第14讲函数零点问题（知识清单+5典例精讲+7方法技巧+分层训练）（原卷版）2027届高考数学一轮精准复习

第14讲函数零点问题（知识清单+5典例精讲+7方法技巧+分层训练）近3年考查情况题型分值零点存在性判定、零点个数判断，利用f(a)⋅f(b)<0判断区间零点单选、填空题5分基础零点求解、零点与方程根的等价转化f(x)=0⇔方程根单选题5分数形结合判断零点个数，转化f(x)=g(x)交点问题填空题5分复合函数零点、零点存在区间判断，结合单调性判定唯一零点单选、多选题5分/6分二分法区间判定、零点近似区间缩选，中点公式x0单选题5分导数与零点综合，已知零点个数求参数范围，利用函数最值正负判定零点解答题5分/12分指对函数零点问题、零点大小比较，结合函数单调性分析零点分布单选题5分含参函数零点存在性问题，利用f(a)⋅f(b)<0求参数取值范围填空题5分多零点存在性证明、零点个数讨论，结合导数分析函数极值与零点关系解答题5分/12分【知识点01】函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x),我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点.(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y＝f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)＝0,这个c也就是方程f(x)＝0的解.【例1】求函数f(x)=x【知识点02】二分法对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.【例2】已知函数f(x)=x3−2x−1【题型一】求函数的零点【例1】（2025·河北邯郸·一模）已知函数的定义域为，，且，若，则的零点为（

）A． B． C．1 D．2【例2】（多选）（2025·广东广州·三模）函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数的图象的是（

）A． B． C． D．【例3】（2025·山东·模拟预测）函数的零点为________.【变式1】（2026·河南濮阳·一模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（

）A． B． C． D．【变式2】（多选）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（

）A． B． C． D．【变式3】（2025·全国·模拟预测）我们不妨定义：使函数值为0的自变量的值，称为该函数的零点.例如：函数的零点为1和.若函数的零点是和，则函数的零点是______.【题型二】求函数零点或方程根的个数【例4】（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（

）A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴【例5】（2026·山西晋中·模拟预测）定义域为的函数满足，当时，，则当时，函数的零点个数为（

）A． B． C． D．【例6】（2024·广东·一模）已知，函数.(1)求的单调区间.(2)讨论方程的根的个数.【变式1】（2024·河南·二模）已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，则函数的零点有__________个.【变式2】（2026·江苏徐州·模拟预测）设函数和的定义域为D，若存在非零实数，使得，则称函数和在D上具有性质.现有下列三组函数：①，；②，；③，．其中具有性质的是_______.（填序号）【变式3】（2025·安徽·一模）已知函数.(1)若，求在上的极大值；(2)若函数，讨论函数在上零点的个数.【题型三】函数零点存在性定理【例7】（2026·山东泰安·一模）函数的零点所在的大致区间为（

）A． B． C． D．【例8】（多选）（2025·甘肃兰州·一模）已知函数和，以下判断正确的是（

）A．函数在区间内有唯一的零点B．时，C．时，D．存在正实数a，当时，对于任意大于1的正实数N，【例9】（2025·湖南·模拟预测）已知，若在上有解，则的最小值是_____．【变式1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，若在有唯一的极值点且为极大值点，则a的取值范围为____________.【变式3】（2026·浙江·模拟预测）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)试判断曲线与直线在上公共点的个数；【题型四】函数零点的分布【例10】（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______．【例11】（2026·河南南阳·二模）已知函数，若在区间上恰有5个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【例12】（多选）已知函数为定义在上的单调函数，且10.若函数有3个零点，则的取值可能为（

）A．2 B． C．3 D．【变式1】（2026·河北沧州·一模）已知函数,若函数至少有7个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·山西临汾·二模）已知，函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______.【变式3】（2024·河南·模拟预测）设且，函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若函数在区间上有零点，求的取值范围.【题型五】用二分法求方程的近似解【例13】（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（

）A． B． C． D．【例14】（多选）（2024·广东东莞·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．方程的解在内B．函数的零点是C．函数有三个不同的零点D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上【例15】已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为__________．【变式1】用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（

