第10讲 对数运算及对数函数的图像与性质【原卷版及解析版】2027届高考数学一轮复习题型全归纳

2027届高考数学一轮复习题型全归纳2/45第10讲对数运算及对数函数的图像与性质题型总览题型总览总览核心题型归纳（目录）模块一模块一核心题型·举一反三【题型1】指对互化及其运算核心知识1指对互化定义若（）则2对数的基本性质 3对数运算律（） （）方法技巧 互化优先看到指数式或对数式优先考虑互化统一形式 运算顺序先处理幂运算再进行加减运算 整体代换复杂对数式可设转化为指数式求解【经典例题1】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知3a=2，log92=b，则A．4 B．42 C．8 【经典例题2】（2026·山东泰安·模拟预测）已知3m=2，n=log【巩固练习1】（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知alog32=1，则【巩固练习2】（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知3x=12,log39A．2 B．3 C．4 D．5【巩固练习3】（2026·天津·一模）若4a=9，3b=4，则A．32log23 B．32log【题型2】对数的换底公式核心知识1换底公式（）2常用推论 方法技巧 底数统一当底数不同时优先换为相同底数（常用或） 推论速用遇到底数或真数带幂次直接用简化 倒数关系利用处理互为倒数的底数【经典例题1】（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知a=log0.13，b=A．a+b<ab<0 B．ab<a+b<0 C．a+b<0<ab D．ab<0<a+b【经典例题2】（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知a=log0.13，b=A．a+b<ab<0 B．ab<a+b<0 C．a+b<0<ab D．ab<0<a+b【巩固练习1】（25-26高一上·上海·期中）已知实数a>1，且log2a−2loga【巩固练习2】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知logab+logba=5【巩固练习3】（25-26高一上·山西太原·期末）（1）求log3（2）已知ea=3,eb=5【题型3】对数运算的实际应用【经典例题1】（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）某放射性物质在衰变过程中，剩余质量与时间的关系式为mt=m0⋅12tT参考数据：lgA．25 B．27 C．29 D．31【经典例题2】（25-26高三上·安徽淮北·期中）某一物质在特殊环境下的温度变化满足：T=20lnω1−ω0ω−ω0（T为时间，单位为min，ω0为特殊环境温度，ω1为该物质在特殊环境下的初始温度，ωA．48℃ B．50℃ C．52℃ D．54℃【巩固练习1】（2026·云南·模拟预测）大气压强P（单位：kPa）与海拔高度h（单位：m）之间的关系可由公式P=P0⋅e−kℎ近似描述，其中P0为海平面标准大气压强，k为常数．已知在某地区，海拔4000米处的大气压强为60kPa，海拔8000米处的大气压强为40kPa．若在该地区测得某地的大气压强为45kPa，则该地的海拔高度约为（A．5400米 B．6100米 C．6800米 D．7500米【巩固练习2】（25-26高一上·广东深圳·期末）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是T0,tmin后的温度是T，则T−Ta=T0−Ta⋅12t（参考数据：lg2≈0.30,A．14min B．15min C．16min D．17min【巩固练习3】（25-26高一上·安徽芜湖·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20∼79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/（结果取整数，参考数据：lg2≈0.30,A．5 B．6 C．7 D．8【题型4】对数函数的定义核心知识1对数函数标准形式（）2判定条件底数且真数为自变量系数为13常见非对数函数方法技巧 三步判定一看底数范围二看真数是否为纯三看系数是否为1 易错提醒注意区分对数函数与对数型复合函数对数函数的真数必须是【经典例题1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知定义在(0,+∞)上的函数fx满足fxy=fx+f【经典例题2】（2025高二上·山东枣庄·学业考试）已知定义在0,+∞上的函数y=fx满足：∀s,t∈0,+∞,fs=f【巩固练习1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知对数函数fx过点14，−2，则fx的解析式为___________，f【巩固练习2】（2025高一上·全国·专题练习）若函数f(x)=a2−3a+3logaA．1或2 B．1 C．2 D．a>0且a≠1【巩固练习3】（24-25高一上·江苏无锡·阶段检测）已知对数函数y=logax（a>0且a≠1）的图象过点4,12A．14 B．12 C．2【题型5】对数函数的定义域核心知识1标准对数函数（）定义域为2复合型对数函数定义域限制真数大于0底数大于0且不等于1分母不为0等3典型限制形式要求要求方法技巧 分层分析先列全所有限制条件再分别求解不等式最后取交集 易错点底数为参数时需同时满足底数底数真数 复合函数若对数函数为外层需先保证内层函数的值域在内【经典例题1】（25-26高二下·北京延庆·期中）函数y=lg−【经典例题2】（25-26高二下·北京海淀·期中）函数f(x)=ln1−xx【巩固练习1】（24-25高一上·安徽淮北·期末）（多选）已知函数fx=log2ax2A．5 B．0 C．8 D．6【巩固练习2】（25-26高一下·河南·阶段检测）已知函数fx=lnlnx的定义域为A，函数gA．“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件B．“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件C．“x∈A”是“x∈B”的充要条件D．“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件【巩固练习3】（25-26高一上·湖南娄底·期末）已知函数fx=log4ax2+2x+3，若当fx的定义域为R时实数a的取值范围为集合A，当fA．A=13,+∞ B．B=0,1【题型6】对数型函数的奇偶性核心知识1奇偶性定义定义域关于原点对称且为偶函数为奇函数2对数型奇偶函数常见形式 奇函数典型形式 偶函数典型形式3关键性质奇函数在处有定义时偶函数满足方法技巧 判定步骤 1先求定义域验证是否关于原点对称不对称则直接非奇非偶 2计算利用对数运算律化简 3对比与的关系得出奇偶性结论 化简技巧 利用处理分式形式的真数 利用转化符号 对利用有理化证明奇偶性 特殊结论 （）是奇函数 是奇函数 是偶函数【经典例题1】（25-26高三下·河南周口·开学考试）若函数fx=ln1+ax+3A．−6 B．−2 C．2 D．6【经典例题2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数f(x)=log411−x【巩固练习1】（24-25高三上·云南·阶段检测）若函数fx=2x+aln【巩固练习2】（2024·宁夏银川·二模）若fx=lna+【巩固练习3】（25-26高三上·浙江温州·期末）已知fx=lnx+1x−1A．−2 B．−1 C．0 D．1【题型7】对数函数的图像及其变换核心知识1标准对数函数图像特征 图像过单调递增上凸过 图像过单调递减下凸过2图像变换规律 平移变换左加右减上加下减 对称变换与关于轴对称与关于轴对称 伸缩变换水平伸缩垂直伸缩方法技巧 定点追踪对数函数恒过定点可通过追踪定点判断变换结果 变换顺序平移变换优先于伸缩变换或先伸缩再平移时注意平移量调整 图像对比利用“底大图低”规律比较不同底数对数函数的图像高低【经典例题1】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数f(x)=ax+b(a>0且a≠1)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)=log

A．

B．

C．

D．

【经典例题2】（2026·贵州毕节·二模）已知函数f(x)=log2(ax+b),(a+b>1)的图象过点(1,1)，且无限接近直线x=3，但又不与该直线相交，则A．−4 B．4 C．−4或−1 D．−1【巩固练习1】（25-26高三下·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数fx=logax−b（a>0A．0<a<1，−1<b<0 B．0<a<1，b<−1C．a>1，−1<b<0 D．a>1，b<−1【巩固练习2】（25-26高一上·云南昭通·期末）函数y=logax(a>0，且a≠1)

