第13讲指数函数与对数函数（知识清单+7典例精讲+6方法技巧+分层训练）（解析版）2027届高考数学一轮精准复习

第13讲指数函数与对数函数（知识清单+7典例精讲+6方法技巧+分层训练）近3年考查情况题型分值指数对数大小比较、对数运算性质loga⁡MN=单选、填空题5分对数函数单调性、对数不等式求解log单选、多选题5分/6分复合指数函数y=2填空题5分指对幂综合比大小：a=单选题5分对数换底公式loga单选、解答题5分/10分指数型偶函数判定f(x)=单选题5分复合对数函数y=log单选题5分指数不等式求解2x+1单选题5分【知识点01】根式(1)一般地,如果xn＝a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.(2)式子na叫做根式,这里n叫做根指数,a(3)(na)n＝a当n为奇数时,nan当n为偶数时,nan＝|【例1】化简下列根式：（1）(3−5)解析：（1）由(na)（2）偶次根式需绝对值：4(−2【知识点02】分数指数幂正数的正分数指数幂：amn＝nam(a>0,m,n正数的负分数指数幂：a−mn＝1amn＝1na0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.【例2】将下列根式化为分数指数幂：（1）5a3解析：（1）5a（2）1a【知识点03】指数幂的运算性质aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0,b>0,r,s∈R).【例3】化简a解析：原式=【知识点04】对数的概念一般地,如果ax＝N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x＝logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.以10为底的对数叫做常用对数,记作lgN.

以e为底的对数叫做自然对数,记作lnN.

【例4】将指数式化为对数式：（1）34=81解析：（1）log3（2）log2【知识点05】对数的性质与运算性质(1)对数的性质：loga1＝0,logaa＝1,alogaN＝N(a>0,且(2)对数的运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN③logaMn＝nlogaM(n∈R).(3)对数换底公式：logab＝logcblogca(a>0,且a≠1；【例5】计算log解析：原式=【知识点06】指数函数及其性质(1)概念：一般地,函数y＝ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0,＋∞)性质过定点(0,1),即x＝0时,y＝1当x>0时,y>1；当x<0时,0<y<1当x<0时,y>1；当x>0时,0<y<1增函数减函数【例6】比较大小：1.80.5与解析：函数y=1.8x中a=1.8>1，在因0.5>0.3，故1.80.5【知识点07】对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域(0,＋∞)值域R性质过定点(1,0),即x＝1时,y＝0当x>1时,y>0；当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0；当0<x<1时,y>0增函数减函数【例7】求y=log解析：定义域：真数大于0，x−2>0⇒x>2，即(2,+∞外层函数y=log2⁡u递增，内层u=x−2【知识点08】反函数指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称.【例8】已知指数函数y=3x过点解析：y=3x的反函数为由反函数对称性质，原函数过(2,9)，则反函数过(9,2)。【题型一】根式与指数幂化简求值【例1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合，，若，则（

）A． B．2 C． D．1【答案】D【详解】因为，且，所以，即，所以.【变式1】（2026·陕西榆林·三模）已知实数且，，函数，若，则（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】根据函数的解析式形式，构造新函数，根据新函数的性质进行求解即可.【详解】令，则，所以，所以，所以，因为，所以.【变式2】（2026·山西临汾·二模）已知（，且），则______．【答案】/【详解】已知（，且），令，则，，解得，，；，．【变式3】（2026·陕西安康·三模）若，则___________．（用m，n表示）【答案】【分析】由条件结合指数幂的运算性质可得，结合关系可得结论.【详解】因为，所以，所以．【题型二】对数式化简与求值【例1】（2026·河南·模拟预测）（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】根据两角和与差的正切公式，结合对数运算性质求解即可.【详解】，，所以．【变式1】（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】法1：由，得，所以，所以，所以，即，所以．法2：，所以．【变式2】（2026·山东泰安·模拟预测）已知，，则__________．【答案】1【详解】由可得，又，则.【变式3】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，则______．【答案】16【详解】由题意得，解得.，即，则，则，则，即，即，即，则，解得.【题型三】指数、对数函数定义域求解【例3】（2025·黑龙江·二模）已知命题；命题，则（