）A． B． C． D．【变式2】（多选）（2024·江苏无锡·模拟预测）下列命题错误的是（

）A．当时，函数的图象是一条直线B．命题“，都有”的否定是“，使得”C．用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过次二分后精确度达到D．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，，，则1.375和1.4都是精确度为的近似零点【变式3】若函数有零点，但不能用二分法求其零点，则实数的值为______．【解题大招01】零点等价转化技巧将零点问题、方程根问题、图象交点问题三者互相转化，是解决所有零点题型的通用思路【例1】判断方程2x=x+2【解题大招02】零点存在性快速判定技巧连续函数区间端点函数值异号，则区间内必有零点；若函数单调，则零点唯一。核心公式f(x)在【例2】判断f(x)=x3+x−1【解题大招03】零点个数数形结合速判技巧复杂方程不求解，拆分两个初等函数，利用图象交点个数判定零点个数，规避复杂运算。转化思路f(x)=0⇒g(x)=ℎ(x)，交点个数即为零点个数【例3】求函数f(x)=ln【解题大招04】区间存在零点求参数技巧一次、二次函数在开区间存在零点，优先使用端点异号法列不等式求解参数范围。核心结论一次函数f(x)=kx+b在(m,n)存在零点⇒f(m)⋅f(n)<0【例4】已知f(x)=mx+2在(1,3)内存在零点，求m的取值范围【解题大招05】二分法区间快速锁定技巧区间中点，代入函数判断符号，依据异号缩小区间。核心公式x判定规则{【例5】已知f(x)在(2,3)有零点，f(2)<0,f(2.5)>0，锁定零点区间【解题大招06】复合函数零点分层换元技巧由外到内分层换元，先解外层方程，再回代求解内层方程，分层计数不重不漏。解题步骤令t=g(x)，先解f(t)=0，再解g(x)=t【例6】求f(x)=(x【解题大招07】零点有无最值判定技巧利用函数最值正负，快速判定区间内有无零点，规避繁琐讨论。核心结论1.f(x)2.f(x)【例7】判断f(x)=x【基础过关】（共8题）一、单选题1．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数，则方程根的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2026·山东青岛·三模）函数在的零点个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（

）A． B． C．1 D．2二、多选题4．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数，函数，下列选项正确的是（

）A．方程无实数解B．方程有且仅有两个解C．方程有且仅有三个解D．方程有且仅有四个解三、填空题5．（2025·全国·模拟预测）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是______.6．（2025·广东江门·一模）若多项式能被整除，则______.7．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数则的零点之和为_____________．四、解答题8．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数．(1)求函数的单调递增区间；(2)若函数有且仅有三个零点，求的取值范围．【拔高选练】（共6题）一、单选题1．（2025·江苏扬州·三模）当时，曲线与的交点个数为（

）A．3 B．4 C．6 D．82．（2026·江苏镇江·二模）已知函数有两个零点，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值可能为（

）A． B． C． D．4．（2025·四川眉山·模拟预测）已知函数函数，则下列结论正确的是（

）A．若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围是B．若关于的方程恰有2个不同的实数根，则的取值范围是C．若有5个零点，则的取值范围是D．可能有6个零点三、填空题5．（2022·广东汕头·一模）为检测出新冠肺炎的感染者，医学上可采用“二分检测法”、假设待检测的总人数是（）将个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测一次），如果检测结果为阴性，可确定这批人未感染；如果检测结果为阳性，可确定其中有感染者，则将这批人平均分为两组，每组人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次，如此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的那组人，而将每轮检测后结果为阳性的组在平均分成两组，做下一轮检测，直到检测出所有感染者（感染者必须通过检测来确定）.若待检测的总人数为8，采用“二分检测法”检测，经过4轮共7次检测后确定了所有感染者，则感染者人数最多为______人.若待检测的总人数为，且假设其中有不超过2名感染者，采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n的最大值为______.四、解答题6．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数.(1)若为上的单调函数，求k的取值范围；(2)若函数，求证：k可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点.【错题复盘】（共5题）一、单选题1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（

）A． B． C． D．2．（2026·四川绵阳·三模）将函数的零点从小到大排列构成数列，则的前8项和为（