A．

B．

C．

D．

【巩固练习3】（25-26高一上·广东江门·期末）已知函数f(x)=−a12|x|+b(a>0且a≠1)的图像经过坐标原点.则函数y=f(x)与函数A． B．C． D．【题型8】对数型函数的单调性核心知识1标准对数函数单调性时在上单调递增时在上单调递减2复合型对数函数单调性遵循同增异减原则结合内层函数单调性判断3典型复合形式外层为对数函数内层为定义域需满足方法技巧 分层分析步骤 1先求函数定义域 2分析内层函数的单调区间 3结合外层对数函数的底数范围（或）利用同增异减判断整体单调性 易错点忽略定义域单调区间必须在定义域内 含参数讨论底数含参数时需分和两种情况讨论【经典例题1】（25-26高三下·山东日照·阶段检测）函数fx=logaA．−∞,−1 B．−1,12 C．【经典例题2】（2026·云南昆明·二模）已知函数fx=lnA．fx是奇函数，且在0,+B．fx是奇函数，且在0,+C．fx是偶函数，且在0,+D．fx是偶函数，且在0,+【巩固练习1】（25-26高二下·宁夏银川·期中）函数f(x)=loga(5−ax)(a>0,a≠1)在1,3上是减函数，则aA．53,+∞ B．15,1 【巩固练习2】（2026·河北张家口·二模）已知a>0,a≠1，若函数fx=logax+3,x>11−axA．32,2 B．1,2 C．52【巩固练习3】（25-26高三下·江苏连云港·阶段检测）已知实数a>0，函数fx=lnx⋅lneaA．0<a≤2ln2 B．a≤2ln3 C．【题型9】对数型函数的值域与最值核心知识1标准对数函数（）值域为2复合型对数函数值域换元法令先求的范围再求的范围最后结合对数函数单调性求值域3常见最值形式换元后转化为二次函数求最值方法技巧 换元三步法换元求的范围求外层函数的值域 二次型对数函数设转化为结合的范围求最值 边界注意对数函数的值域需结合定义域和单调性判断端点处的取值【经典例题1】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数f(x)=lne2x−texA．0,42 B．1,42 C．(0,8) 【经典例题2】（25-26高一上·山东聊城·阶段检测）已知a>0且a≠1，函数f(x)=loga(2+x)+loga(2−x),x∈[0,2A．2 B．22 C．2或12 D．2【巩固练习1】（24-25高二下·浙江·期中）已知函数f(x)=log2x，正实数m，n满足m<n，且f(m)=f(n)，若m+n=52，则f(x)A．2 B．52 C．1 D．【巩固练习2】（24-25高三下·重庆荣昌·开学考试）已知函数fx=4x,x≥a−2log2x,0<x<aA．12,1 B．12,+∞ 【巩固练习3】（24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）已知函数fx=x+4−2a,x<11+alog2x,x≥1，若fA．2 B．−∞,2 C．−∞【题型10】换元法求对数型函数的值域核心知识1适用场景形如等复合对数函数2换元原则令或将对数函数转化为熟悉的二次函数或一次函数3关键步骤确定换元后新元的取值范围再求外层函数的值域方法技巧 换元法步骤 1观察函数结构确定合适的换元对象 2求出的取值范围（由对数函数定义域和单调性决定） 3分析外层函数的单调性或最值结合的范围求值域 易错点换元后必须标注的取值范围避免扩大或缩小值域 常见形式处理 二次型对数函数用配方法或顶点式求最值 分式型对数函数分离常数或利用反比例函数性质【经典例题1】（24-25高一上·四川绵阳·阶段检测）若关于x的不等式k<log3x2−log33x【经典例题2】（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知实数x满足不等式2log2x2−5【巩固练习1】（2023·云南·模拟预测）已知fx=log2x1≤x≤16，设【巩固练习2】（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）已知函数fx=logax（a>0，且a≠1(1)求函数fx(2)当x∈1,9，求函数gx=f【巩固练习3】（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数fx(1)当x∈1,8(2)若fx≤mlog2x【题型11】比较对数式的大小核心知识1同底不同真数利用对数函数单调性比较2同真数不同底利用换底公式转化为同底或利用图像判断3不同底不同真数引入中间量（如01）比较4常用中间量0（对应真数为1）1（对应真数为底数）方法技巧 分类比较法 1同底：底数时真数大的对数大；时真数大的对数小 2同真数：真数大于1时底数大的对数小；真数在时底数大的对数大 3不同底不同真数：先判断与01的大小关系再排序 作差/作商法利用对数运算律化简再判断符号 图像法在同一坐标系中画出对数函数图像直观比较函数值大小【经典例题1】（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知a=ln43，b=314，c=12，则a【经典例题2】（2026高一·全国·专题练习）若a=log0.20.3,b=log2【巩固练习1】（2026·湖北武汉·三模）已知a=log32，b=log511，c=log23A．a<c<b B．b<c<a C．b<a<c D．a<b<c【巩固练习2】（2026·天津滨海新区·三模）设a=log45，b=A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a【巩固练习3】（25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）已知a=log45，b=log3A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b【题型12】对数函数图像的复杂计算【经典例题1】（2025·贵州铜仁·模拟预测）已知两条水平直线l1:y=a和l2:y=16a+1a∈0,72,l1与函数y=lnx的图形从左到右相交于A,B两点；l2与函数y=lnx的图形从左到右相交于【经典例题2】（24-25高一上·浙江金华·期末）如图，平行于y轴的直线分别与函数fx=log2x及gx=log2x+2的图象交于点B，C，点A

【巩固练习1】（24-25高一上·广西南宁·期末）如图，平行于y轴的直线分别与函数y1=log2x及y2=log2x+2的图像交于点B和C【巩固练习2】（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）若直线y=t与函数y=log2x,y=log5x,y=logax(a>0且a≠1)的图象分别交于A,B,C三点，若

