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文档简介

高等数学第四章

导数的应用

函数图像的描绘

目录Contents曲线的凹凸性与拐点1函数凹凸性的判断方法2曲线的渐近线3函数图形的描绘4曲线的凹凸性与拐点1情境引入：

某种液体从一圆锥形漏斗流入正方体容器中.开始时漏斗盛满液体，经过t秒漏完.已知正方体容器液面上升的速度是一个常量，H是圆锥中液面下落的距离，则判断H与下落时间t的函数关系.

从图形中看到，0A和AB两段曲线都是单调递增曲线，但是曲线弯曲方向不同，这是因为它们的增长速度不同，也是本节课要学习的曲线的凹凸性——数学上描述一个函数曲线的弯曲方向.凹凸性的概念定义4.2

定义4.3曲线上“凹”与“凸”的分界点称为曲线的拐点.函数凹凸性的判断方法2凹凸性的判断定理4.8

例1解：

例2解：

定义域为(,

).因为f

(x)=3x2-12x+9，f(x)=6x

-12

=6(x

-2

)，令

f(x)=0，可得x=2.当

x(,2)时，f(x)<0，当

x(2,+)时，f(x)>0，此区间是凹区间．此区间是凸区间．当

x=2时，f(x)=0，因f(x)在x=2的两侧变号，而f

(2)=3，所以

(2,3)是该曲线的拐点.曲线的渐近线3函数的渐近线如果动点沿某一曲线无限远离原点时，动点到一条定直线的距离趋于0，称此直线为该曲线的一条渐近线.水平渐近线

垂直渐近线

例3解：

为水平渐近线.为垂直渐近线.函数图形的描绘4函数图形的描绘（1）确定函数的定义域.（2）求出函数的一阶导数和二阶导数.（3）求出一阶导数和二阶导数为零的点和不存在的点.（4）列表作图.一般作函数

的图形，可以按如下步骤进行：例4解：作函数

的图形.

描绘图像如下：课

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