第11讲函数的对称性与图象变换（知识清单+5典例精讲+4方法技巧+分层训练）（解析版）

第11讲函数的对称性与图象变换（知识清单+5典例精讲+4方法技巧+分层训练）近3年考查情况题型分值对称性质判定、对称与周期综合、图像翻折/平移变换单选、多选5分/6分基础平移变换、对称求值、简单对称性质应用单选、填空5分单一图像变换、基础对称性判断，难度偏低单选、填空5分对称性推导周期、结合零点/单调性综合考查单选、填空、解答5分/6-10分【知识点01】奇函数、偶函数的对称性(1)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x),则函数的图象关于直线x＝a对称；(2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x),则函数的图象关于点(a,0)对称.(3)若f(x＋a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；若f(x＋a)是奇函数,则函数f(x)图象的对称中心为(a,0).【例1】已知f(x)=x3+2x解析：①验证对称：任取(x,y)是f(x)图象上一点，则y=x3+2x，对应点(−x,−y)②求f(−2)：由奇函数性质f(−2)=−f(2)=−(2【知识点02】两个函数图象的对称(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称.【例2】判断函数y=2x与y=2−x的对称关系，并写出解析：①对称关系：由结论1，y=2x与y=2−x=f(−x)②求对称函数：由结论3，a=1，对称函数解析式为y=f(2×1−x)=f(2−x)=2【知识点03】利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换①y＝f(x)y＝－f(x).②y＝f(x)y＝f(－x).③y＝f(x)y＝－f(－x).④y＝ax(a>0,且a≠1)y＝logax(a>0,且a≠1).(3)翻折变换①y＝f(x)y＝|f(x)|.②y＝f(x)y＝f(|x|).【例3】已知y=f(x)=x2，作出下列函数的图象（写出变换过程）：（1）y=(x−2)解析：（1）y=(x−2)2+1=f(x−2)+1，变换过程：将y=x2的图象“右移2个单位”（2）y=−x2=−f(x)，变换过程：将y=x2【题型一】判断或证明函数的对称性【例1】（2026·江苏苏州·模拟预测）函数与的图象（

）A．关于轴对称 B．关于轴对称C．关于原点对称 D．关于直线对称【答案】C【分析】通过对称性的概念可判断BC.通过特殊点判断AD.【详解】令，，对于A，，，显然，A错误，对于B，，B错误，对于C，，即两函数图象关于原点对称，C正确，对于D，，当时，得点，点关于直线对称点为，当时，，故D错误.【例2】（多选）（2026·河北衡水·一模）已知函数的定义域为，且对任意实数，，恒成立，则（

）A． B．的最小值为C． D．的图象关于点对称【答案】ABD【详解】令，得，以替代，得，消去，得.再令，得，即，所以，即，则，，A正确，C错误.而，当时，取得最小值，且最小值为，B正确.因为，所以的图象关于点对称，D正确.【例3】（2025·重庆·二模）函数的值域为________．【答案】【分析】设，分析可知函数为偶函数，可知函数的值域与的值域相同，进而分析的周期和对称性，取，利用辅助角公式结合正弦函数有界性分析求解.【详解】设，可知函数的定义域为，因为，可知函数为偶函数，当时，，可知函数的值域与的值域相同，因为，可知的一个周期为，又因为，可知关于直线对称，且，可知关于直线对称，则可取，则，可得，因为，则，可得，即，可知的值域为，所以的值域为.故答案为：.【变式1】（2026·湖南衡阳·模拟预测）函数与的图象（