【巩固练习3】（23-24高一上·山东日照·期末）如图所示，直线OB与对数函数y=logaxa>1的图象交于E，B两点，经过E的线段AC垂直于y轴，垂足为C．若四边形OABC是平行四边形，且周长为16，则实数【题型13】对数函数函数的图像与性质综合题型【经典例题1】（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知函数fx(1)若f2<0，求(2)若x1, x2①求t的取值范围；②设函数gx=fx【经典例题2】（25-26高一上·上海·期末）设常数a>0，a≠1，fx(1)已知y=fx的图象过点2,2，求实数a(2)若f2>f16(3)当a=2时，求函数y=fx−m⋅log2x【巩固练习1】（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数fx(1)若fx的定义域为R，求实数m(2)当m=3时，若fx在a,+∞上单调递增，求实数(3)设函数gx=2x+12x【巩固练习2】（25-26高一上·广东汕头·期末）已知定义在R上的函数f(x)=3(1)求a的值；(2)用定义证明：f(x)为增函数(3)设函数g(x)=log3x3⋅log3x9【巩固练习3】（25-26高一下·河北衡水·开学考试）已知函数f(x)=log(1)求函数f(x)的零点；(2)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；(3)对∀x1∈[−1,1],∃x2【题型14】反函数及其应用核心知识1反函数定义若函数的定义域为值域为且对任意存在唯一使得则称为的反函数2对数函数与指数函数互为反函数与互为反函数3反函数的性质 定义域与值域互换 图像关于直线对称 方法技巧 求反函数步骤 1由解出关于的表达式 2交换和写出反函数 3标注反函数的定义域（原函数的值域） 利用反函数性质解题 利用图像对称性已知一个函数图像求另一个【经典例题1】（2026·广东广州·二模）若函数y=f(x)的图象与y=log3x+a的图象关于直线y=x对称，且f(2)=18，则a=（A．−9 B．−log32 C．【经典例题2】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知函数fx=xex−2，g【巩固练习1】（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）已知函数f(x)=ex+x−2的零点为a、函数g(x)=lnx+x−2A．a2+b2<3 B．a2【巩固练习2】（25-26高一上·重庆·期末）已知a>1，x1，x2分别是函数fx=ex+x−a与g【巩固练习3】（25-26高三上·辽宁锦州·期末）设函数y=fx的图象与y=2x+a的图象关于直线y=−x对称，且f−2+fA．3 B．2 C．1 D．0.课后过关检测课后过关检测一、单选题1．（2026·河北廊坊·一模）函数fx=lnA． B． C． D．2．（24-25高一上·湖北黄冈·阶段检测）设a=log32，b=A．c<b<a B．a<b<c C．b<a<c D．a<c<b3．（2026·福建·模拟预测）已知fx是定义在R上的奇函数，且当x>0时，fx=2xA．−289 B．−269 C．4．（2026·河南·模拟预测）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：lgn=23lgv+120（其中v为轮毂高度风速，单位：ms，A．9级 B．11级 C．13级 D．15级5．（2026·陕西榆林·三模）已知定义域为R的偶函数fx在−∞,0上单调递减，若a=f−13log32A．c>a>b B．c>b>a C．b>a>c D．b>c>a6．（25-26高一下·浙江·开学考试）函数f(x)=loga(2x−1)+1（a>0且a≠1）的图象过定点A(m,n)，若正数x，y，满足mx+ny=3，则3A．1 B．2 C．115 7．（2026·西藏日喀则·模拟预测）若曲线y=x−alog21−2x关于直线A．−2 B．2 C．0 D．1二、多选题8．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知函数fx=lnx2A．fxB．当m2−4n≥0时，若fC．fx在定义域内的区间−D．当m2−4n<0时，f9．（25-26高一上·贵州遵义·期末）函数fx=lnA．fx的定义域为R B．fxC．fx是奇函数 D．fx在区间10．（25-26高一下·河北保定·开学考试）已知函数fx=lnA．fx的定义域为R B．fC．fx在−13,1311．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）以下运算正确的是（

）A．5−0.15=0.1C．1681−3三、填空题12．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）函数fx=−2−x与gx=2x的图象关于_____________13．（25-26高一下·河南信阳·期中）已知函数fx=log2x+114．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知正数a，b，c均不等于1，且logba=2，logcb=315．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）若3a=18，b=log316．（25-26高三下·北京·阶段检测）在量子计算研发中，某量子计算机处理任务的时间T=alog2Q（单位：秒），其中a为常数，Q是量子比特的数量．已知当量子比特数量Q从44个增加到213个时，处理时间增加了10秒；当量子比特数量从21317．（24-25高一下·上海·期中）已知函数fx=x2−2x+3,x≤218．（25-26高一下·江苏南京·开学考试）函数fx=log19．（25-26高一下·上海闵行·期中）函数y=lgx2四、解答题20．（25-26高一上·云南文山·期末）文山红果参是一种药食同源特色水果.红果参为草本植物，果实成熟后呈紫黑色，果肉红润酸甜，口感沙脆带青草味，可连皮带籽食用.文山州马关县凭借海拔1500米以下的独特自然条件，已成为全国最大的红果参种植基地．某地区为了激发果农种植热情，制定了如下的补贴方案：（i）规定补贴金额y（单位：万元）是销售额x（单位：万元）的函数，且函数的部分图象如图所示；（ii）当销售额为2万元时，补贴金额为0.3万元；当销售额为12万元时，补贴金额为1.4万元．现有以下三个函数模型供选择：①y=kx+m；②y=k⋅1.1x+m(1)请你从中选择一个最合适的函数模型（无需说明理由），并求出你选择的函数模型的解析式；(2)假设某果农2025年销售额为23.5万元，则他应得多少补贴金？（参考数据：lg2≈0.3,