）A．和都是真命题 B．和都是真命题C．和都是真命题 D．和都是真命题【答案】D【分析】对于命题，对于命题，举出例子判断为假命题,进而根据选项判断正确选项.【详解】对于命题，当时，，所以为假命题；对于命题，因为成立，所以为假命题.故选：D.【变式1】（多选）（2024·广东·模拟预测）已知函数，则（

）A．当时，的定义域为RB．一定存在最小值C．的图象关于直线对称D．当时，的值域为R【答案】AC【分析】根据对数函数的性质及特殊值一一判断.【详解】对于A：若，则，则二次函数的图象恒在轴的上方，即恒成立，所以的定义域为R，故A正确；对于B：若，则的定义域为，值域为R，没有最小值，故B错误；对于C：由于函数为偶函数，其图象关于y轴对称，将该函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数的图象，此时对称轴为直线，故C正确；对于D：若，则，故的值域不是R，故D错误.故选：AC【变式2】（2026·贵州毕节·一模）函数的定义域为__________.【答案】【分析】根据对数的真数大于0即可得解.【详解】令，解得或，即，因此函数的定义域为.故答案为：.【变式3】（2025·湖北恩施·模拟预测）若函数定义域为，则a的取值范围是________.【答案】【分析】应用一元二次不等式恒为正分两种情况计算求解.【详解】对一切实数均成立，所以当时，显然成立；当时，，解得；故的取值范围为.故答案为：【题型四】指数函数、对数函数的值域【例4】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】应用函数对称性判断C，D，再根据时，排除A.【详解】由图可知函数图象关于原点对称，所以该函数为奇函数，中，，，不相等，所以C选项错误；中，，，不相等，所以D选项错误；对于，当时，，与图象不符，故排除A.故选：B【变式1】（多选）（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，设且，下列说法正确的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】对于A，由指数函数的值域是，可得，故A正确；对于B，由函数，可得，故B正确；对于C，由，两者不一定相等，故C错误；对于D，因为，所以在上单调递减，所以，故D正确．【变式2】（2025·贵州·二模）已知函数（）的图象经过点，．若，则______．【答案】5【分析】利用给定函数所过点建立方程组，结合已知等式求出.【详解】依题意，，整理得，则，而，因此，又，则，而，所以.故答案为：5【变式3】（2025·陕西西安·一模）已知函数，且函数的图象与的图象关于直线对称.(1)求的解析式；(2)证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，利用轴对称列式求出解析式.（2）由（1）的结论，按分段，结合对数函数性质及不等式性质推理得证.【详解】（1）函数，因函数的图象与的图象关于直线对称，则，故函数的解析式为.（2）由（1）知，，恒有，若，则，，而，因此；若，则，，，因此，综上，可得.【题型五】由指数函数、对数函数的单调性解不等式【例5】（2026·四川眉山·模拟预测）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，解得，所以，因为，所以.【变式1】（多选）（2025·湖北孝感·三模）已知函数在区间上单调递增，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】设，可得函数在上单调递减，根据复合函数的单调性即可得的范围即可判断AB，利用单调性即可判断CD.【详解】的定义域为．设，可得函数在上单调递减，在上单调递增，根据复合函数的单调性可得，故A正确，B错误；由，可得，又在上单调递减，则，故C正确，D错误．故选：AC．【变式2】（2025·福建宁德·三模）设函数，则满足的的取值范围是__________.【答案】【分析】先求得函数定义域，然后分与讨论，结合对数函数的单调性代入计算，即可得到结果.【详解】由可得，则，解得，所以定义域为，当时，，由可得，即，无解；当时，，由可得，即，即，解得，又，所以，即不等式的解集为.故答案为：【变式3】（2025·河北张家口·模拟预测）已知奇函数（）.(1)求a的值；(2)若对于任意的，不等式恒成立，求m的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据奇函数性质求得，然后利用奇函数定义判定即可得解.（2）结合（1）根据指数函数单调性判断是上的单调递增且奇函数，然后将题干恒成立问题转化为恒成立，分离常数令，则对恒成立，然后结合不等式的性质利用基本不等式求解最值即可.【详解】（1）由题意知的定义域为，又是奇函数，所以，解得，此时，故，所以是定义域为的奇函数，所以.（2）因为在定义域上单调递增，所以在上单调递增，又是上的奇函数，所以等价于，即，所以，即，因为恒成立，所以，故，令，因为，所以，所以对于一切恒成立，因为，当且仅当时取等号，所以，所以，当且仅当时取等号，即m的取值范围为.【题型六】比较指数幂、对数式的大小【例6】（2026·云南·模拟预测）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】，故【变式1】（2026·山东临沂·二模）已知实数x，y，z满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，．由，得，函数在上单调递增，单调递减，故方程有唯一解，且．由，代入得，故．令，该函数在上单调递增，因为，，所以．综上，．【变式2】（2024·河北衡水·模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用对数函数的单调性得到a，b的范围，利用指数函数的单调性得到c的范围比较.【详解】因为，所以易知，所以【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于，”为真命题，写出符合条件的的一个值：______．【答案】（答案不唯一）【分析】当时，，当时，可得可取任意负数，即可求解.【详解】对于，，当时，对于，，则可取任意负数，如；故答案为：.【题型七】反函数问题【例7】（2026·广东广州·二模）若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（

