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文档简介

高等数学

第三章

导数与微分

导数的概念（一）

目录Contents引例1导数的定义2单侧导数3导数的几何意义4可导性与连续性5引例1变速直线运动的瞬时速度设描述质点运动位置的函数为则t0到t的平均速度为当t→t0时，时间段[t0，t]收缩成一点t0，故在t0时刻的瞬时速度为曲线的切线斜率曲线C：y=f(x)在点M割线MN的斜率为当点N沿曲线C趋向于点M时，割线MN的极限位置就是曲线C在点M处的切线，即切线MT的斜率为瞬时速度切线斜率两个问题的共性:所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.导数的定义2导数的定义设函数y=f(x)在点x0及其附近有定义，当自变量x在点x0处取得增量Δx，相应地，因变量y取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称此极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数，记作定义或k0为常数.如果函数f(x)在点x0

处可导,则用导数表示下列极限例1解：例2解：用导数表示下列极限例3解：即求函数(C为常数)的导数.例4解：求函数的导数.即类似可证得则例5解：求函数f(x)=logax(a＞0且a≠1)的导数。即单侧导数3单侧导数定义由于导数为，则和分别称为函数在点处的左导数与右导数

。分别记为定理函数在点处可导的充分必要条件在点处的左导数与右导数都是存在且相等。

即

f(x)可导例6解：判断函数

,在点处是否可导(如右下图)。由于，所以例7解：f(x)在x=0处可导,f(x)=1+bx,x≤0e–x,x>0f(0)=1

f(x)在x=0处连续,f(0)=a.设a+bx,x≤0求a,b之值.e–x,x>0y=在x=0可导,课堂小结

导数的实质

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