）A．关于y轴对称 B．关于直线对称C．关于直线对称 D．关于直线对称【答案】B【分析】对指数函数化简变形，利用函数对称的代数判定规则直接求解对称轴.【详解】将函数进行指数变形，得，设，代入，可得，因此，第二个函数即为.由函数图象对称性质，与的图象关于直线对称，此处，即，可得两函数图象关于直线对称.【变式2】（2024·山东·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为_________________.【答案】【分析】要先证明函数的中心对称性，即，这样原不等式就可以化为，再用求导来证明单调递增，从而就可以解出结果.【详解】由已知得：，所以，即则不等式等价于，再由，可得在上单调递增，所以，解得，故答案为：.【变式3】（2024·福建·模拟预测）已知函数，则曲线的对称中心为___________．【答案】【分析】根据给定条件，利用对称中心的定义计算判断即得.【详解】曲线的对称中心为，则，即，整理得，依题意，与无关，则，解得，此时，所以曲线的对称中心为.故答案为：【题型二】函数对称性的应用【例4】（2026·湖南长沙·模拟预测）若函数的定义域为，则“函数的图象关于点中心对称”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由已知条件，看“的图象关于点中心对称”与“”是否可以互相推导，进而判断前者是后者的什么条件.【详解】若定义域为函数的图象关于点中心对称，则，当时，，则，但不能推出函数的图象关于点中心对称，所以“的图象关于点中心对称”是“”的充分不必要条件.【例5】（多选）（2026·广东茂名·二模）已知是定义在上的函数，且，，则（