）A． B． C． D．9【答案】B【分析】根据两个函数图象关于直线对称，得出它们互为反函数，进一步求出反函数表达式，并作为的解析式，最后根据题意得到关于的方程，求解.【详解】因为两个函数图象关于直线对称，所以是的反函数，对整理得：，，交换可得反函数：，又因为，所以，化简可得：，即，两边取以3为底的对数，则.【变式1】（2025·辽宁鞍山·一模）函数的反函数是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求得原函数的值域，再用表示，写出反函数即可.【详解】因为，所以函数的值域为，由，所以，得，所以，所以函数的反函数为.故选：B.【变式2】（多选）（2024·湖南怀化·二模）已知函数的零点为的零点为，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用函数零点的意义，结合函数与互为反函数，确定的关系，再逐项分析判断得解.【详解】依题意，，，则分别是直线与函数，图象交点的横坐标，而函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称，又直线垂直于直线，则点与点关于直线对称，则，于是，，，BC正确，A错误；因为,所以，则，即，D错误.故选：BC

【变式3】（2025·陕西宝鸡·二模）已知分别是函数，的零点，则的值为________.【答案】【分析】根据与的对称关系可知，由此可求得结果.【详解】由题意知：，分别为、与直线交点的横坐标，与关于直线对称，关于直线对称，则由得：，，.故答案为：.【解题大招01】指数、对数式快速化简技巧技巧原理：所有根式、负指数、分数指数统一化为幂形式，对数优先统一底数，利用运算公式合并，杜绝分步出错。核心公式：a【例1】计算log解析：log【解题大招02】指对函数定义域秒杀技巧技巧口诀：对数真数必大于0，底数大于0且不为1，分母不为0，根式非负，多重限制联立求解。【例2】求f(x)=1log2解析：列约束条件：{定义域：(1,2)∪(2,+【解题大招03】复合函数单调性“同增异减”秒杀法技巧原理：设复合函数y=f(g(x))，内外层单调性相同则增，相反则减，必须优先求定义域。单层单调性：a>1，y=ax、y=loga【例3】求y=log12解析：①定义域：x②拆分：外层y=log1③同增异减：x∈(−∞,0)x∈(4,+∞)【解题大招04】指对幂数值大小比较解题套路：找中间量0、1分层，先分层再精细对比。1.指数：a>1底数大则值大；0<a<1底数大则值小；2.对数：loga【例4】比较a=3解析：a大小关系：b<c<a【解题大招05】指数、对数不等式通用解法核心规则：同底函数单调性脱壳，a>1不等号不变，0<a<1不等号反向，对数必须保留真数大于0。【例5】解不等式2解析：底数2>1，单调递增，直接脱壳：2x−1>x+3⇒x>4解集：(4,+【解题大招06】反函数性质秒杀技巧核心结论：y=ax与y=loga⁡x互为反函数，图象关于y=x【例6】已知y=2x过点解析：y=2x反函数为y=log【基础过关】（共8题）一、单选题1．（2026·甘肃兰州·模拟预测）记，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，,因,故..综上可得大小关系：.2．（2026·山西·二模）集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，其中，又，则．3．（2026·河北保定·三模）已知集合，，则的非空真子集的个数为（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】B【详解】由，所以，所以，所以的非空真子集有和共2个.二、多选题4．（2025·河北保定·二模）若函数，则（