第10讲对数运算及对数函数的图像与性质题型总览题型总览总览核心题型归纳（目录）模块一模块一核心题型·举一反三【题型1】指对互化及其运算核心知识1指对互化定义若（）则2对数的基本性质 3对数运算律（） （）方法技巧 互化优先看到指数式或对数式优先考虑互化统一形式 运算顺序先处理幂运算再进行加减运算 整体代换复杂对数式可设转化为指数式求解【经典例题1】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知3a=2，log92=b，则A．4 B．42 C．8 【答案】C【详解】由3a=3由log92=b，得9b所以3a+2b【经典例题2】（2026·山东泰安·模拟预测）已知3m=2，n=log【答案】1【详解】由3m=2可得m=则n−2m=log【巩固练习1】（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知alog32=1，则【答案】1【详解】由alog32=1，得log32【巩固练习2】（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知3x=12,log39A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【详解】由3x=12，得x=log则x+y=log【巩固练习3】（2026·天津·一模）若4a=9，3b=4，则A．32log23 B．32log【答案】A【分析】根据指数与对数的互化及对数的运算性质求解即可.【详解】由4a=9得，log4由3b=4得，log43b所以a+1【题型2】对数的换底公式核心知识1换底公式（）2常用推论 方法技巧 底数统一当底数不同时优先换为相同底数（常用或） 推论速用遇到底数或真数带幂次直接用简化 倒数关系利用处理互为倒数的底数【经典例题1】（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知a=log0.13，b=A．a+b<ab<0 B．ab<a+b<0 C．a+b<0<ab D．ab<0<a+b【答案】B【分析】根据对数函数的单调性及对数的运算法则，判断a、b的符号，进而得到ab<0，作商比较ab,a+b的大小即可得解．【详解】−1=log0.1∴ab<0,a+b又0<log32.5<1，所以a+b<0,综上，ab<a+b<0．【经典例题2】（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知a=log0.13，b=A．a+b<ab<0 B．ab<a+b<0 C．a+b<0<ab D．ab<0<a+b【答案】B【分析】根据对数函数的单调性及对数的运算法则，判断a、b的符号，进而得到ab<0，作商比较ab,a+b的大小即可得解．【详解】−1=log0.1∴ab<0,a+b又0<log32.5<1，所以a+b<0,综上，ab<a+b<0．【巩固练习1】（25-26高一上·上海·期中）已知实数a>1，且log2a−2loga【答案】16【详解】由换底公式可得loga4=log24设t=log2a（t>0两边同乘以t整理得t2解得t=4或t=−1。∵t>0，∴t=−1舍去，即log2∴a=【巩固练习2】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知logab+logba=5【答案】34/【详解】当b>a>1时，令t=logab>由logab+log即logaab=b所以b=22=4【巩固练习3】（25-26高一上·山西太原·期末）（1）求log3（2）已知ea=3,eb=5【答案】（1）1；（2）a+b−1【分析】（1）由对数运算性质直接计算即可得解；（2）先由指数式与对数式的互化得到a=ln【详解】（1）log3（2）∵∴a=ln∴log【题型3】对数运算的实际应用【经典例题1】（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）某放射性物质在衰变过程中，剩余质量与时间的关系式为mt=m0⋅12tT参考数据：lgA．25 B．27 C．29 D．31【答案】B【分析】设经过t天后，剩余质量变为初始质量的110，化简可得t=8【详解】由题意，T=8，设大约经过t天后，剩余质量变为初始质量的110则有m0⋅1t=8log故大约经过27天后，剩余质量变为初始质量的110【经典例题2】（25-26高三上·安徽淮北·期中）某一物质在特殊环境下的温度变化满足：T=20lnω1−ω0ω−ω0（T为时间，单位为min，ω0为特殊环境温度，ω1为该物质在特殊环境下的初始温度，ωA．48℃ B．50℃ C．52℃ D．54℃【答案】B【详解】由题知T=20，ω1=100，∴20=20ln100−20w−20，∴计算得ω≈49.41.【巩固练习1】（2026·云南·模拟预测）大气压强P（单位：kPa）与海拔高度h（单位：m）之间的关系可由公式P=P0⋅e−kℎ近似描述，其中P0为海平面标准大气压强，k为常数．已知在某地区，海拔4000米处的大气压强为60kPa，海拔8000米处的大气压强为40kPa．若在该地区测得某地的大气压强为45kPa，则该地的海拔高度约为（A．5400米 B．6100米 C．6800米 D．7500米【答案】C【分析】根据条件得到60=P0 · e−k · 4000，40=【详解】根据题意，代入两组已知数据：对于海拔4000米处：60=P对于海拔8000米处：40=P将方程②除以方程①：4060=P设气压为45kPa时的海拔为ℎ米，则有：45=P将方程④除以方程①：4560=P0 代入③式结果e−4000k=2对两边取常用对数：ℎ−40004000 ·代入参考数据lg2≈0.3010，lg3≈0.4771可得ℎ−40004000  ·ℎ−40004000ℎ−40004000ℎ−4000≈0.709×4000≈2836，ℎ≈4000+2836=6836米．故选：C.【巩固练习2】（25-26高一上·广东深圳·期末）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是T0,tmin后的温度是T，则T−Ta=T0−Ta⋅12t（参考数据：lg2≈0.30,A．14min B．15min C．16min D．17min【答案】A【分析】由题意数据求得ℎ=10，设降温到32°C大约再需要tmin【详解】由题意52−20=(84−20)×1210ℎ，即32=64×1设降温到32°C大约再需要tmin，则32−20=(52−20)×即12t10所以t≈14.故选：A【巩固练习3】（25-26高一上·安徽芜湖·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20∼79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/（结果取整数，参考数据：lg2≈0.30,A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】设经过x个小时才能驾驶，则0.9(1−20【详解】设经过x个小时才能驾驶，则0.9(1−20%)由于函数y=0.8所以x>log故他至少经过7小时才能驾驶.故选：C.【题型4】对数函数的定义核心知识1对数函数标准形式（）2判定条件底数且真数为自变量系数为13常见非对数函数方法技巧 三步判定一看底数范围二看真数是否为纯三看系数是否为1 易错提醒注意区分对数函数与对数型复合函数对数函数的真数必须是【经典例题1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知定义在(0,+∞)上的函数fx满足fxy=fx+f【答案】fx【分析】根据题意，结合对数的运算性质，以及对数函数的性质，即可得到答案.【详解】由对数的运算法则知：loga则满足fxy=fx+fy故答案为：fx【经典例题2】（2025高二上·山东枣庄·学业考试）已知定义在0,+∞上的函数y=fx满足：∀s,t∈0,+∞,fs=f【答案】fx【分析】根据题意，结合对数的运算性质，以及对数函数的性质，即可得到答案.【详解】由对数的运算法则loga∴设函数y=fx又∵f2=12，即∴fx故答案为：fx【巩固练习1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知对数函数fx过点14，−2，则fx的解析式为___________，f【答案】fx=【分析】利用对数函数的定义结合过的点可求得解析式，再利用对数函数的单调性可求得最大值.【详解】可设对数函数fx=logax可得：f1所以对数函数fx由于f因为x∈12，32，根据对数函数f故答案为：fx=log【巩固练习2】（2025高一上·全国·专题练习）若函数f(x)=a2−3a+3logaA．1或2 B．1 C．2 D．a>0且a≠1【答案】C【分析】本题考查的是对数函数的定义，根据定义求出符合条件的参数.【详解】∵函数f(x)=a∴a2−3a+3=1,a>0解a2−3a+3=1可得a=1或a=2，【巩固练习3】（24-25高一上·江苏无锡·阶段检测）已知对数函数y=logax（a>0且a≠1）的图象过点4,12A．14 B．12 C．2【答案】C【分析】代入点的坐标求出a的值，再根据对数的运算性质计算可得.【详解】因为对数函数y=logax（a>0且a≠1所以loga4=12，即a1故选：C【题型5】对数函数的定义域核心知识1标准对数函数（）定义域为2复合型对数函数定义域限制真数大于0底数大于0且不等于1分母不为0等3典型限制形式要求要求方法技巧 分层分析先列全所有限制条件再分别求解不等式最后取交集 易错点底数为参数时需同时满足底数底数真数 复合函数若对数函数为外层需先保证内层函数的值域在内【经典例题1】（25-26高二下·北京延庆·期中）函数y=lg−【答案】−2,1【详解】令−x2−x+2>0，即x−1故函数的定义域为−2,1【经典例题2】（25-26高二下·北京海淀·期中）函数f(x)=ln1−xx【答案】0,1【分析】根据一元二次不等式求解，结合对数函数求解定义域.【详解】函数f(x)=ln1−xx满足1−xx>0函数f(x)=ln1−xx【巩固练习1】（24-25高一上·安徽淮北·期末）（多选）已知函数fx=log2ax2A．5 B．0 C．8 D．6【答案】ACD【详解】因为函数fx=log所以ax2+8x+4>0若a=0，则8x+4>0对x∈R不恒成立，故a=0若a≠0，则a>0Δ=8所以a的取值范围为4,+∞【巩固练习2】（25-26高一下·河南·阶段检测）已知函数fx=lnlnx的定义域为A，函数gA．“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件B．“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件C．“x∈A”是“x∈B”的充要条件D．“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件【答案】A【详解】函数fx=lnlnx的定义域为lnx>0得x∈1,+可知“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．【巩固练习3】（25-26高一上·湖南娄底·期末）已知函数fx=log4ax2+2x+3，若当fx的定义域为R时实数a的取值范围为集合A，当fA．A=13,+∞ B．B=0,1【答案】D【分析】根据题意，结合对数函数的图象与性质，以及二次函数的性质，列出不等式组，分别求得集合A,B，以及A∩B,A∪B，结合选项，即可求解.【详解】由函数fx=log4ax2则满足a>0Δ=22−12a<0由函数fx=log4a即y=ax2+2x+3当a=0时，函数y=2x+3的值域为R，符合题意；当a≠0时，则满足a>0Δ=2综上可得，集合B=[0,13]，则A∩B=∅【题型6】对数型函数的奇偶性核心知识1奇偶性定义定义域关于原点对称且为偶函数为奇函数2对数型奇偶函数常见形式 奇函数典型形式 偶函数典型形式3关键性质奇函数在处有定义时偶函数满足方法技巧 判定步骤 1先求定义域验证是否关于原点对称不对称则直接非奇非偶 2计算利用对数运算律化简 3对比与的关系得出奇偶性结论 化简技巧 利用处理分式形式的真数 利用转化符号 对利用有理化证明奇偶性 特殊结论 （）是奇函数 是奇函数 是偶函数【经典例题1】（25-26高三下·河南周口·开学考试）若函数fx=ln1+aA．−6 B．−2 C．2 D．6【答案】A【详解】因为函数fx是奇函数，所以f−x=−f所以lnx−3−ax−3=化简整理得3+a2=9，解得a=0或当a=0时，fx的定义域为−∞,−3∪−3,+∞当a=−6时，fx=ln1+−6x+3=所以函数fx的定义域为−又f−x=lna的值为−6.【经典例题2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数f(x)=log411−x【答案】2【分析】根据题意，由奇函数的性质、函数的定义域分析，求出a的值，又由f−x+fx【详解】根据题意，已知fx当a=0时，fx函数fx的定义域为x此时，函数fx一定不是奇函数，故a≠0则有11−x−a≠0，且a≠0，变形可得所以1−a1−x=0的根为−1，解可得a=又因为fx为奇函数，则有f即log4即−2b+log41−x即−2b−1=0，故b=−1所以ab故答案为：2.【巩固练习1】（24-25高三上·云南·阶段检测）若函数fx=2x+aln【答案】0【分析】先由偶函数的性质求出参数a，然后检验即可.【详解】因为fx为偶函数，则f1=f当a=0时，fx=2xln3x−13x+1则其定义域为xx>13f−x=−2x故答案为：0.【巩固练习2】（2024·宁夏银川·二模）若fx=lna+【答案】ln【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称，得到a+11−x≠0，即可求出a的值，求出函数的定义域，再由奇函数的性质f【详解】因为f(x)=ln∴f(x)定义域关于原点对称，由a+11−x≠0所以x≠1且x≠a+1所以a+1a=−1，解得所以函数的定义域为−∞则f0=0，即f0此时f(x)=lnf−x所以b=ln故答案为：ln2【巩固练习3】（25-26高三上·浙江温州·期末）已知fx=lnx+1x−1A．−2 B．−1 C．0 D．1【答案】C【分析】根据奇函数的定义f−x【详解】要使fx=lnx+1x−1−ax2有意义，则所以函数fx的定义域为−f−x因为f−x=−fx即lnx−1x+1+因为x≠0，所以a=0.故选：C.【题型7】对数函数的图像及其变换核心知识1标准对数函数图像特征 图像过单调递增上凸过 图像过单调递减下凸过2图像变换规律 平移变换左加右减上加下减 对称变换与关于轴对称与关于轴对称 伸缩变换水平伸缩垂直伸缩方法技巧 定点追踪对数函数恒过定点可通过追踪定点判断变换结果 变换顺序平移变换优先于伸缩变换或先伸缩再平移时注意平移量调整 图像对比利用“底大图低”规律比较不同底数对数函数的图像高低【经典例题1】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数f(x)=ax+b(a>0且a≠1)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)=