）A． B．是奇函数C．的图象关于直线对称 D．是的周期【答案】ACD【详解】在中,令，可得，所以，故A正确；由，可得的图象关于直线对称，故C正确；在中，令，可得，又由选项A知，故，若是定义在上的奇函数，则与矛盾，故不是奇函数，故B错误；由，可得的图象关于点对称，又因为的图象关于直线对称，故，故D正确．【例6】（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，且，则______．【答案】【分析】先根据奇偶性和对称性得到是周期为4的周期函数，然后计算出一个周期内函数值的和即，结合周期性可求原式的值.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以,所以,则,故是周期为4的周期函数.又当时，所以解得故当时，.因为所以【变式1】（2026·河南周口·三模）已知函数的定义域为，f3+x+f−1−x=0，且在上单调递增，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先由f3+x+f−1−x=0可得函数关于点中心对称，再根据在上单调递增，结合对称性可得在上也单调递增，最后转化在一个单调区间上利用单调性比较大小即可.【详解】解：由f3+x+f−1−x令，则，所以ft+2=−f−t因此函数关于点中心对称，因为在上单调递增，结合又关于点对称，所以在上也单调递增.由ft+2=−f−t，则令，所以，即−f因为−ln6<−1<−2−e所以，即.【变式2】（2026·河北保定·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且为偶函数，当时，则_______.【答案】/0.25【详解】因为的图象关于对称，所以，将替换为，可得，因为是偶函数，所以，将替换为，可得，联立可得，将替换成，可得，即是周期为的周期函数，因此，因为，所以，当时，，所以，即.【变式3】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知函数，且函数与的图象关于直线对称.(1)求函数的解析式；(2)若成立，求实数的取值范围；(3)若且，求的取值范围.【答案】(1)(2)(3).【分析】（1）设为图象上任意一点，则点关于对称的点为，据此可得答案；（2）由（1）可得，然后由对数函数单调性可得答案；（3）由，可得，，然后由双勾函数性质结合对数函数单调性可得答案.【详解】（1）设为图象上任意一点，该点关于对称的点为，因此在的图象上，因此，即，因此函数.（2）由，得，即，函数在上单调递增，，解得或.故实数的取值范围为.（3）由，得，即，得，，而，，即，根据对勾函数的单调性可得在为减函数，的值域为，的取值范围为，故的取值范围为，即.【题型三】函数图像的识别【例7】（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.【详解】，又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，又，故可排除D.故选：B.【例8】（2026·山东枣庄·三模）函数的部分图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据奇偶性排除A；根据正负性排除CD.【详解】定义域为，，则是偶函数，排除A选项；当时，，则，当时，，则；当时，，则，排除CD选项【例9】（多选）（2025·山西临汾·二模）函数的图象可以是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】对，，三种情况讨论判断即可.【详解】当是，，故A符合；当时，在上单调递减，且，故B符合；当时，由为上的单调递增函数，令，则，即，因为，可得，所以在上的单调递增函数，所以，所以有唯一解，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故D正确.故选：ABD.【变式1】（2026·湖南长沙·一模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π,π]的大致图象，则该函数是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设图象对应函数为，由图可得奇偶性，结合可判断选项正误.【详解】设图象对应函数为，由图可得为奇函数，注意到为偶函数，为奇函数.则为偶函数，不满足题设，故BC错误；又由图可得，，则D不满足题意，故选A【变式2】（2026·四川自贡·三模）函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】将与代入求解即可.【详解】当时，，，故选A.【变式3】（多选）（2025·湖北武汉·模拟预测）函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】求导，分四种情况讨论求解即可.【详解】，当时，若，得，即函数在上单调递减，若，得，即函数在上单调递增，此时函数有最小值为，且，故B符合题意，A不符合题意；当时，若，得，即函数在上单调递减，若，得，即函数在上单调递增，此时函数有最小值为，故C符合题意；当时，若，得，即函数在上单调递减，若，得，即函数在上单调递增，此时函数有最小值为，且，故D符合题意；当时，恒成立，则函数在上单调递增.故选：BCD【题型四】函数图象的应用【例10】（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据零点的定义转化问题为函数与函数的交点问题，再结合图象判断大小即可.【详解】由，得2x=1x−1，则函数与的图象的交点横坐标就是；由，得lgx=1x−1，则函数与的图象的交点横坐标就是；由，得log2x=1x−1，则函数与的图象的交点横坐标就是．作出函数图象如图，可知．【例11】（多选）（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．6个零点之和是6【答案】BD【分析】根据题意，利用函数的图象变换，得到函数的图象关于直线对称，令，得到关于的方程，结合二次函数的图象与性质，即可求解.【详解】由函数的图象，经过轴翻折变换，可得函数的图象，再向右平移1个单位，可得的图象，最终经过轴翻折变换，可得的图象，如图所示，则函数的图象关于直线对称，令，因为函数最小的零点为，且，故当时，方程有4个零点，所以要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则或，由，可得或，设的四个根从小到大依次为，由函数的图象关于直线对称，可得，所以的所有零点之和是6，故D正确；关于的方程的两个实数根为和，由韦达定理，得，所以B正确，A，C错误.故选：BD.【例12】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）设函数，若函数图像关于直线对称，求曲线的长度为__________．【答案】【分析】首先根据对称的性质求出的值，然后将的解析式表示出来，进而可求出曲线的长度.【详解】∵函数图像关于直线对称，∴，即，所以，所以，那么，画出图象如图所示，所以曲线段的长度为．故答案为：.【变式1】（2025·四川成都·一模）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数为奇函数可得函数的图象，进而由数形结合可得不等式的解集.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以函数图象关于原点对称，故得函数的图象如下：且.由图象可知，要使，当时，，得；当时，，得；当，不等式不成立；综上，不等式的解集为.故选：A.【变式2】（2025·山东德州·三模）已知曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则______．【答案】【分析】根据题意结合对称性可设，结合导数的几何义求得，即可得结果．【详解】因为和互为反函数，其图象关于直线对称，且反比例函数的图象也关于直线对称，可知点关于直线对称，设，则，设，则，由题意可得：，解得或(舍去)，可得，代入可得，所以．故答案为：．【变式3】（2024·河北石家庄·三模）给定函数，用表示中的较大者，记．若函数的图象与有3个不同的交点，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】在同一坐标系下画出的图象，求出交点坐标；结合图象再做出满足条件的直线，进而求出的取值范围即可.【详解】由，，因为，所以图象变为：其中，当且仅当时取最大值；且设两函数在第一象限的交点为，即当，，解得：，由题意与函数的图象有3个不同的交点，由数形结合易知：，或，故答案为：.【题型五】函数图象的变换【例13】（2026·湖北随州·三模）已知，函数的最大值为0，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】结合函数图像分析，从而得到当与相切时，取得最小值，进而构造函数，求导，分析函数的单调性，从而求出最值，进而得到的最小值．【详解】依题意可得函数的定义域为，由函数的最大值为0，即在上恒成立，即的图象在的下方，结合图象可得，当函数的图象过原点，且与相切时，取得最小值，根据对称性，不妨只考虑的情况，即当与相切时，取得最小值，即在上恒成立，令，即时，取得最小值，则，令，则，又时，，即在上单调递增；时，，即在上单调递减，所以，解得．故选：A【例14】（2026·陕西安康·三模）已知函数为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，若的图象是一条连续的曲线，则（

