《高等数学（第三版）》课件 0预备知识

高

等

数学一、

集合目录集合的概念Contents1集合的表示方法2集合之间的关系3

列举法描述法子集真子集集合的相等集合的概念1新课导入

问题提出：

“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为:许多的人或物聚在一起.在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的“集合”？新课导入考察下列问题：（1）1～20以内的所有质数；（2）绝对值小于3的整数；（3）新华中学2020年9月入学的所有高一学生；（4）方程

的所有实数根。思考1：上述每个问题都由若干个对象组成，请回答问题中每个集合中的研究对象分别是什么？新课讲解集合和元素的表示方法：一般用大写拉丁字母A、B、C…表示集合用小写字母a，b，c，d…表示元素

定义0.1

由某些指定的对象所组成的整体就叫作集合，简称集。组成集合的每个对象称为元素。新课讲解如何用数学语言叙述与表示元素与集合的关系？元素与集合间的关系集合A是由小于5的自然数组成的集合.

则有数：0

A-3

A.新课讲解

任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什么特征？

思考1：某班级所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？集合中的元素必须是确定的

思考2：在一个给定的集合中能否有相同的元素？由此说明什么？集合中的元素是不重复出现的

思考3：某班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没

有变化？由此说明什么？集合中的元素是没有顺序的新课讲解集合的确定性

确定性:给定集合，它的元素必须是确定的.也就是说，给定了一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.

所有由“大于1小于10的自然数”组成的集合.数5与-5，你能确定它们哪个在这个集合内吗？5-5新课讲解集合的互异性在自然数集中有没有两个元素是相同的？那么在正整数集，整数集，有理数集，实数集中呢？给定的集合中，元素是互异的、没有重复.新课讲解集合的无序性改变集合中元素的顺序，集合改变了吗？B={2，3，5，7}A={3，2，7，5}与是同一个集合给定的集合中，元素是没有顺序的.新课讲解常用的数集自然数组成的集合简称自然数集，记作N正整数组成的集合简称正整数集，记作N+整数组成的集合简称整数集，记作Z有理数组成的集合简称有理数集，记作Q实数组成的集合简称实数集，记作R0∈N比如0.168∈Q新课讲解[小试牛刀]1．思考辨析(1)接近于0的数可以组成集合．()(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．()(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．()[答案](1)×(2)√(3)×集合的表示方法2新课讲解

考察下列集合：（1）小于5的所有自然数组成的集合；（2）方程的所有实数根组成的集合.思考1：这两个集合分别有哪些元素？

（1）0，1，2，3，4；（2）-1，0，1思考2：由上述两组数组成的集合可分别怎样表示？

（1）{0，1，2，3，4}；（2）{-1，0，1}新课讲解把集合中的元素一一列举出来，元素中间用逗号隔开，写在花括号中用来表示集合的方法叫列举法.花括号不能缺失A={-1，0，1}B={2，3，5，7}a与{a}有什么区别？是一个元素是一个集合新课讲解有时我们无法将集合中的元素一一列举出来.例如，大于3小于10的实数组成的集合，我们用{x|3<x<10，x∈R}表示.把描述集合中元素的特征性质或表示集合中元素的规律写在花括号内用来表示集合的方法叫描述法.不等式x-32>0的解集用描述法可表示为A={x|x>32}方程x2+2x=0的解集用描述法可表示为B={x|x2+2x=0}在平面直角坐标系中第二象限的点构成的集合，用描

述法可表示为C={(x，y)|x<0且y>0}注意点的集合形式新课讲解例1用列举法表示下列集合：（1）由大于3小于10的整数组成的集合；（2）方程x2-9=0的解的集合.解:(1)｛４，５，６，７，８，９｝；

(2){－３，３｝.新课讲解例2用描述法表示下列集合：（1）小于10的所有有理数组成的集合.（2）所有偶数组成的集合.解（1）{x∈Q|x<10};(2){x|x=2n,n∈Z}

也可以表示成:集合间的关系3新课讲解

观察以下几组集合，并指出它们之间的关系：①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};

②A={四边形},B={多边形};新课讲解子集的定义

一般地,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说这两个集合有包含关系，称集合A叫作集合B的子集，记作AB（或BA）读作“A包含于B”(或“B包含A”)注：空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A，都有A.新课讲解真子集的定义

A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}；如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，那么集合A叫作集合B的真子集，记作AB或BA.读作“A真包含于B”或“B真包含A”新课讲解3集合的相等如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，并且集合B的每一个元素都是集合A的元素，那么就说集合A等于集合，记作

