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第四章导数的应用§4.4函数图形的描绘教学目的：1.了解罗尔定理2.了解拉格朗日中值定理3.掌握微分中值定理的应用教学重点：1.罗尔定理2.拉格朗日中值定理教学难点：微分中值定理的应用教学内容：4.4函数图像的描绘4.4.1曲线的凹凸性与拐点定义4.2：设函数在区间上连续，如果在区间上，曲线总位于其任意一点的切线上方，则称曲线在区间上是凹的；如果在区间上，曲线总位于其任意一点的切线下方，则称曲线在区间上是凸的.定理4.8（凹凸性判定定理）：设函数在上连续，且在内具有二阶导数.（1）若在内，则曲线在上是凹的.（2）若在内，则曲线在上是凸的.例1：判断曲线的凹凸性.解：函数的定义域为.，.在定义域内，恒有，故曲线是凸的.练习：判断曲线的凹凸性.【在内是凸的，在内是凹的】定义4.3：曲线上“凹”与“凸”的分界点称为曲线的拐点.确定曲线y=fx（1）确定函数y=f（2）求出函数的二阶导数f''x（3）求出f''x为零的点和f''（4）用上述f''x为零的点和f''x不存在的点将函数fx例2：求曲线y=x解：（1）函数的定义域为.（2），.（3）解方程，得.（4）列表分析如下：曲线在区间-∞,0和2,+∞内是凹的，在区间0,2内是凸的.点0,3和2,-13是曲线的拐点.练习：求曲线y=3x【-∞,1凹，1,+∞凸，1,2拐点】4.4.2曲线的渐近线：如果动点沿某一曲线无限远离原点时，动点到一条定直线的距离趋于0，称此直线为该曲线的一条渐近线.水平渐近线：若limx→∞fx=a（limx→+∞fx=a或limx→-∞f垂直渐近线：若limx→x0fx=∞（limx→x0-fx斜渐近线：（常数）（常数）则直线是斜渐近线例3:求曲线y=1x-1+2解：为水平渐近线;为铅直渐近线.例4：求曲线y=x解：所以有铅直渐近线及又为曲线的斜渐近线.[利用符号可判定在哪个区间上上升或下降及极值点，利用符号可以确定凹凸性及拐点，利用这些可以把握函数的性态，并把图形画得较确]练习：判断曲线y=2x-3【y=0为水平渐近线;x=3为垂直渐近线】4.4.3函数图形的描绘一般作函数的图形，可以按如下步骤进行：（1）确定函数的定义域.（2）求出函数的一阶导数和二阶导数.（3）求出、为零的点和不存在的点.（4）列表作图.例：作

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