第五章 3 第二类换元积分法_第1页
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文档简介

第五章不定积分§5.2.2第二类换元积分法教学目的：1.掌握第二类换元积分法2.掌握三角函数换元的思想教学重点：1.掌握第二类换元积分法2.掌握三角函数换元的思想教学难点：1.掌握三角函数换元的思想教学内容：5.2.2第二类换元积分法定理5.2：设是单调的可导函数，且，则称为第二类换元积分公式.例：求.解：令，则，代入原积分，得例：求不定积分解：令，则，于是.练习：求下列不定积分：（1）________________.【】（2）____________________.【】利用三角函数代换，变根式积分为三角有理式积分。（思想：去根号）例解：令则是单调的、可导的函数，并且内不等于0，（取到整个值域，保证单调即一一对应，导数不为0，故不取等号。因不定积分有意义的地方就能求，以后不必细抠的范围）因，故故sin2t=2·所以原式注：1）、一般：若被积函数中含有，则令（因）令。或令，。2）、做三角函数代换时，最后变量还原即回代时可利用辅助三角形示意图，如图：显然，。例解：令，，则原式=由基本积分表得到，由，有三角形，原式等于。注：1）、若被积函数中含有，则令（因），令。2）、此结果可作为基本积分公式表的补充，可以直接用。3）、此题也可令。例，（因为定义域）解：①当时，令，则原式由，由三角形原式②当时，令，则,由①得原式所以原式注：1）、若含有，则当时令（因）令。当时，令代入时即可。2）、此结果可作为基本积分公式表的补充，可以直接用。三角代换的一般规律如下:当被积函数中含有a)可令b)可令c)可令常用凑微分公式以下介绍倒代换法，用此方法常可以消去被积函数分母中的变量因子。例24、求解：令，则，故当x>0时，①当x<0时，同理可得此结果② 综上，原式。]注：当分母中的最高次幂大于分子中的最高次幂时，用倒代换可望成功。例25、解例26、，解：令，则，原式。例27、解：，利用公式，则原式例28、解：，利用公式，则原式=。课堂练习：

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