A=B若AB且BA,则A=B;反之,亦然.新课讲解练习:用恰当的符号填空①②③3__{2,3,5}④⑤⑥⑦新课讲解

例

写出{a,b}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集．新课讲解变式新课讲解一般地，集合A含有n个元素，则A的子集共有2n个，A的真子集共有2n－1个，A的非空真子集共有2n－2个.结论如集合A={2,3,5,7}的子集个数？真子集个数？非空真子集个数？新课讲解小结元素与其的关系集合特征互异性确定性无序性表示方法列举法描述法分类有限集无限集常用数集：N,N+,Z,Q,R高

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数学二、

集合的运算目录并集Contents1交集2补集3并集1知识探究

考察下列各个集合,你能说出集合C与集合A,B之间的关系吗?(1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6}(2)A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},C={x|x是实数}.

集合C就是由集合A和集合B的所有元素所组成的集合.新课讲解

定义0.6

一般地,由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与集合B的并集,记作A∪B,(读作“A并B”).即A∪B={x|x∈A,或x∈B}ABA∪B1.A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B.2.设集合A={x|x为等腰三角形},集合B={x|x为直角三角形},求A∪B.解A∪B={3,4,5,6,7,8}.解A∪B={x|x为等腰三角形或直角三角形}.小试牛刀并集的性质

BBAAA(B)B⫋A，则A∪B=AA⫋B，则A∪B=BA=B，则A∪B=A=B【性质①】A∪A=A任何集合与其本身的并集都等于自身交集2知识探究

考察下列各个集合,你能说出集合A,B与集合C之间的关系吗?A={6,8,10,12},B={3,6,9,12},C={6,12};(2)A={x|x是聊职院2022年9月在校的女同学},B={x|x是聊职院2022年9月入学的大一年级同学},C={x|x是聊职院2022年9月入学的大一年级女同学}.

发现：集合C就是由集合A中和集合B中的公共元素所组成的集合.新课导入ABA∩B

定义0.7

一般地,由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,叫作A与B的交集,记作A∩B(读作“A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.例题讲解例

设A={x|x是不大于10的正奇数}，B={x|x是12的正约数}.求解：

A={x|x是不大于10的正奇数}={1，3，5，7，9}，

B={x|x是12的正约数}={1，2，3，4，6，12}，交集，找公共元素并集，找所有元素交集的性质

ABBBAAA(B)

③B⫋A，则A∩B=B④A⫋B，则A∩B=A②A=B，则A∩B=A=B【性质①】A∩A=A任何集合与其本身的交集都等于自身

课堂训练

1.设A={x︱x2-16=0},则A∩B=____；A∪B=______.B={x︱x3+64=0}，2.设A={x︱-1≤x<2},B={x︱-1<x<3},求A∩B,A∪B．解:A∩B={x|-1<x<2};A∪B={x|-1≤x<3}.

注意边界补集3知识探究发现：集合C就是集合A中的元素除去集合B中的元素后余下来的元素所组成的集合.小结:像上面的集合A，含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.观察下列集合A，B，C之间的关系新课讲解

全集

在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示.全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素.注意：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，它含有与所研究问题有关的各个集合的全部元素.因此全集因问题而异.例如在研究数集时，常常把实数集看作全集.新课讲解可用Venn图表示为UA

定义0.8设U是全集,A是U的一个子集，则由U中所有不属于集合A的元素组成的集合,叫作U中子集A的补集（或余集），记作CUA，即

新课讲解性质

新课讲解1.设U={x|x是小于9的正整数}，A={1,2,3},B={3,4,5,6},求CUA，CUB解：据题意知U={1,2,3,4,5，6，7，8}，故CUA={4,5,6,7,8},CUB={1,2，7，8}2.设U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}.求A∩B,CU(A∪B).解：由题意知A∩B=，CU(A∪B)={x|x是直角三角形}.课堂小结1.理解两个集合交集与并集的概念和性质.2.求两个集合的交集与并集,常用数轴法和图示法．3.注意灵活、准确地运用性质解题.Thankyou!高

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数学三、

不等式目录不等式的基本性质Contents1一元二次不等式的解法2含绝对值不等式的解法3不等式的基本性质1知识探究在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等式表示不等用不等式表示。【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子【不等式】指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”

连接起来的式子新课讲解

例如，限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度不超过40km/h，写成不等式是什么呢？关键词“不超过”答：汽车的速度应不超过40km/h,不等式应为v≤40.数学中的不等关系

某品牌酸奶的质量规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式是什么？答：根据题意，上题写成不等式应为：p≥2.3%f≥2.5%实数大小的基本性质一.不等式的基本性质