）A．在上单调递增 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递减【答案】B【分析】先根据奇函数的对称性求得函数的单调区间，再结合函数图象平移求解即可.【详解】因为为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，的图象是一条连续的曲线，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，因为的图象是由的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．【例15】（2023·全国·模拟预测）将函数的图象向右平移一个单位后，再向上平移三个单位，所得函数图象与曲线关于直线对称，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据对称变换和平移变换得到，再代入求值即可.【详解】关于直线对称的函数为，将向下平移三个单位得到，将向左平移一个单位得到，即，故.故选：D【变式1】（2026·河北邢台·一模）函数图象的对称中心的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用分离常数项化简函数解析式，根据函数图像变换，结合奇函数的对称性，可得答案.【详解】，易知函数的图像可由函数向左平移个单位，再向下平移个单位得到，由奇函数的图像关于成中心对称，则函数的图像关于成中心对称.故选：D.【变式2】（2024·四川南充·二模）已知函数，则函数的图象（

）A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称【答案】A【分析】先求的对称中心，结合图象变换可得答案.【详解】因为，所以，即的图象关于原点对称，函数的图象可由的图象，先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，所以函数的图象关于点对称.故选：A.【变式3】（2024·湖北黄冈·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线，曲线与函数的图象关于直线对称，则__________．【答案】【分析】根据函数平移变换可得曲线方程；设上一点，将其关于直线对称的点代入方程即可求得.【详解】图象向左平移个单位得到曲线：，设上一点，则点关于直线对称的点为，将点代入曲线方程可得：，即.故答案为：.【解题大招01】奇偶性+对称性快速求值利用奇偶性的对称性质（偶函数关于y轴对称、奇函数关于原点对称），跳过复杂计算，直接转化函数值，快速求解。【例1】已知f(x)=x5+3x3+2x是奇函数，且f(1)=6解析：①求f(−1)：由奇函数性质f(−x)=−f(x)，得f(−1)=−f(1)=−6；②求f(0)：奇函数x=0有定义，故f(0)=0（关于原点对称，图象过原点）。【解题大招02】两个函数对称，快速求解析式记准3类高频对称结论，直接代入公式，无需画图，快速推导对称函数解析式。关于y轴对称：y=f(x)↔y=f(−x)；关于原点对称：y=f(x)↔y=−f(−x)；关于x=a轴对称：y=f(x)↔y=f(2a−x)。【例2】已知f(x)=log2⁡(x+1)，求：（1）与f(x)关于y轴对称的函数解析式；（2）与f(x)解析：①关于y对称：代入结论，解析式为y=f(−x)=log②关于x=2对称：a=2，代入结论，解析式为y=f(2×2−x)=f(4−x)=log【解题大招03】图象变换“一步到位”法遵循“先平移、后翻折”的顺序，避免变换顺序错误，结合公式快速写出变换后的解析式。关键规律：1.平移+翻折：左移ℎ→f(x+ℎ)，右移ℎ→f(x−ℎ)；关于x轴对称→−f(x)；2.易错提醒：先翻折再平移，平移方向易反向（如先关于y轴对称再左移，需注意x的符号）。【例3】已知f(x)=x解析：第一步（右移3个单位）：y=f(x−3)=(x−3)第二步（关于x轴对称翻折）：y=−(x−3)【解题大招04】对称性+周期性快速推导利用对称性质推导周期，熟记2个高频结论，快速转化函数值，简化计算。核心结论：1.函数关于x=a和x=b（a≠b）对称，则周期T=2|a−b|；2.函数关于x=a和点(b,0)对称，则周期T=4|a−b|。【例4】已知f(x)的图象关于直线x=1和x=3对称，且f(2)=5，求f(8)的值。解析：由结论1，周期T=2|3−1|=4，故f(8)=f(8−2×4)=f(0)；又f(x)关于x=1对称，f(0)=f(2)=5，因此f(8)=5。【基础过关】（共8题）一、单选题1．（2026·陕西榆林·模拟预测）函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由函数的解析式可知该函数的定义域为全体非零实数，因为，所以该函数是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除选项AC；当时，，所以排除选项D，所以选项B中的图象有可能是该函数的图象.2．（2025·安徽·模拟预测）“函数的图象关于直线对称”是“函数为偶函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】根据对称和偶函数定义判断.【详解】若函数的图象关于直线对称，则，令，则，所以，是偶函数，所以函数是偶函数，所以“函数的图象关于直线对称”是“函数是偶函数”的充分条件；若函数是偶函数，令，则是偶函数，所以，又，所以，即，所以的图象关于直线对称，所以“函数的图象关于直线对称”是“函数是偶函数”的必要条件.综上可知，“函数的图象关于直线对称”是“函数是偶函数”的充要条件，故选：C.3．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数定义域为，下列是无最小值的充分条件的是（

