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文档简介

高等数学

第八章

多元函数微积分

偏导数的概念及计算

目录Contents全微分的定义1可微分的条件2偏增量、偏微分、全增量可微与连续3全微分在近似计算中的应用必要条件充分条件全微分的定义1由一元函数微分学中增量与微分的关系得偏增量、偏微分全增量如果函数

在点

的某邻域内有定义，并设

为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差为函数在点P对应于增量的全增量，记为

，即二元函数的全微分定义

如果函数

在点

的全增量

（1）可表示为

，（2）其中

、

不依

赖于

、

而仅与

有关，

，则称函数

在点

可微分，而

称为函数

在点

的全微分，记作

，即

。如果函数在区域

内每一点处都可微分，那么称这函数在

内可微分。可微与连续：可微必连续但偏导数存在不一定连续当函数

在点

可微，则从而因此函数

在点

处连续

下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(2)偏导数连续(1)函数可微偏导数存在函数可微可微分的条件2如果函数在点可微分，则该函数在点的偏导数、必存在，且函数在点的全微分为．定理1：必要条件一元函数在某点的导数存在微分存在．多元函数的各偏导数存在全微分存在．？例如，但在(0,0)处不可微则一元函数在某点的导数存在微分存在．多元函数的各偏导数存在全微分存在．？说明：多元函数的各偏导数存在

不能保证：全微分存在例1：讨论

在点

处的偏导数存在性及可微性。解：由偏导数的定义，有

即

在

处的两个偏导数都存在。但是函数

在点

处不可微，这是由于从而如果选取点

沿直线

趋于点

，则

于是，

由全微分定义可知，函数

在点

处不可微。由此可见，偏导数存在是可微的必要条件，而不是充分条件。定理2：充分条件如果函数

的偏导数

、

在点

连续,则该函数在点

可微分。

以上关于二元函数全微分的定义及微分的必要条件和充分条件，可以完全类似的推广到三元和三元以上的多元函数。

通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。

叠加原理也适用于二元以上的函数的情形。例如，如果三元函数

可以微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和，即

多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导例2例3解：计算函数

所以

计算函数

的全微分．解因为

，

，

所以

．

计算函数

在点

处的全微分．因为

所以

解：例4解：计算函数

的全微分.

因为 所以

全微分在近似计算中的应用3由二元函数的全微分的定义及关于全微分存在的充分条件可知，

当

在点

的两个偏导数

和

连续且

都较小时，就有近似等式上式也可写成例5计算

的近似值。设取所以解：例6有一圆柱体，受压后发生变形，它的半径由20cm增大到20.05cm，高度由100cm减小到99cm。求此圆柱体体积变化的近似值。设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V，则有记r、h和V的增量依次为

、

、和

。应用公式有把

代入，得即此圆柱体在受压后体积约减少了

。解：练习1.求函数

当

时的全增量和全

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