10.1 样本空间与随机事件

高等数学

第十章

概率

样本空间与随机事件

目录Contents随机事件的相关概念1随机事件的关系及其运算2必然现象与随机现象随机试验、随机事件随机事件的分类包含关系、等价关系和、积、差、互斥、对立事件随机事件的相关概念1必然现象与随机现象必然现象：在一定的条件下,必然会发生(或者必然不会发生)的现象,也叫作确定性现象.例如,往天空抛一个物体,达到一定高度必然会下落;在标准大气压下,把水加热到100℃,水必然会沸腾等。微积分就是研究客观世界中“必然现象”的数量规律及其存在形式的一个数学分支.随机现象：在一定的条件下,可能会发生,也可能不会发生的现象,也叫作偶然现象.例如,掷一枚硬币,可能出现正面,也可能出现反面;下周某天的天气预报,可能是晴、下雨、阴等,像这类现象我们称为随机现象.概率就是研究随机现象及其统计规律性的一个数学分支.随机试验：对某种现象或事物所进行的一次观察或测试,简称试验.随机试验的特点：试验可以重复进行.试验的结果不止一个.在试验前,不能确定究竟会出现哪一种结果.随机事件：对于随机试验下的某种结果称为随机事件，简称为事件.一般常用大写的英文字母A,B,C,D,...来表示.随机事件的分类：1.

样本点：在随机试验中,发生的每一种可能的试验结果.特别地,只含有一个样本点的事件称为基本事件.

例如,掷一枚均匀的骰子,每一面可能出现的点数1，2，3，4，5，6就是一个样本点,也是一个基本事件.2.必然事件：每次试验都会出现的事件.例如,出现的点数是1到6中的某一个.3.不可能事件：在随机试验中,不可能发生的事件,一般记作

.例如，出现7点的事件.样本空间:样本点的集合,记作

.

例1

解：样本空间为={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10}，A={1，3，5，7，9}，B={2，4，6，8，10},C={1，2，3，4，5，6}.随机事件的关系及其运算2随机事件之间有如下的关系：（1）包含关系(或称为子集)如果事件A发生,必然导致事件B发生,则称事件B包含事件A,记作

，如图所示.（2）等价关系﹐如果事件

，同时事件

，则称事件A与事件B是等价的,记作A=B.这些相互关系可以表示为下列数学关系.（1）和事件

若“事件A与B中,至少有一个事件发生”这一新事件必然发生,则称该新事件为A与B的和事件(或称为A与B的并),记作AUB(或A＋B)，如图所示.（2）积事件

若“事件A与B同时发生”这一新事件必然发生,则称该新事件为A与B的积事件(或称为A与B的交),记作A∩B(或AB)，如图所示.（3）差事件

若“事件A发生,而事件B不发生”这一新事件必然发生，则称该新事件为A与B的差事件,记作A－B(或

)，如图所示.（4）互斥事件

若事件A与B不能同时发生，则称事件A与B为互斥事件(也称为互不相容事件),记作A∩B=

(或AB=

)，如图所示.AB（5）对立事件

若两个互斥事件A与B中必有一个发生,即满足A∩B=

且AUB=

，则称事件A与B为对立事件,记为B－A，如图所示.AB16交换律:结合律:对偶律:分配律:事件的运算律：

例2用事件A、B、C分别表示某车间甲、乙、丙三台车床在同一时段正常工作.

试用事件的运算表示下列事件，并思考哪些事件为互斥事件.(1)三台车床都正常工作;(2)至少一台车床正常工作;(3)三台车床都出故障;(4)只有甲车床正常工作;(5）至少有两台车床正常工作;(6）乙车床正常工作,而甲车床与丙车床有且只有一台正常工作.解：显然，（2）和（3）互为逆事件.

例3随机抽检三件产品,设A表示“三件中至少有一件是次品”；B表示“三件中至少有两件是次品”；C表示“三件全是正品”.

问

各表示什么事件?解：练习1观察一次打靶试验中击中的环数,若击中1环记作{1},并设事件A={奇数环},事件B={小于9环},求练习2一位工人生产3个零件,设事件Ai={第i个零件是不合格品}(i=1，2，3).请用Ai(i=1,2,3)表示如下事件:（1）全是合格品;（2）全是不合格品;（3）恰好有一个零件是不合格品;（4）至少有一个零