对于任意两个实数a,b，有已知实数a,b,且a>b>0，试比较a2b和ab2的大小.思考：一.不等式的基本性质性质1(传递性)如果a>b,且b>c，那么a>c.性质2(加法法则)如果a>b,那么a+c>b+c.性质3(乘法法则)如果a>b,c>0,那么ac>bc;

如果a>b,c<0,那么ac<bc.性质3表明，不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的反向改变.性质2表明，不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向不变.一元二次不等式的解法2二.不等式的解法不等式的解集：在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数值的全体所组成的集合.区间

各个区间的含义及表示方法如下表所示：闭区间

开区间

左开右闭区间

左闭右开区间

在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程，一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以让我们更简便的解决问题：

对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，他们的联系又是怎样的呢？

一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法

没有实数根

R

∅∅一元二次不等式的解法

补集3探索：不等式|x|<1的解集。方法一：利用绝对值的几何意义观察方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号，需要分类讨论方法三：两边同时平方去掉绝对值符号方法四：利用函数图象观察这是解含绝对值不等式的四种常用思路Z.x.x.K小结：不等式|x|<a和|x|>a(a>0)的解集。①不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}②不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a}0-aa0-aa基础练习：解下列不等式：（1）|x|>5（2）2|x|<5（3）|2x|>5（4）|x-1|<5（5）|2x-1|<5（6）|2x2-x|<1（7）|2x-1|<1解下列不等式：巩固练习：课堂小结1.不等式的基本性质2.不等式解集的表示方法3.一元二次不等式的解法4.含绝对值不等式的解法Thankyou!高

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数学四、

指数与对数目录指数与对数Contents1指数与指数间的转换2对数与指数的运算性质3指数与对数1根式根式

分数指数幂实数指数幂整数指数幂的运算性质对于实数指数幂同样适用求下列各式的值.一般地，如果那么数x叫做以a为底N的对数,

其中叫做对数的底数，叫做对数的真数.对数记作：

读作：以

为底，的对数.

写作：

特殊对数常用对数：以10为底的对数，

记作自然对数：以e为底的对数，

记作

指数与指数间的转换2

1.性质（2）对数的重要公式：探究：对数的运算性质2.运算法则

将下列指（对）数式化成对（指）数式.对数与指数的运算性质3

运算法则

例

求下列各式的值：（1）（2）（2）解：(1)对于底数相同的对数式的化简,常用的方法是:(1)“收”:将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.(2)“拆”:将积(商)的对数拆成对数的和(差).【提升总结】课堂小结1.指数和对数的概念；2.指数和对数之间的互相转换；3.指数与对数的运算性质。Thankyou!高

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数学五、

数列目录数列Contents1等差数列2等比数列3数列1数列定义

数列的性质：有序性、无穷性

数列通项公式

观察：以上数列有什么共同特点？从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。等差数列2等差数列定义定义0.18

如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数d，则此数列称为等差数列，d称为公差.

特别说明：公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0.判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d,如果不是，说明理由。（1）1，3，5，7，…（2）9，6，3，0，-3…（3）-8，-6，-4，-2，0，…（4）3，3，3，3，…（6）15，12，10，8，6，…是是是是不是不是a1=1,d=2a1=9,d=-3a1=-8,d=2a1=3,d=0思考：在数列（1），a100=？我们该如何求解呢？

等差数列的通项公式（推导一：迭代法）

等差数列的通项公式（推导二：累加法）如果一个等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么我们可以根据等差数列的概念得到：an-a1=(n-1)d+a4-a3=da2-a1=da3-a2=dan-1-an-2=dan-an-1=d…………等差数列的通项公式：an=a1

+(n-1)da1、d、n、an共有四个量，知三求一例

在等差数列中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d。解：由题意可知这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得即这个等差数列的首项是-２，公差是３.例

在等差数列{an}中，，求an

解：由题意可知解得：等差中项定义0.19

如果在a与b中间插入一个数A，使a,A,b成等差数列，则称A为a与b的等差中项.

（公式一）（公式二）等差数列前n项和公式1、两个公式的相同的是a1和n,不同的是:公式一中有an,公式二中有d.若a1，d,n,an中已知三个量就可以求出Sn。2、a1，d,n,

an，Sn五个量可“知三求二”。

观察：以上数列有什么共同特点？从第2项起，每一项与前一项的比都分别等于同一个不为零的常数.等比数列3等比数列定义定义0.20如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个不为零的常数q，则此数列称为等比数列，q称为公比.数学语言：或

由定义归纳通项公式1.不完全归纳法a2=a1qa3=a2q=a