《神奇的默比乌斯带》教案（2课时）-2026-2027学年人教版（新教材）小学数学四年级上册

《神奇的默比乌斯带》教案（2课时）-2026-2027学年人教版（新教材）小学数学四年级上册一、学情分析四年级学生已经系统认识长方形、平行四边形、梯形等平面图形，具备观察、动手裁剪、粘贴、分组合作探究的课堂活动基础，对图形翻转、拼接、折叠类实践活动有浓厚兴趣。学生固化认知“一张纸条存在正面、反面两个面，四条独立的边”，难以想象单侧、单边的奇异曲面结构，空间想象能力存在局限；能够按照步骤完成手工操作，但缺少“先猜想、再动手验证、最后归纳规律”的标准化探究思维，难以自主梳理默比乌斯带裁剪后的图形变化逻辑。本课依托分层动手实验，打破学生固有图形认知，贴合四年级学生具象操作优先、由直观现象抽象数学特征的认知规律，分两课时完成基础特征探究与分层裁剪规律探究。二、教材分析《神奇的默比乌斯带》为人教版2026新版四年级上册第五单元《平行四边形和梯形》配套综合实践拓展课文，属于拓扑学启蒙趣味内容，安排在平面图形特征学习完成之后。教材文本编排遵循“对比观察—动手制作—实验验证—分层裁剪—生活应用”递进逻辑：第一部分对比普通纸环与默比乌斯带制作步骤，明确扭转180∘三、核心素养教学目标1.数学眼光（空间观念、几何直观）：读懂教材操作示意图、实验记录表格，能通过涂色、画线直观区分普通纸环与默比乌斯带的面、边数量差异；借助手工实物建立单侧曲面空间表象，看懂课文工业、艺术类默比乌斯带应用图示。2.数学思维（推理意识）：完整经历教材要求的“猜想—动手操作—验证现象—归纳结论”探究流程，能根据默比乌斯带结构预判裁剪后的图形形态，对比多组实验现象梳理统一变化规律，用逻辑语言解释奇异现象成因。3.数学语言（应用意识）：对照教材原文完整口述默比乌斯带制作步骤、核心特征、裁剪实验结论，规范使用“单侧曲面、双侧曲面、扭转180∘4.综合育人：通过趣味图形实验感受数学图形的奇妙魅力，了解数学家默比乌斯的探究故事，养成大胆猜想、严谨动手验证、完整记录实验的科学探究习惯，感知数学在工业、艺术、生活中的实用价值。四、教学重难点教学重点第1课时：掌握教材标准默比乌斯带制作方法，通过涂色、画线实验验证“只有一个面、一条边”的核心特征，区分普通双侧纸环与默比乌斯带结构差异；

第2课时：完成教材二等分、三等分线裁剪两组实验，记录图形变化规律，读懂课文生活应用案例，梳理两类纸环本质区别。教学难点建立单侧曲面空间想象，理解“扭转180∘五、教学过程（分2课时）第一课时：认识默比乌斯带，制作并验证单面带核心特征（一）情境导入，研读教材故事文本，制造认知冲突师：同学们翻开课本《神奇的默比乌斯带》课文开头，齐读教材记载的趣味小故事。

教材原文故事：古时候一位县官在纸条正面写“小偷应当放掉”，反面写“农民应当关押”，执行官巧妙改造纸条，不涂改文字就调换了判决结果，这个纸条改造的奥秘就是今天我们要探究的默比乌斯带。

师同步出示普通长方形纸条，面向全班提问：大家观察手中纸条，一张长方形纸条有几个面、几条边？

生：有正面、反面2个面，上下左右一共4条边。

师：我们把纸条首尾直接粘成圆环，这种普通圆环有几个面？请大家用彩笔只涂外侧，观察内侧能否被涂色。

学生动手简单涂色后反馈：普通圆环外侧涂满，内侧完全无法涂色，是两个独立的面。

师：课本介绍了一种特殊圆环，只需要扭转纸条半圈再粘接，就能做到一笔不间断涂满整个圆环，不分内外两面，这个神奇圆环就是默比乌斯带，本节课我们按照教材示意图学习制作，并验证它独有的图形特征。【设计意图】依托教材开篇故事创设悬念，结合普通纸环涂色操作唤醒学生原有图形认知，通过认知冲突引出本节课探究对象，明确课时学习任务。（二）依托教材操作示意图，分步学习默比乌斯带标准制作方法师：课文左侧配有完整制作步骤示意图，我们对照图片分步拆解教材规范操作流程，同步板书关键步骤。

