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文档简介

高等数学

第九章

线性代数

§9.2矩阵及其运算

目录Contents矩阵的概念1矩阵相等2特殊矩阵3矩阵的运算4矩阵的概念1矩阵的概念其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．例

某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．

由

m×n

个数排成的

m

行

n

列的数表称为

m行

n列矩阵，简称

m×n矩阵．记作定义简记为其中称为矩阵A的第i行第j列的元素这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元.矩阵相等2同型矩阵与矩阵相等的概念

两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.例如为同型矩阵.

两个矩阵与为同型矩阵，并且对应元 素相等，即 则称矩阵A

与

B相等，记作A=B

.例1解：设求由矩阵相等概念可知解方程，得特殊矩阵3特殊矩阵行数与列数都等于

n的矩阵，称为n阶方阵．可记作.只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).

只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作O

.注意:不同型的零矩阵是不同的。6.形如的方阵称为上三角矩阵.记作

．形如的方阵称为对角阵．5.方阵称为单位阵．矩阵的运算4矩阵的加法定义：设有两个

m×n

矩阵

A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵

A与

B的和记作

A＋B，规定为说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.知识点比较矩阵加法的运算规律交换律2.结合律3.设矩阵

A=(aij)，记－A

=(－aij)，称为矩阵

A的负矩阵．显然例2解：设

，求数与矩阵相乘定义：数

l与矩阵

A

的乘积记作

lA

或

Al

，规定为知识点比较数乘矩阵的运算规律分配律2.结合律矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.备注：例3解：设

，根据,有满足,求故矩阵的乘法定义：设，，那么规定矩阵

A与矩阵

B的乘积是一个

m×n矩阵，其中并把此乘积记作C=AB．只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.备注：矩阵的乘法满足运算规律乘法结合律2.结合律数乘和乘法的结合律（其中

l

是数）3.乘法对加法的分配律4.单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即注意：矩阵乘法不满足交换律，即AB≠BA.矩阵，却有， 从而不能由得出或的结论．3.矩阵的乘法不满足消去律，即AC=BC不能得出A=B.矩阵的转置定义：把矩阵

A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作AT

.例转置矩阵满足运算规律1.2.3.4.例4解：已知解法

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