变得越来越陡，排除选项BC；又漏斗上部为圆台，下部为圆锥，两部分沙面面积随的变化规律不同，圆锥部分比圆台部分沙面面积更小，减小更快，因此的下降速度更快，图象更陡，且下降速度在交界处会发生变化，图象在交界处不光滑，排除选项A，选项D符合题意.素养提升1.（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（

）

A． B．C． D．【答案】D【知识点】根据函数图象选择解析式、函数奇偶性的定义与判断、判断指数型函数的图象形状、识别三角函数的图象（含正、余弦，正切）【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；当时、，即A、C中上函数值为正，排除；故选：D2.（25-26高三·全国·一轮复习）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（

）A． B． C． D．【答案】CD【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的定义与判断、函数图象的变换、函数对称性的应用【分析】根据函数，与函数的图象关系，结合函数的奇偶性逐一判断即得．【详解】由题意可知，图乙函数是偶函数，对于A：的图象是保持在轴右侧的图象并将右侧图象沿着轴翻折，而乙图中在轴右侧的图象发生改变，故A不合题意；对于B：的图象是保持在轴上方的图象并将下方的图象沿着轴翻折,而乙图中在原点附近的图象均在轴下方，故B不合题意；对于C：当时，，即乙图中在轴右侧的图象可由甲图中在轴左侧的图象翻折得到，又为偶函数，图象应关于轴对称，故C符合题意；对于D：可由关于轴翻折得到，根据A项分析,可知D符合题意.3.函数的图象与的图象交点的个数为________.【答案】2【知识点】函数图象的应用、画出具体函数图象【分析】根据指数函数和对数函数的图象判断即可.【详解】.当时，单调递减，值域为，单调递减，值域为，此时有1个交点；当时，单调递减，值域为，单调递增，值域为，此时有1个交点；综上，函数的图象与的图象有2个交点.故答案为：2.4.（25-26高三上·陕西西安·期中）已知函数f(x)=，则下列判断正确的是（）A．是奇函数B．的图象与直线有两个交点C．的值域是D．在内是增函数【答案】CD【知识点】函数图象的应用、分段函数的性质及应用【分析】根据分段函数的解析式及基本初