教材原文标准制作步骤：

1.取一条平整长方形长纸条，标记纸条左右两端；

2.捏住纸条右端，向内扭转180∘（半圈翻转，让纸条反面与正面首尾相接）；

3.教师黑板复刻教材示意图，分步同步示范操作，逐层师生问答拆解关键点：

师提问1：制作普通圆环需要扭转纸条吗？

生：不需要，直接对齐两端粘贴即可。

师提问2：制作默比乌斯带，纸条必须扭转多少度？少扭转、多扭转会出现什么结果？

生：必须扭转180∘，扭转90∘、360∘都无法形成课文里的特殊单面带。

师巡视全班学生制作过程，针对扭转角度不足、粘贴错位、纸条褶皱等问题对照教材示意图逐一纠错，选取两名学生上台口述完整制作流程，全班同步核对操作要点。

【设计意图】完全贴合教材图文操作标准，分步拆解核心扭转步骤，通过问答强化关键操作要求，保证学生手工制作符合课文实验规范，为后续验证特征打好实物基础。（三）教材实验一：画线验证默比乌斯带“一个面”特征师：课文第一个探究实验要求我们用彩笔在默比乌斯带中间不间断画线，不翻过纸条边缘，观察线条能否铺满整个纸带，课本配套空白记录表格供我们填写实验现象。教师出示教材实验表格模板：纸环类型操作要求实验现象面的数量结论普通圆环沿外侧不间断画线线条只停留在外侧，无法到达内侧2个面（双侧曲面）默比乌斯带沿中间不间断画线，不翻越边缘线条自动铺满纸带全部区域，无内外区分1个面（单侧曲面）师分步引导学生开展实验，同步互动提问：

师：大家从默比乌斯带任意一点开始画线，全程笔尖不离开纸带、不翻过边缘，线条最后会回到起点吗？

学生动手操作后集体作答：线条绕完整圈后回到起点，纸带正反全部画上线条。

师追问：普通圆环做相同画线操作，线条能到达内侧吗？和默比乌斯带现象有什么不同？

生：普通圆环线条只能停留在起始一面，永远无法穿过纸带到达另一面。

教师结合课文文字总结：默比乌斯带经过扭转粘接，正面与反面连成完整的单一曲面，数学上称为单侧曲面，只有一个连续的面，不存在独立内、外侧。全班齐读教材对应结论文字，在表格中完整填写实验结论。【设计意图】严格按照教材第一个探究实验开展操作，借助对比表格直观记录两类纸环差异，通过动手画线直观突破“一个面”核心特征难点，发展几何直观。（四）教材实验二：沿边缘触摸，验证默比乌斯带“一条边”特征师：课文第二个配套实验，要求我们用手指沿着纸环边缘完整触摸一圈，数一数普通圆环、默比乌斯带分别有几条独立的边。

师示范触摸方法，同步提问引导观察：

师：先用手指摸普通圆环边缘，完整走完一圈后，能回到起始触摸点吗？需要分几次触摸完所有边缘？

生：普通圆环有两条分开的边缘，摸完外侧一圈，还要单独摸内侧一圈。

师：再触摸默比乌斯带边缘，不间断触摸一圈，能否一次性走完所有边缘回到起点？

学生分组触摸、交流后汇报：默比乌斯带只有一条连续的边，手指不间断走一圈就能覆盖全部边缘，没有第二条独立边线。

教师板书教材标准特征结论：默比乌斯带仅有1个面、1条边；普通圆环有2个面、2条边。组织同桌互相拿着作品，口述两类纸环面与边的数量区别，巩固课文核心知识点。【设计意图】依托教材触摸实验，通过触觉感知辅助空间认知，完善默比乌斯带两大基础特征验证，形成完整实验探究闭环。（五）第一课时过渡小结师：本节课我们对照教材示意图掌握了默比乌斯带标准制作方法，通过画线、触摸两组课本实验，验证得出它只有一个面、一条边的核心特征，区分了单侧曲面默比乌斯带与双侧普通纸环的结构差异。下一节课我们完成课文两组裁剪探究实验，沿二等分、三等分线剪开默比乌斯带，观察图形变化规律，同时学习课文中默比乌斯带的生活应用实例。第二课时：默比乌斯带等分裁剪实验，梳理规律与生活应用（一）复习导入，回顾教材第一课时核心内容师：对照课本前一页制作、实验内容，口头回答两道复习问题：第一，制作默比乌斯带纸条需要扭转多少度？第二，默比乌斯带面和边的数量分别是多少？