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】观察图像判断底数a>1，再结合特殊值求解.【详解】观察f(x)=ax+b则g(x)=log代入x=0，f(0)=1+b，0<f(0)<1，可得−1<b<0；则g(1)=log【经典例题2】（2026·贵州毕节·二模）已知函数f(x)=log2(ax+b),(a+b>1)的图象过点(1,1)，且无限接近直线x=3，但又不与该直线相交，则A．−4 B．4 C．−4或−1 D．−1【答案】A【分析】由函数所过的点和a+b>1推知a+b=2，根据对数函数的图象无限靠近y轴，类比分析得到3a+b=0，从而列方程组得解.【详解】由题知，f(1)=1，即log2又a+b>1，则log2(a+b)=1，解得由对数函数性质，f(x)无限接近x=3，则x→3时，ax+b→0，即3a+b=0，故a+b=23a+b=0，解得a=−1b=3【巩固练习1】（25-26高三下·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数fx=logax−b（a>0A．0<a<1，−1<b<0 B．0<a<1，b<−1C．a>1，−1<b<0 D．a>1，b<−1【答案】A【详解】由函数图像知，fx在定义域内单调递减，所以0<a<1根据图像可知函数fx的图像是把y=所以0<−b<1，解得−1<b<0.【巩固练习2】（25-26高一上·云南昭通·期末）函数y=logax(a>0，且a≠1)

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】由y=logax(a>0且a≠1)的图像过点(3,1)，求出a=3【详解】∵y=logax(a>0且a≠1)∴1=loga3对于A，∵a=3，∴y=a−x=3−x对于B，∵a=3，∴y=x3，定义域为R，令fx∴y=x对于C，y=(−x)3=−x3对于DD，∵a=3，∴y=loga(−x)=log3(−x)，故选：B【巩固练习3】（25-26高一上·广东江门·期末）已知函数f(x)=−a12|x|+b(a>0且a≠1)的图像经过坐标原点.则函数y=f(x)与函数A． B．C． D．【答案】D【分析】先根据函数经过坐标原点求出b=a，然后根据对数函数的图象与指数函数的图象判断即可.【详解】因为函数f(x)=−a12|x|所以f0=−a1所以f(x)=−a12|x|当0<a<1时，函数y=log此时f(x)=−a12|x|所以0≤1−12|x|当a>1时，函数y=log此时f(x)=−a12|x|所以0≤1−12|x|<1，因为所以根据图象可知，D正确.故选：D.【题型8】对数型函数的单调性核心知识1标准对数函数单调性时在上单调递增时在上单调递减2复合型对数函数单调性遵循同增异减原则结合内层函数单调性判断3典型复合形式外层为对数函数内层为定义域需满足方法技巧 分层分析步骤 1先求函数定义域 2分析内层函数的单调区间 3结合外层对数函数的底数范围（或）利用同增异减判断整体单调性 易错点忽略定义域单调区间必须在定义域内 含参数讨论底数含参数时需分和两种情况讨论【经典例题1】（25-26高三下·山东日照·阶段检测）函数fx=logA．−∞,−1 B．−1,12 C．【答案】B【分析】先求函数定义域，根据复合函数单调性分析判断即可.【详解】令−x2+x+2>0，解得−1<x<2，可知函数f因为y=log且u=−x2+x+2在−1,可知fx在−1,12所以函数fx=log【经典例题2】（2026·云南昆明·二模）已知函数fx=lnA．fx是奇函数，且在0,+B．fx是奇函数，且在0,+C．fx是偶函数，且在0,+D．fx是偶函数，且在0,+【答案】C【分析】先得出定义域，再应用偶函数定义判断偶函数，再结合对数复合函数单调性即可求解.【详解】fx的定义域为R因为fx=lne2x当x>0时，则ex>1，由复合函数的单调性质得：y=ex+所以fx在(0,+∞)【巩固练习1】（25-26高二下·宁夏银川·期中）函数f(x)=loga(5−ax)(a>0,a≠1)在1,3上是减函数，则aA．53,+∞ B．15,1 【答案】D【分析】先由内层函数为减函数推出对数底数a>1，再结合真数在区间1,3上恒正，得到5−3a≥0，最终即可得到a的取值范围.【详解】根据题意，对于函数f(x)=log令t=5−ax，则y=log又由a>0且a≠1，则t=5−ax为减函数，若函数f(x)=loga(5−ax)必有a>15−3a≥0，解可得1<a≤即a的取值范围为(1,5【巩固练习2】（2026·河北张家口·二模）已知a>0,a≠1，若函数fx=logax+3,x>11−axA．32,2 B．1,2 C．52【答案】B【分析】根据对数函数，二次函数与分段函数的单调性列式解不等式即可求得答案.【详解】因为函数fx=logax+3,x>1所以3≥1−a+2+1，解得a≥1又y=logax+3在1,+函数y=1−ax2+2x+1在(−∞综上，a的取值范围是1,2.【巩固练习3】（25-26高三下·江苏连云港·阶段检测）已知实数a>0，函数fx=lnx⋅lneaA．0<a≤2ln2 B．a≤2ln3 C．【答案】A【分析】化简fx=−lnx2+alnx，换元【详解】fx令t=lnx，则因为x∈2,3且t=lnx在(0,+因为函数fx=lnx⋅ln所以函数y=−t2+at又函数y=−t2+at因此a2所以0<a≤2ln【题型9】对数型函数的值域与最值核心知识1标准对数函数（）值域为2复合型对数函数值域换元法令先求的范围再求的范围最后结合对数函数单调性求值域3常见最值形式换元后转化为二次函数求最值方法技巧 换元三步法换元求的范围求外层函数的值域 二次型对数函数设转化为结合的范围求最值 边界注意对数函数的值域需结合定义域和单调性判断端点处的取值【经典例题1】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数f(x)=lne2x−teA．0,42 B．1,42 C．(0,8) 【答案】A【分析】令ex=mm>0，g(m)=m则g(m)=m2−tm+8【详解】令ex=mm>0，则令g(m)=m所以函数f(x)=ln则g(m)=m2−tm+8由二次函数的图像与性质可得：t2解得：0<t<42所以实数t的取值范围是(0,4故选：A【经典例题2】（25-26高一上·山东聊城·阶段检测）已知a>0且a≠1，函数f(x)=loga(2+x)+loga(2−x),x∈[0,2A．2 B．22 C．2或12 D．2【答案】D【分析】根据函数的单调性分类讨论确定最大值和最小值，然后解方程得a值.【详解】化简得，f(x)=loga4−x2，当x∈[0,由二次函数性质可知y=4−x2在区间当a>1时，函数y=logax在定义域内单调递增，所以函数f(x)=所以f(x)max=f(0)=loga4,f(x)当0<a<1时，函数y=logax在定义域内单调递减，所以函数f(x)=所以f(x)由题意可得loga2−loga4=2综上，a=2或a=故选：D.【巩固练习1】（24-25高二下·浙江·期中）已知函数f(x)=log2x，正实数m，n满足m<n，且f(m)=f(n)，若m+n=52，则f(x)A．2 B．52 C．1 D．【答案】A【分析】由对数函数的性质，建立方程可得参数的等量关系，从而求得参数值，根据对数函数的单调性，可得答案.【详解】根据题意作图如下：

