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第六章定积分§6.1定积分的概念教学目的：1.了解定积分的实际背景2.理解定积分的定义3.了解定积分的近似计算4.掌握定积分的性质教学重点：1.定积分的性质及定积分中值定理教学难点：1.定积分的概念2.积分中值定理教学内容：一、引例：1、曲边梯形的面积在初等数学中，我们学习了一些简单的平面封闭图形(如三角形、圆等)的面积的计算.但实际问题中出现的图形常具有不规则的“曲边”，我们怎样来计算它们的面积呢？下面以曲边梯形为例来讨论这个问题.a=x0x1x2xi-1xixn-1xna=x0x1x2xi-1xixn-1xn=biOn12y=f(x)xy由于函数上的点的纵坐标不断变化，整个曲边梯形各处的高不相等，差异很大.为使高的变化较小，先将区间分成个小区间，即插入分点.在每个分点处作与轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成个小曲边梯形，其中第个小区间的长度为.由于连续，故当很小时，第个小曲边梯形各点的高变化很小.在区间上任取一点，则可认为第个小曲边梯形的平均高度为，因此,这个小曲边梯形的面积.用这样的方法求出每个小曲边梯形面积的近似值,再求和,即得整个大曲边梯形面积的近似值.可以看出：对区间所作的分划越细，上式右端的和式就越接近.记，则当时，误差也趋于零.因此，所求面积.(1)二、定积分定义定义设函数在区间上有定义，任意用分点将分成个小区间，用表示第个小区间的长度，在上任取一点，作乘积，.再作和.若当时，上式的极限存在，则称函数在区间上可积，并称此极限值为在上的定积分，记作.即.其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分区间，分别称为积分下限和上限.三、定积分的基本性质性质1．这个性质可推广到有限多个函数代数和的情形．性质2（为常数）．性质3．这性质表明定积分对于积分区间具有可加性．性质4若在区间上，，则．推论1若在区间上，，则．推论2．例１比较下列定积分和的大小.解令．故，即．故从而原不等式成立.注＜0,＞＞0.性质5(估值定理)设函数在区间上的最小值与最大值分别为与，则．例2估计定积分的值解，由此有，于是由估值定理有．例3估计定积分的值．解设,得又所以在［1,2］内的最大值为最小值为0，于是，

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