2026年线性代数二次型主子式符号测试试题及真题

2026年线性代数二次型主子式符号测试试题及真题考试时长：120分钟满分：100分一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.设A为n阶实对称矩阵，二次型f(x)=x^TAx在正交变换下可化为标准形，则其标准形中正惯性指数的几何意义是（）A.A的秩B.A的非零特征值的个数C.A的正特征值的个数D.A的负特征值的个数2.若二次型f(x)=x^TAx的矩阵A的特征值为λ₁,λ₂,...,λₙ，则其正负惯性指数之和等于（）A.λ₁+λ₂+...+λₙB.λ₁λ₂λ₃...λₙC.|λ₁|+|λ₂|+...+|λₙ|D.A的秩3.设二次型f(x)=x^TAx的矩阵A为可逆矩阵，若存在向量x₁,x₂使得x₁^TAx₁>0且x₂^TAx₂<0，则f(x)（）A.是正定二次型B.是负定二次型C.是半正定二次型D.不确定是否定二次型4.若二次型f(x)=x^TAx的矩阵A满足A^T=-A，则称其为（）A.对称矩阵B.正定矩阵C.斜对称矩阵D.正交矩阵5.设A为n阶实对称矩阵，若对任意非零向量x都有x^TAx>0，则称A为（）A.半正定矩阵B.半负定矩阵C.正定矩阵D.非奇异矩阵6.二次型f(x)=x^TAx的矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是（）A.A的所有特征值均为正B.A的所有特征值均为负C.A的所有特征值均为零D.A的所有特征值均为非零7.设A为n阶实对称矩阵，若A的特征值λ₁,λ₂,...,λₙ满足λ₁>λ₂>...>λₙ，则称A为（）A.对角矩阵B.满秩矩阵C.惯性矩阵D.西矩阵8.若二次型f(x)=x^TAx的矩阵A的特征值均为正，则其主子式符号（）A.全部为正B.全部为负C.交替出现正负D.无法确定9.设A为n阶实对称矩阵，若A的顺序主子式全部为正，则A为（）A.半正定矩阵B.半负定矩阵C.正定矩阵D.非奇异矩阵10.若二次型f(x)=x^TAx的矩阵A为正定矩阵，则其二次型的标准形中正惯性指数（）A.等于nB.小于nC.大于nD.等于0二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若二次型f(x)=x^TAx的矩阵A为正定矩阵，则其二次型的标准形中正惯性指数______。2.设A为n阶实对称矩阵，若A的特征值λ₁,λ₂,...,λₙ满足λ₁>λ₂>...>λₙ，则称A为______。3.若二次型f(x)=x^TAx的矩阵A的特征值均为正，则其主子式符号______。4.设A为n阶实对称矩阵，若A的顺序主子式全部为正，则A为______。5.若二次型f(x)=x^TAx的矩阵A为正定矩阵，则其二次型的标准形中正惯性指数______。6.设A为n阶实对称矩阵，若A^T=-A，则称其为______。7.若二次型f(x)=x^TAx的矩阵A满足A^T=-A，则称其为______。8.设A为n阶实对称矩阵，若对任意非零向量x都有x^TAx>0，则称A为______。9.若二次型f(x)=x^TAx的矩阵A的特征值均为正，则其主子式符号______。10.设A为n阶实对称矩阵，若A的顺序主子式全部为正，则A为______。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若二次型f(x)=x^TAx的矩阵A为正定矩阵，则其二次型的标准形中正惯性指数等于n。（√）2.设A为n阶实对称矩阵，若A的特征值λ₁,λ₂,...,λₙ满足λ₁>λ₂>...>λₙ，则称A为惯性矩阵。（×）3.若二次型f(x)=x^TAx的矩阵A的特征值均为正，则其主子式符号全部为正。（√）4.设A为n阶实对称矩阵，若A的顺序主子式全部为正，则A为正定矩阵。（√）5.若二次型f(x)=x^TAx的矩阵A为正定矩阵，则其二次型的标准形中正惯性指数小于n。（×）6.设A为n阶实对称矩阵，若A^T=-A，则称其为斜对称矩阵。（√）7.若二次型f(x)=x^TAx的矩阵A满足A^T=-A，则称其为斜对称矩阵。（√）8.设A为n阶实对称矩阵，若对任意非零向量x都有x^TAx>0，则称A为正定矩阵。（√）9.若二次型f(x)=x^TAx的矩阵A的特征值均为正，则其主子式符号全部为正。（√）10.设A为n阶实对称矩阵，若A的顺序主子式全部为正，则A为正定矩阵。（√）四、简答题（总共4题，每题4分，总分16分）1.简述二次型正定性的定义及其判定条件。答：二次型f(x)=x^TAx为正定二次型，当且仅当对任意非零向量x，有x^TAx>0。判定条件包括：（1）A的特征值均为正；（2）A的顺序主子式全部为正；（3）A可以通过正交变换化为标准形，且标准形中正惯性指数为n。2.简述二次型负定性的定义及其判定条件。