）A．为减函数 B．C．的值域为 D．【答案】BC【分析】根据对数的运算性质化简函数的解析式，即可判断选项A，C；根据对数函数的性质解方程与对数不等式，即可判断选项B，D.【详解】因为，，所以为增函数，的值域为，故选项A错误，选项C正确；，故选项正确；，故选项错误.故选：BC.三、填空题5．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知，则__________．【答案】【详解】由，得，所以，所以．6．（2026·云南·模拟预测）已知，则_______．【答案】2【详解】因为，则四、解答题7．（2024·山东·模拟预测）计算：(1)；(2)【答案】(1)1(2)【分析】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果；（2）由根式与分数指数幂的互化，计算化简即可得出答案.【详解】（1）原式（2）由根式与分数指数幂互化运算可得，8．（2024·广东肇庆·一模）已知函数（其中，为常量，且，，）的图象经过点，．(1)求，的值(2)若关于的不等式在上有解，求的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）把两点坐标代入函数解析式，求，的值；（2）证明函数在上单调递增，有，可求的取值范围．【详解】（1）函数的图象经过点，，得，解得；（2）由（1）得，，因为函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以在上单调递增，所以在上的最大值为，因为关于的不等式在上有解，所以，解得，即的取值范围为【拔高选练】（共6题）一、单选题1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化简集合，即可根据交集的定义求解.【详解】由题意，得，所以.2．（2026·山东德州·模拟预测）在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数与训练数据量（单位：）的关系式为，其中为常数.当训练数据量为时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（

）（参考数据：）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题设条件，将代入关系式可求出的值，再利用对数的运算即可求解.【详解】当时，，即.当时，，即，则，即.因为，所以.令，则，所以，则.二、多选题3．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，则（

）A．是奇函数 B．C．在区间上单调递增 D．【答案】AC【详解】令，则或，故的定义域关于原点对称，选项A：的定义域为，，满足奇函数定义，A正确。选项B：，B错误。选项C：由于在单调递增，而为定义域内的单调递增函数，为由复合函数“同增异减”得在区间单调递增，由于为奇函数，因此在区间上单调递增，C正确。选项D：由于，不满足，D错误。三、填空题4．（2026·江苏·模拟预测）已知两点在函数的图象上，两点在函数的图象上，且平行于轴，和平行于轴.若线段的长度是线段长度的12倍，则线段长度为__________.【答案】【分析】设，利用，再列式因式分解即可求解．【详解】解：设，则，线段的长度为，线段的长度为，因为，所以：，又因为平行于轴，所以点与点的纵坐标相等，即，，故，，，即，，，，，解得，线段长度为．四、解答题5．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知函数．(1)若是偶函数，求实数的值；(2)解不等式．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出的定义域，再利用奇偶函数的性质，即可求解；（2）根据条件，利用对数的运算及对数函数的性质得，再结合函数的定义域，即可求解.【详解】（1）由，解得，所以的定义域为，又是偶函数，则的定义域关于原点对称，所以，即实数的值为.（2）由（1）知的定义域为，由，得到，，即，则，解得，所以不等式的解集为.6．（2025·四川·模拟预测）已知函数．(1)若函数有最大值为1，求的值；(2)对于，使得，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据对数函数的单调性得出有最小值，再结合二次函数的性质求解即可；（2）先求出，再分、、三种情况并结合求解即可.【详解】（1）因为在上单调递减，有最大值为1，所以有最小值，故且，解得；（2）由题意得，因，则，，则，而，使得，则，若，则，符合题意；若，则，则，解得；若，则，则，解得，综上，实数的取值范围为.【错题复盘】（共5题）一、单选题1．（2026·辽宁·三模）设，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设函数，求导可得，当时，，在上单调递增，所以，即，令，代入可得，即，设函数，求导可得，当时，，在上单调递增，所以，即，令，代入可得，即，所以的大小关系为.2．（2026·陕西渭南·三模）若，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】，，当，，则，，此时；当，，则，，此时；充分性不成立.由，得，即；，，由基本不等式得（当且仅当时等号成立）；；.必要性成立.综上，“”是“”的必