由f(m)=f(n)，0<m<n可得−log2m=由m+n=1n+n=52，解得m=易知函数fx在(14因f(14)=|log214|=2，故选：A.【巩固练习2】（24-25高三下·重庆荣昌·开学考试）已知函数fx=4x,x≥a−2log2x,0<x<aA．12,1 B．12,+∞ 【答案】D【分析】分别求出当x≥a和当0<x<a时，函数的最小值，由题意，列出不等式，借助函数的单调性解不等式即可.【详解】当x≥a时，fx=4x单调递增，所以当x=a时，当0<x<a时，fx=−2log因为fx在0,+∞存在最小值，所以令gx=4x+2log2所以gx在0,+∞上均单调递增，又因为所以当0<x≤12时，gx所以−2log2a≥故选：D.【巩固练习3】（24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）已知函数fx=x+4−2a,x<11+alog2x,x≥1，若fA．2 B．−∞,2 C．−∞【答案】D【分析】分析可知，函数fx=1+alog2x在1,+∞上的值域包含5−2a,+∞【详解】当x<1时，fx=x+4−2a<5−2a，即函数fx在−由题意可知，函数fx=1+alog2x即函数fx=1+alog2x且fxmin=f因此，实数a的取值范围是0,2.故选：D.【题型10】换元法求对数型函数的值域核心知识1适用场景形如等复合对数函数2换元原则令或将对数函数转化为熟悉的二次函数或一次函数3关键步骤确定换元后新元的取值范围再求外层函数的值域方法技巧 换元法步骤 1观察函数结构确定合适的换元对象 2求出的取值范围（由对数函数定义域和单调性决定） 3分析外层函数的单调性或最值结合的范围求值域 易错点换元后必须标注的取值范围避免扩大或缩小值域 常见形式处理 二次型对数函数用配方法或顶点式求最值 分式型对数函数分离常数或利用反比例函数性质【经典例题1】（24-25高一上·四川绵阳·阶段检测）若关于x的不等式k<log3x2−log3【答案】−【分析】由x的范围求得log3x的范围，用换元法结合二次函数性质求得log3【详解】x∈[13,3]时，log3x∈[−1,1]y=log∴t=12时所以k<−5故答案为：(−∞【经典例题2】（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知实数x满足不等式2log2x2−5【答案】34/【分析】先根据一元二次不等式的解法求出log2【详解】由2log2xfx当log2x=12时，故答案为：34【巩固练习1】（2023·云南·模拟预测）已知fx=log2x1≤x≤16，设【答案】8【分析】由1≤x≤161≤x2≤16求出g(x)的定义域为[1,4]，然后换元，令t=log【详解】y=gx=f2由1≤x≤161≤x2≤16得1≤x≤4，即令t=log2x，因为1≤x≤4所以y=t2+2t=所以t=2时，ymax故答案为：8.【巩固练习2】（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）已知函数fx=logax（a>0，且a≠1(1)求函数fx(2)当x∈1,9，求函数gx=f【答案】(1)f(2)当x=3时，函数gx有最小值−94，当【分析】（1）根据给定条件，利用对数函数单调性求出最值列式求出最值求解即可.（2）求解fx9，f3x【详解】（1）当a>1时，函数fx函数fx在区间3,a2上的最大值与最小值分别为f由题意可得：fa此时区间为3,9；当0<a<1时，此时0<a2<1<3综上所述：a=3，即fx（2）gx令log3x=t，因为x∈1,9所以ℎt所以ℎtmin=ℎlog3x=1所以当x=3时，函数gx有最小值−94，当【巩固练习3】（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数fx(1)当x∈1,8(2)若fx≤mlog2x【答案】(1)−(2)5【分析】（1）先化简函数解析式，然后利用换元法，结合二次函数的性质计算值域即可.（2）先化简不等式，然后构造新函数，判断单调性，求得最大值，进而得到结果.【详解】（1）f令t=log2x∈0,3，则fx在1,8由于gmin所以fx在x∈1,8上的值域为（2）令u=log2x，因为x∈fx=log化简得m≥u−2u−1因为φu=u−2u−1所以m的取值范围为：52【题型11】比较对数式的大小核心知识1同底不同真数利用对数函数单调性比较2同真数不同底利用换底公式转化为同底或利用图像判断3不同底不同真数引入中间量（如01）比较4常用中间量0（对应真数为1）1（对应真数为底数）方法技巧 分类比较法 1同底：底数时真数大的对数大；时真数大的对数小 2同真数：真数大于1时底数大的对数小；真数在时底数大的对数大 3不同底不同真数：先判断与01的大小关系再排序 作差/作商法利用对数运算律化简再判断符号 图像法在同一坐标系中画出对数函数图像直观比较函数值大小【经典例题1】（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知a=ln43，b=314，c=12，则【答案】a<c<b或b>c>a【分析】利用对数函数单调性、指数函数值域性质，通过与中间值12【详解】因为a=ln43，c=12将43与e12两边同时平方可得，432=169≈1.78因为b=314，指数函数y=3x在R上单调递增，14>0，故31【经典例题2】（2026高一·全国·专题练习）若a=log0.20.3,b=log2【答案】b>a>c【分析】利用对数函数的单调性可得答案.【详解】因为fx=log0.2x则log0.2即1>a>0>c.由log26>log所以b>a>c.故答案为：b>a>c.【巩固练习1】（2026·湖北武汉·三模）已知a=log32，b=log511，c=log23A．a<c<b B．b<c<a C．b<a<c D．a<b<c【答案】D【分析】根据对数函数的单调性分别计算a,b,c的范围即可求解．【详解】对数函数y=log3x在(0,+所以log32<log对数函数y=log5x在(0,+所以log55<log对数函数y=log2x在(0,+所以log223综上可得a<b<c．【巩固练习2】（2026·天津滨海新区·三模）设a=log45，b=A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a【答案】C【分析】利用作差法，结合对数运算性质，基本不等式可比较log4再比较32【详解】log4注意到ln4ln6<则log45−log又注意到322>【巩固练习3】（25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）已知a=log45，b=log3A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b【答案】B【分析】先确定a,b,c的范围，再结合基本不等式与作商法得到a<b，进而结合对数的运算性质得到c>b，最后证明目标结论即可.【详解】因为a=log45>所以ab=log当且仅当lg5=lg3结合对数的运算性质得lg5+结合对数的性质得lg15即ab<1，得到a<b，而又b=log34<【题型12】对数函数图像的复杂计算【经典例题1】（2025·贵州铜仁·模拟预测）已知两条水平直线l1:y=a和l2:y=16a+1a∈0,72,l1与函数y=lnx的图形从左到右相交于A,B两点；l2与函数y=ln【答案】e【分析】由题意设A，B，C，D各点的横坐标分别为xA,xB,【详解】两条水平直线l1:y=a和l2:y=16l2与函数y=lnx根据题意得：由a=lnx得xA由16a+1=lnx得所以m=xA−即nm因为a∈0,72当且仅当16a+1=a+1时，即a=3时取等号，所以nm故答案为：e7【经典例题2】（24-25高一上·浙江金华·期末）如图，平行于y轴的直线分别与函数fx=log2x及gx=log2x+2的图象交于点B，C，点A