答：二次型f(x)=x^TAx为负定二次型，当且仅当对任意非零向量x，有x^TAx<0。判定条件包括：（1）A的特征值均为负；（2）A的顺序主子式交替出现正负；（3）A可以通过正交变换化为标准形，且标准形中负惯性指数为n。3.简述二次型半正定性的定义及其判定条件。答：二次型f(x)=x^TAx为半正定二次型，当且仅当对任意非零向量x，有x^TAx≥0。判定条件包括：（1）A的特征值均为非负；（2）A的顺序主子式非负；（3）A可以通过正交变换化为标准形，且标准形中正惯性指数为k（k<n）。4.简述二次型半负定性的定义及其判定条件。答：二次型f(x)=x^TAx为半负定二次型，当且仅当对任意非零向量x，有x^TAx≤0。判定条件包括：（1）A的特征值均为非正；（2）A的顺序主子式交替出现正负；（3）A可以通过正交变换化为标准形，且标准形中负惯性指数为k（k<n）。五、应用题（总共4题，每题6分，总分24分）1.设二次型f(x)=x^TAx，其中A为3阶实对称矩阵，且A的特征值为λ₁=1,λ₂=2,λ₃=3。求f(x)的正惯性指数，并判断f(x)是否为正定二次型。解：（1）f(x)的正惯性指数为正特征值的个数，即3；（2）由于所有特征值均为正，因此f(x)为正定二次型。2.设二次型f(x)=x^TAx，其中A为3阶实对称矩阵，且A的顺序主子式为Δ₁=1,Δ₂=2,Δ₃=3。求f(x)是否为正定二次型。解：（1）由于A的顺序主子式全部为正，因此f(x)为正定二次型。3.设二次型f(x)=x^TAx，其中A为3阶实对称矩阵，且A的特征值为λ₁=1,λ₂=-2,λ₃=3。求f(x)的正负惯性指数，并判断f(x)是否为定二次型。解：（1）f(x)的正惯性指数为正特征值的个数，即2；（2）f(x)的负惯性指数为负特征值的个数，即1；（3）由于存在正负特征值，因此f(x)为不定二次型。4.设二次型f(x)=x^TAx，其中A为3阶实对称矩阵，且A的顺序主子式为Δ₁=1,Δ₂=-2,Δ₃=3。求f(x)是否为正定二次型。解：（1）由于Δ₂<0，因此f(x)不是正定二次型。【标准答案及解析】一、单选题1.C2.A3.D4.C5.C6.A7.C8.A9.C10.A解析：1.正惯性指数是指二次型标准形中正系数的个数，与正特征值的个数一致。2.标准形中正负惯性指数之和等于特征值的代数和。3.存在正负特征值，因此不确定是否为定二次型。4.斜对称矩阵的定义是A^T=-A。5.正定矩阵的定义是对任意非零向量x，有x^TAx>0。6.正定矩阵的所有特征值均为正。7.惯性矩阵是指特征值排序的矩阵。8.正定矩阵的主子式符号全部为正。9.正定矩阵的顺序主子式全部为正。10.正定矩阵的标准形中正惯性指数等于n。二、填空题1.等于n2.惯性矩阵3.全部为正4.正定矩阵5.等于n6.斜对称矩阵7.斜对称矩阵8.正定矩阵9.全部为正10.正定矩阵解析：1.正定矩阵的标准形中正惯性指数等于n。2.惯性矩阵是指特征值排序的矩阵。3.正定矩阵的主子式符号全部为正。4.正定矩阵的顺序主子式全部为正。5.正定矩阵的标准形中正惯性指数等于n。6.斜对称矩阵的定义是A^T=-A。7.斜对称矩阵的定义是A^T=-A。8.正定矩阵的定义是对任意非零向量x，有x^TAx>0。9.正定矩阵的主子式符号全部为正。10.正定矩阵的顺序主子式全部为正。三、判断题1.√2.×3.√4.√5.×6.√7.√8.√9.√10.√解析：1.正定矩阵的标准形中正惯性指数等于n。2.惯性矩阵是指特征值排序的矩阵，不是特征值排序的矩阵。3.正定矩阵的主子式符号全部为正。4.正定矩阵的顺序主子式全部为正。5.正定矩阵的标准形中正惯性指数等于n，不是小于n。6.斜对称矩阵的定义是A^T=-A。7.斜对称矩阵的定义是A^T=-A。8.正定矩阵的定义是对任意非零向量x，有x^TAx>0。9.正定矩阵的主子式符号全部为正。10.正定矩阵的顺序主子式全部为正。四、简答题1.答：二次型f(x)=x^TAx为正定二次型，当且仅当对任意非零向量x，有x^TAx>0。判定条件包括：（1）A的特征值均为正；（2）A的顺序主子式全部为正；（3）A可以通过正交变换化为标准形，且标准形中正惯性指数为n。2.答：二次型f(x)=x^TAx为负定二次型，当且仅当对任意非零向量x，有x^TAx<0。判定条件包括：（1）A的特征值均为负；（2）A的顺序主子式交替出现正负；（3）A可以通过正交变换化为标准形，且标准形中负惯性指数为n。3.答：二次型f(x)=x^TAx为半正定二次型，当且仅当对任意非零向量x，有x^TAx≥0。判定条件包括：（1）A的特征值均为非负；（2）A的顺序主子式非负；（3）A可以通过正交变换化为标准形，且标准形中正惯性指数为k（k<n）。4.答：二次型f(x)=x^TAx为半负定二次型，当且仅当对任意非零向量x，有x^TAx≤0。判定条件包括：（1）A的特征值均为非正；（2）A的顺序主子式交替出现正负；（3）A可以通过正交变换化为标准形，