）A．为偶函数且图象关于直线对称 B．为偶函数且图象关于点对称C．为奇函数且图象关于直线对称 D．为奇函数且图象关于点对称【答案】D【分析】根据对称性可判断函数的周期，故可判断ABC的正误，根据对称性可得，据此可判断D的正误.【详解】对于A，因为为偶函数，故，而的图象关于直线对称，故，故，故为周期函数且周期为4，而在必有最小值，故必有最小值，故A错误.对于B，而的图象关于点对称，故，故，因为为偶函数，故，故，，故为周期函数且周期为8，而在必有最小值，故必有最小值，故B错误.对于C，因为为奇函数，故，而的图象关于直线对称，故，故，所以故为周期函数且周期为8，而在必有最小值，故必有最小值，故C错误.对于D，因为为奇函数，故，而的图像关于点对称，故，故，设，则，当时，，故无最小值，故D正确.二、多选题4．（2025·江西新余·模拟预测）下列函数中，的图象可以由的图象仅通过一次轴对称变换得到的有：（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】ABD【分析】由两直线相交可判断A；由，可判断B；是一条完整的抛物线，是半只抛物线，可判断C；求得的反函数判断D.【详解】对于A：因两直线斜率不等，故两条直线相交构成轴对称图形，故A正确；对于B：因为，所以两函数的图象关于直线对称，故B正确；对于C：因为是一条完整的抛物线，是半只抛物线，所以与不关于直线对称，故C错误；对于D：由，可得，所以，所以，所以，所以与互为反函数，图象关于对称，故D正确．故选：ABD.5．（2025·云南·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则的值可能为（）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据正切型函数的对称性逐一判断即可.【详解】因为函数的图象关于点对称，所以，则.A：令，符合题意；B：令，不符合题意；C：令，符合题意；D：令，不符合题意，故选：AC三、填空题6．（2026·山东·二模）已知函数的图象关于点对称，则_______________．【答案】2【详解】，关于点对称，由题意可知函数关于点对称，所以解得.7．（2025·海南·模拟预测）已知为奇函数，若与的图象有10个交点，设交点的横坐标从小到大依次为，则______________.【答案】30【分析】根据奇函数的定义以及图像平移可知与的图像的交点关于点对称，结合对称性即可得结果.【详解】因为为奇函数，所以的图象关于原点对称，又的图象可由的图象向右平移3个单位长度得到，所以的图象关于点对称.又的图象也关于点对称，所以与的图象的交点关于点对称，所以，故.故答案为：30.四、解答题8．（2024·陕西西安·二模）设函数.(1)在坐标系中画出函数的图象；(2)若对任意恒成立，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【分析】（1）根据题意求出的分段函数解析式，作出图像，从而可求解.（2）由（1）中图像可知，即任意对从而可求解.【详解】（1）由题意得，作出图象，如图所示，

