1.3 反函数与基本初等函数_第1页
1.3 反函数与基本初等函数_第2页
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高等数学

第一章

函数

反函数

目录Contents反函数1反函数定义反函数与直接函数的关系求直接函数的反函数反三角函数2反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数反函数1知识引入华氏温度(℉)与摄氏温度(℃),是两大国际主流的计量温度的标准.假设用

表示摄氏温度,用

表示华氏温度,则

显然0℃=32℉.那么当温度为50℉，用摄氏温度表示应该是多少呢？

所以50℉为10℃.知识引入任取

存在唯一的

与

对应,是

的函数.自变量因变量因变量自变量

称新函数为原函数

的反函数

记为

为方便改写为

反函数定义设函数

的定义域是

，值域是

，如果对于任意一个

，都有唯一的

，使得成立，这时

也是

的函数，称它为

的反函数，记作

，而称

为直接函数.

习惯上常用

表示自变量,用

表示因变量,因此,经常把反函数

写成.

反函数与直接函数的关系直接函数与反函数的定义域、值域相互交换.1

直接函数与其反函数的图像关于直线

对称.2直接函数反函数定义域值域例1求函数

的反函数.解：由

解得交换

和

，得即

的反函数为

例2解：例3解：

求的反函数求反函数的步骤：1将

看成方程,解出2

将

互换得3写出反函数的定义域.解：思考是否所有函数都存在反函数?讨论

的反函数.函数

的定义域为

，值域

因为任取

有两个

值与之对应，所以

不是

的函数，即函数

在区间

上不存在反函数.

反三角函数2知识引入正弦函数在定义域内存在反函数吗？正弦函数

在整个定义域

上不存在反函数.反正弦函数正弦函数

在区间

上的反函数，称为反正弦函数，记作反正弦函数的图像及性质12在定义域范围内为增函数;34y=arcsinxy=sinxy=x例4求下列反正弦函数的值.

3124解：例5求函数

的定义域.解：反余弦函数余弦函数

在区间

上的反函数，称为反余弦函数，记作反余弦函数的图像及性质12在定义域范围内为减函数;34反正切函数正切函数

在区间

上的反函数，称为反正切函数，记作反正切函数的图像及性质12在定义域范围内为增函数;3反余切函数余切函数

在区间

上的反函数，称为反余切函数，记作反余切函数的图像及性质12在定义域范围内为减函数;3例6求下列反三角函数的值.

3124解：例6

设

求：解：（2）由故的定义

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