【答案】2【分析】根据已知得Bm+2,n，且A在函数gx=log2【详解】由BC//y轴，易得BC=2，又△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，所以|AB|=2，Am,n，得B显然A在函数gx=log2x+2则n=log2m+2n=故答案为：2【巩固练习1】（24-25高一上·广西南宁·期末）如图，平行于y轴的直线分别与函数y1=log2x及y2=log2x+2的图像交于点B和C【答案】4【分析】利用给定条件结合对数函数性质求出点的坐标，代入对应函数里，整体求值即可.【详解】因为平行于y轴的直线分别与两个函数的图像交于点B和C，所以设B(x,log2x),C(x,若△ABC为正三角形，如图，作AG⊥BC，则A到BC的距离AG=3,BG=1，故因为点A(m,n)为函数y2图像上一点，所以因为B(m+3,n−1)在所以log2(m+3即m=2n−1−故12×2故答案为：4【点睛】关键点点睛：本题考查对数函数，解题关键是合理利用给定条件表示出点的坐标，然后代入函数中进行整体求值，得到所要求的参数值即可．【巩固练习2】（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）若直线y=t与函数y=log2x,y=log5x,y=logax(a>0且a≠1)的图象分别交于A,B,C三点，若

【答案】10【分析】依题意将对数式化为指数式，再由x3【详解】根据题意可知log2因此可得x1=2t,又因为幂函数y=xt在0,+∞又a>0，解得a=10故答案为：10【点睛】关键点点睛：本题关键在于将对数式转化成指数式，再由指数运算法则计算解方程可得结论.【巩固练习3】（23-24高一上·山东日照·期末）如图所示，直线OB与对数函数y=logaxa>1的图象交于E，B两点，经过E的线段AC垂直于y轴，垂足为C．若四边形OABC是平行四边形，且周长为16，则实数【答案】3【分析】先利用平行四边形以及平行关系，得到E和B点的坐标，再利用四边形周长，求出a即可.【详解】设Ex1,loga从而C0,logax1故Ax2,logax1而EBO三点共线，即kOB=解得x1=2，即x2=4，所以从而OC=logax从而四边形周长2loga故答案为：32【题型13】对数函数函数的图像与性质综合题型【经典例题1】（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知函数fx(1)若f2<0，求(2)若x1, x2①求t的取值范围；②设函数gx=fx【答案】(1)−4,12(2)①t∈−1【分析】(1)由log2(2)①变形得到t=2x2−2②由①得2x1+2x2=1，2x1【详解】（1）∵fx=log22x+t−2x∴4+t>04+t<16∴t的取值范围为−4,12.（2）①∵x1, x∴fx=0有两个不相等的实根，即∴log22x设m=2x,m∈0,+∞函数y=m2−m当m∈0,12时，函数y=当m∈12,+∞时，函数∴当m=12时，y=∵函数y=t与y=m∴t∈②由①可知x1, x2为fx∴2x1+2∴∵fx=log∴g∴g====又∵∴g=∵12<2∴log2∴gx1【经典例题2】（25-26高一上·上海·期末）设常数a>0，a≠1，fx(1)已知y=fx的图象过点2,2，求实数a(2)若f2>f16(3)当a=2时，求函数y=fx−m⋅log2x【答案】(1)a=2(2)(0,1)∪(2,+(3)当m<−2时，ymax=−3m；当m≥−2【分析】（1）将点的坐标代入函数，建立方程，进而求解参数即可.（2）结合题意构造不等式，再结合对数函数的单调性，分类讨论求出参数范围即可.（3）结合题意并以换元法化为二次函数，再讨论端点值求出最大值即可.【详解】（1）因为y=fx的图象过点2,2所以loga2−2log22−3（2）因为f2所以loga则−2loga2−2>4log当0<a<1时，loga当a>1时，可得a>2，故实数a的取值范围为(0,1)∪(2,+∞（3）当a=2时，fx令log2x=t，因为x∈1,8则y=fx设g(t)=t2−5+mt+6而g(t)开口向上，则讨论端点值即可，当6≥−3m时，即m≥−2，函数有最大值为6，当6<−3m时，即m<−2，函数有最大值为−3m，综上可得，当m≥−2时，最大值为6，当m<−2时，最大值为−3m.【巩固练习1】（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数fx(1)若fx的定义域为R，求实数m(2)当m=3时，若fx在a,+∞上单调递增，求实数(3)设函数gx=2x+12x【答案】(1)−2(2)2,+(3)−1,2【分析】（1）应用对数函数定义域结合二次函数恒成立计算求解参数；（2）应用对数复合函数单调性列式计算求解参数；（3）先应用指数函数单调性把恒成立及存在问题转化为最值问题，方法一：分类讨论对称轴求解参数范围；方法二：先参数分离，再应用函数单调性结合基本不等式计算求解最值得出参数范围.【详解】（1）因为函数fx的定义域为R所以∀x∈R,x2−mx+2>0所以实数m的取值范围为−22（2）当m=3时，fx令ux=x2−3x+2>0又ux=x2−3x+2=x−322所以fx在2,+因为题中fx在a,+∞上单调递增，所以实数a的取值范围为（3）因为∀x1∈1,2,∃因为gx=2所以g(x)即∀x1∈方法一：设t=x2−mx+2,x∈当m2≤1时，只需12当1<m2≤2时，只需1当m2≥2时，只需综上，得−1≤m<22，即实数m的取值范围为−1,2方法二：∀x∈1,2,x所以m≥x记μx=x2−6xx∈1,2，则∀x∈1,2,x所以m<x记φx=x2+2xx∈1,2，则综上，−1≤m<22，即实数m的取值范围为−1,2【巩固练习2】（25-26高一上·广东汕头·期末）已知定义在R上的函数f(x)=3(1)求a的值；(2)用定义证明：f(x)为增函数(3)设函数g(x)=log3x3⋅log3x9【答案】(1)a=1(2)证明见解析(3)−【分析】（1）由奇偶性有f(0)=0求参数值，注意验证即可；（2）根据函数单调性的定义，应用作差法比较大小判断单调性；（3）利用指对数函数的性质及换元法确定g(x【详解】（1）∵f(x)是奇函数，∴f(0)=0，即1−a2=0经检验a=1时函数y=f(x)为奇函数，∴f(x)=3（2）∵f(x)=3x−13x+1=1−由fx∴fx1<f（3）由（2）得f(x)=3x−1当x=−1时，f(x)min=−12∴f(x)在−1,1上的值域为A=−又g(x)=log3x设t=log3x，则t∈当t=32时，ymin=−1因此函数g(x)在x∈[3,9]上的值域B=[−1由对任意的x1∈[3,9]，总存在x2∈−1,1于是−14+m≥−所以实数m的取值范围是−1【巩固练习3】（25-26高一下·河北衡水·开学考试）已知函数f(x)=log(1)求函数f(x)的零点；(2)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；(3)对∀x1∈[−1,1],∃x2【答案】(1)0(2)奇函数，在(−2,2)上单调递减(3)(−【分析】（1）根据对数的定义域和对数运算的性质计算即可.（2）根据函数的奇偶性定义和对数复合函数的单调性判断即可.