（2）由（1）知，所以对任意恒成立，即，解得或，所以的取值范围为.【拔高选练】（共6题）一、单选题1．（2026·吉林·二模）已知函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，若，，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函数的对称性得到恒成立，通过平方化简即可求解.【详解】由关于直线对称，且在上单调递减，因为，恒成立，所以，两边平方展开化简：即，整理得，因为对任意不等式恒成立，故，即，故的取值范围是.2．（2026·云南曲靖·二模）已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函数的对称性及单调性的定义确定区间单调性，再由单调性判断函数值的大小.【详解】由得函数的图象关于对称，根据已知及单调性的定义，知在上为减函数，所以在上为增函数，，且，∴f(2)<f(4)<f(−3)．二、多选题3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据的定义域，可排除；求导讨论不同值对应的函数的单调性，判断选项.【详解】的定义域为，所以选项错误；，当时，在恒成立，所以单调递增，且当时，，，所以，所以图象可能是选项当时，，此时图象可能是选项；当时，因为与都是增函数，所以也是增函数，令，则，设方程的根为，即，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，若，显然，则，所以图象可能是选项；故选：.三、填空题4．（2025·湖南·三模）已知函数，，函数的图象与曲线交于点，与曲线交于点，，点在第一象限，且，四点顺次呈逆时针排列，则直线的斜率与直线的斜率的乘积为______.【答案】1【分析】由题意点与点关于直线对称，得，同理，代入直线的斜率公式化简即可求解.【详解】设，则，由点与点关于直线对称，所以，同理，所以，因为，所以故答案为：1.5．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为________．【答案】4【分析】由题可知的周期为，方程的解即为与的交点横坐标，画出与的图象，数形结合即可判断.【详解】由函数满足，则，所以的周期为，由，，可得函数的图象如下：

方程的解，即为的交点横坐标，当时，，此时与无交点，当时，，此时与无交点，由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为.故答案为：四、解答题6．（2025·河北唐山·模拟预测）已知函数．(1)若函数的图象关于点对称，求的值；(2)若是的极大值点，求的值；(3)设是的极值点，且满足，求的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由题可得是奇函数，利用奇函数的定义即可求解；（2）根据题意可得，解得或2，代入原函数结合函数单调性检验即可；（3）由是的极值点，得，代入化简得：，解不等式即可求解.【详解】（1）由曲线的图象关于点对称，得是奇函数，因为，所以，解得.（2）．因为是的极大值点，所以，解得或2.当时，，所以当时，单调递减，当时，单调递增，因此是的极小值点（舍去）；当时，，所以时，单调递增，当时，单调递减，因此是的极大值点．综上，可得.（3），因为是的极值点，所以，因为，代入上式化简可得：由可得，解得.【错题复盘】（共5题）一、单选题1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（

）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】利用导数求出曲线在点处的切线的斜率，再利用对称性求得答案.【详解】由函数的定义域为，，得函数的图象关于直线对称，因此曲线在点处的切线与曲线在点处切线关于直线对称，其斜率互为相反数，当时，，求导得，则，所以曲线在点处的切线的斜率为.2．（2026·浙江宁波·三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据零点特征排除A、C；结合导数和图象特点判断B；的图象特征判断D；【详解】图像中函数与轴有两个交点（即两个零点），选项A，只有1个零点，选项C，没有零点，因此排除A、C.图像中时，函数值趋近于0，选项D，当时，，不符合趋势，排除D.选项B：，零点为（两个零点，一负一正，符合图像）；时，，，且时，，符合图像左半部分趋势；时，，，时，符合；时，，求导得，可得时函数先增后减，且时，指数函数增长快于多项式，，完全符合图像特征.二、多选题3．（2026·四川成都·三模）已知函数，则（

）A．当时，函数有最大值B．若函数图象的对称中心为，则C．函数在上一定存在减区间D．函数可能有2个零点【答案】BC【分析】对于A，求导根据函数的单调性判断即可；对于B，二阶导数求对称中心横坐标或利用对称中心定义判断即可；对于C，求导，结合判别式大于零解出减区间即可判断；对于D，因式分解，结合判别式大于零进行判断即可.【详解】对于A，当时，，当时，在上单调递增，当无限趋于正无穷大时，也