高等基础数学0.6 数列

高

等

数学五、

数列目录数列Contents1等差数列2等比数列3数列1数列定义

数列的性质：有序性、无穷性

数列通项公式

观察：以上数列有什么共同特点？从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。等差数列2等差数列定义定义0.18

如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数d，则此数列称为等差数列，d称为公差.

特别说明：公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0.判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d,如果不是，说明理由。（1）1，3，5，7，…（2）9，6，3，0，-3…（3）-8，-6，-4，-2，0，…（4）3，3，3，3，…（6）15，12，10，8，6，…是是是是不是不是a1=1,d=2a1=9,d=-3a1=-8,d=2a1=3,d=0思考：在数列（1），a100=？我们该如何求解呢？

等差数列的通项公式（推导一：迭代法）

等差数列的通项公式（推导二：累加法）如果一个等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么我们可以根据等差数列的概念得到：an-a1=(n-1)d+a4-a3=da2-a1=da3-a2=dan-1-an-2=dan-an-1=d…………等差数列的通项公式：an=a1

+(n-1)da1、d、n、an共有四个量，知三求一例

在等差数列中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d。解：由题意可知这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得即这个等差数列的首项是-２，公差是３.例

在等差数列{an}中，，求an

解：由题意可知解得：等差中项定义0.19

如果在a与b中间插入一个数A，使a,A,b成等差数列，则称A为a与b的等差中项.

（公式一）（公式二）等差数列前n项和公式1、两个公式的相同的是a1和n,不同的是:公式一中有an,公式二中有d.若a1，d,n,an中已知三个量就可以求出Sn。2、a1，d,n,

an，Sn五个量可“知三求二”。

观察：以上数列有什么共同特点？从第2项起，每一项与前一项的比都分别等于同一个不为零的常数.等比数列3等比数列定义定义0.20如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个不为零的常数q，则此数列称为等比数列，q称为公比.数学语言：或

由定义归纳通项公式1.不完全归纳法a2=a1qa3=a2q=a1q2a4=a3q=a1q3…an=a1qn-12.累积法（累乘法）a2/a1=qa3/a2=qa4/a3=q…an/an-1=q这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1所以an=a1qn-1其中，a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1，即等式也成立，说明上面公式当n∈N*时都成立，因此它就是等比数列｛an｝的通项公式。等比数列的通项公式当q=1时，这是一个常函数。

等比中项定义0.21

如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，则称G为a与b的等比中项.

例

求

与

的等比中项.解

等比数列前n项和公式例

写出等比数列1,-3,9，-27…的前n项和