（3）将函数gx进行变形化简，根据二次函数的性质，分m4≤−1，−1<【详解】（1）由题意得2+x>02−x>0，所以函数f(x)的定义域为f(x)=由f(x)=0，得2+x2−x=1，解得所以函数f(x)的零点为0.（2）f(−x)=log所以函数f(x)是奇函数，当0<x<2时，2+x2−x易知t=−1−4x−2在(0,2)上单调递增，又y=log结合复合函数单调性，可得f(x)在(0,2)上单调递减.又函数f(x)是奇函数，则f(x)在(−2,2)上单调递减；（3）由（2）易得f(1)≤f(x)≤f(−1)，故函数fx的值域为f1,f设函数g(x),x∈[−1,1]的值域为A，由题意得[−1,1]⊆A.g(x)=2x当m4≤−1，即m≤−4时，函数g(x)在[−1,1]上递增，则g(1)≥1g(−1)≤−1当−1<m4<1，即−4<m<4令3−m28当m4≥1.即m≥4时，函数g(x)在[−1,1]上递减，则g(1)≤−1g(−1)≥1综上，m∈(−∞【题型14】反函数及其应用核心知识1反函数定义若函数的定义域为值域为且对任意存在唯一使得则称为的反函数2对数函数与指数函数互为反函数与互为反函数3反函数的性质 定义域与值域互换 图像关于直线对称 方法技巧 求反函数步骤 1由解出关于的表达式 2交换和写出反函数 3标注反函数的定义域（原函数的值域） 利用反函数性质解题 利用图像对称性已知一个函数图像求另一个【经典例题1】（2026·广东广州·二模）若函数y=f(x)的图象与y=log3x+a的图象关于直线y=x对称，且f(2)=18，则a=A．−9 B．−log32 C．【答案】B【分析】根据两个函数图象关于直线y=x对称，得出它们互为反函数，进一步求出反函数表达式，并作为f(x)的解析式，最后根据题意得到关于a的方程，求解a.【详解】因为两个函数图象关于直线y=x对称，所以y=f(x)是y=log对y=log3x+a整理得：log交换x,y可得反函数：f(x)=3又因为f(2)=18，所以32−a化简可得：323a两边取以3为底的对数，则a=log【经典例题2】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知函数fx=xex−2，g【答案】2【分析】利用函数零点的意义，结合互为反函数的两个函数图象关系及反比例函数图象的对称性求解.【详解】依题意，f(由fx1=gx2=0，得x1x2是函数y=lnx与y=而函数y=ex与y=lnx互为反函数，则函数y=e又函数y=2x的图象也关于直线y=x对称，因此点x1,y则x2=y【巩固练习1】（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）已知函数f(x)=ex+x−2的零点为a、函数g(x)=lnx+x−2A．a2+b2<3 B．a2【答案】A【分析】利用函数零点的定义及零点存在性定理，结合反函数的性质及不等式性质逐项判断即可.【详解】由f(x)=0，g(x)=0得ex=2−x，lnx=2−x，则e因此a,b分别是直线y=2−x与函数y=ex、y=ln在同一坐标系中作出函数y=ex，y=ln函数y=ex与y=ln直线y=2−x也关于直线y=x对称，则点A(a,ea),B(b,即ea=b,ln函数y=ex,y=x−2在R上都是增函数，则函数f(x)又f(0)=−1<0，f(12)=因此a2【巩固练习2】（25-26高一上·重庆·期末）已知a>1，x1，x2分别是函数fx=ex+x−a与g【答案】3,+【分析】由题意可知，x1,x2分别是函数y=ex，y=lnx与y=−x+a图象交点的横坐标，根据同底的指数函数与对数函数的关系及直线y=−x+a的特点可得两个交点关于直线【详解】因为x1是函数f所以x1是方程ex+x−a=0所以x1是函数y=ex同理x2是函数y=lnx函数y=lnx与函数y=e直线y=−x+a也关于直线y=x对称，因此两个交点关于直线y=x对称，所以ex又因为a>1，由图象可知x2所以m=e所以m的取值范围为3,+∞故答案为：3,+∞【巩固练习3】（25-26高三上·辽宁锦州·期末）设函数y=fx的图象与y=2x+a的图象关于直线y=−x对称，且f−2+fA．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】根据函数的对称性，得到函数y=fx【详解】因为函数y=fx的图象与y=2x+a所以在函数y=fx的图象上取点x,y，则关于直线y=−x对称点为−y,−x所以−x=2−y+a，得因为f−2+f−4=3，所以故选：A.课后过关检测课后过关检测一、单选题1．（2026·河北廊坊·一模）函数fx=lnA． B． C． D．【答案】B【分析】结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可．【详解】解：fx=lnfx=lnx−1e∴fx过0,0和2,0又x→+∞时，fx所以A不符合题意，B符合题意．2．（24-25高一上·湖北黄冈·阶段检测）设a=log32，b=A．c<b<a B．a<b<c C．b<a<c D．a<c<b【答案】B【分析】根据给定条件，利用作差法，结合对数换底公式及对数函数单调性比较大小.【详解】由c−b==(lg2−由b−a==lg2⋅(lg因此a<b<c.3．（2026·福建·模拟预测）已知fx是定义在R上的奇函数，且当x>0时，fx=2xA．−289 B．−269 C．【答案】A【详解】由已知得f−x=−fx则flog所以f−4．（2026·河南·模拟预测）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：lgn=23lgv+120（其中v为轮毂高度风速，单位：ms，A．9级 B．11级 C．13级 D．15级【答案】B【分析】根据给定方程计算瞬时风速对应的风力等级，结合对数运算及指对互化运算即可求解．【详解】将轮毂高度瞬时风速32 m/s代入lg由lg2≈0.3010知，103lg所以n≈10又100.05≈1.12，所以所以n≈11．5．（2026·陕西榆林·三模）已知定义域为R的偶函数fx在−∞,0上单调递减，若a=f−13log32A．c>a>b B．c>b>a C．b>a>c D．b>c>a【答案】D【分析】先根据偶函数性质得出fx在0,+【详解】因为定义域为R的偶函数fx在−∞,0上单调递减，所以f因为13log32=133所以51.5又a=f−13log36．（25-26高一下·浙江·开学考试）函数f(x)=loga(2x−1)+1（a>0且a≠1）的图象过定点A(m,n)，若正数x，y，满足mx+ny=3，则3A．1 B．2 C．115 【答案】B【分析】根据对数函数性质求出定点确定m、n的值，再将式子变形，最后利用乘1法结合基本不等式求最值.【详解】对于对数函数f(x)=log令2x−1=1，解得x=1，此时f(1)=loga⁡1+1=0+1=1得m=1,n=1，由条件mx+ny=3可得：x+y=3(x>0,y>0)，即(x+1)+y=4，由x+y=3，代入3x+13利用1的代换结合基本不等式：1x+1当且仅当yx+1结合(x+1)+y=4，得x=1,y=2，满足正数条件，所以3x+1所以当x=1,y=2时，3x+1+x7．（2026·西藏日喀则·模拟预测）若曲线y=x−alog21−2x关于直线A．−2 B．2 C．0 D．1【答案】C【分析】先求出函数