8.1.2 偏导数的概念及计算

高等数学

第八章

多元函数微积分

偏导数的概念及计算

目录Contents导数的定义1偏导数的计算2定义几何意义偏导数与连续性3高阶偏导数导数的定义1定义偏导数：设函数

在点

的某一邻域内有定义，当

固定在

而

在

处有增量

时，相应地函数有关于

的偏增量，记为

，即

如果

存在，则称此极限值为函数

在点

处对

的偏导数，记作

，

，

或即

(1)类似地，函数

在点

处对

的偏导数定义为

(2)记作 ,

,

，

或 偏导函数：偏导函数

如果函数在开区域

内每一点

处对

的偏导数都存在，那么这个偏导数就是

的函数，它就称为函数

对自变量

的偏导数，记作

,

,

或 偏导函数的定义式：类似地，可以定义函数对自变量

的偏导数，记作

，

，

或偏导函数的定义式：注：偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数。例如三元函数

在点

处对

的偏导数定义为其中

是函数

的定义域的内点。它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题。几何意义

二元函数在点的偏导数有下述几何意义。设

为曲面上

的一点，过

作平面

，截此曲面得一曲线，此曲线在平面

上的方程为，则导数

,即偏导数

,就是这曲线在点

处的切线

对

轴的斜率（见图8-6）。同样，偏导数

的几何意义是曲面被平面

所截得的曲线在点

处的切线

对

轴的斜率。图8-6偏导数与连续性对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.

例如

在点

有

但函数在点

并不连续.

提示:

当点P(xy)沿x轴趋于点(00)时，有当点P(xy)沿直线y=kx趋于点(00)时，有因此

不存在，故函数

在

处不连续偏导数的计算2

由偏导数的概念可知，

在点

处对

的偏导数

，显然就是偏导函数

在点

处的函数值；

就是偏导函数

在点

处的函数值。就象一元函数的导函数一样，以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数。

至于实际求

的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量是看作固定的，所以仍就是一元函数的微分法问题。求

时，只要把

暂时看作常量而对

求导数；求

时，则只要把

暂时看作常量，而对

求导数。计算规则求

在点(1,2)处的偏导数。把y看作常量，得把x看作常量，得将(1,2)代入上面的结果，就得

，求

的偏导数例1例2解：解：设，求证：因为，.所以求的偏导数。例3例4解：证：例5已知理想气体的状态方程

(

为常量)，求证：

因为

,

；

，

；

，.所以

说明的问题:偏导数的记号是一个整体记号,不能看作分子分母之商.证：高阶偏导数3定义设函数

在区域

内具有偏导数

那么在

内

都是

的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数

的二偏导数.按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数。

其中,

称为混合偏导数

同样可得三阶、四阶、以及n阶偏导数

二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数

例6：解：设

，求

、

、

、

及

。

=

,=

；

=

，

=

；

=

,

=

；

=由例6观察到的问题这不是偶然的。事实上，我们有下述定理。

定理：

如果函数

的两个二阶混合偏导数

及

在区域

内连续，那么在该区域

内这两个二阶混合偏导数必相等。

换句话说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。这定理的证明从略。

对于二元以上的函数，我们也可以类似地定义高阶偏导数。而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关。

例7：证：验证函数

满足方程因为

所以

因此

例8：证：证明函数

满足方程其中证

由于函数关于自变量的对称性，所以,因此

提示例7例8中这两个方程都叫做拉普拉斯(Laplace)方程，它是数学物理方程中一种很重要的方程。练习1.求下列函数的偏导