生完整作答：扭转180∘，1个面、1条边。

【设计意图】快速复盘第一课时教材核心操作与特征，衔接本节课裁剪探究实验，保持课文学习连贯性。（二）教材实验三：沿默比乌斯带二等分中线裁剪，记录实验现象师：课文第三组探究实验给出明确操作要求：先用尺子在默比乌斯带正中间画出一条完整等分中线，再沿着中线缓慢剪开，提前猜想剪开后的图形形态，再动手验证，填写课文实验记录表格。

教师板书猜想互动问题：大家预判，沿中线剪开默比乌斯带，会得到两个分开的小圆环吗？

学生自由发言，多数猜想会分成两个独立纸环。

学生使用安全剪刀沿中线完整剪开作品，完成后小组内展示剪开图形，全班统一汇报实验现象。

师结合课文文字梳理现象，同步填写汇总表格：沿二等分中线剪开，不会分成两个小环，而是得到一个更大的闭合圆环。

师追加提问，引导学生结合上节课特征推理原因：为什么剪开后没有断裂成两个环？

生：默比乌斯带本身是单一连续曲面，中线将完整曲面分成相连的双层结构，剪开后依旧连成整体大环。

教师指导学生用彩笔给新得到的大环画线，验证新大环不再是默比乌斯带，拥有两个独立的面，和课文结论保持一致。【设计意图】遵循教材“先猜想、后验证”探究流程，利用猜想与实验结果的反差强化记忆，结合第一课时单侧曲面特征解释现象，锻炼推理意识。（三）教材实验四：沿默比乌斯带三等分线裁剪，对比变化规律师：课文第四组拓展裁剪实验，操作要求：在默比乌斯带上画出两条三等分平行线，将纸带平均分成三份，沿着线条剪开，观察最终形成的图形组合。

师组织学生再次提前猜想：沿三等分线剪开，会出现几个圆环？形态和二等分剪开有什么区别？

学生完成画线、裁剪操作后，小组上台展示作品，全班统一梳理实验现象：沿三等分线剪开，会形成一大一小两个互相扣合、无法分开的连环，其中较大的圆环是普通双侧纸环，细小的圆环依旧保留默比乌斯带单侧曲面特征。教师整合教材两组裁剪实验，汇总对比表格，对照课文完整记录两类裁剪结果：裁剪方式（课文实验）剪开后图形形态曲面类型沿二等分中线剪开1个放大的普通双侧大环双面圆环，非默比乌斯带沿三等分线剪开一大一小相互套扣的连环大环双面、小环单侧默比乌斯带师引导学生同桌对照表格完整口述两组裁剪实验的操作、猜想、最终现象，梳理统一变化规律：默比乌斯带沿不同等分线剪开，不会直接断裂成独立小环，会形成连环或整体大环，剪开后的图形曲面特征发生改变。【设计意图】依托教材分层裁剪实验形成对比认知，通过表格结构化梳理变化规律，让学生完整经历多层推理、对比归纳的数学探究过程。（四）研读课文拓展板块：默比乌斯带的发现历史与生活应用师：课文后半部分拓展阅读板块包含数学家故事与生活应用图文，我们分段研读，结合图片理解默比乌斯带的实用价值。1.数学家历史文本讲解齐读教材原文：1858年德国数学家默比乌斯偶然发现这种特殊纸带，后人以他的名字命名默比乌斯带；它属于拓扑几何研究内容，打破传统平面图形双面认知。

师提问：课文介绍默比乌斯带属于什么数学分支？

生：拓扑学，专门研究图形翻转、拉伸、粘接后不变的结构特征。2.课文生活、工业应用图文解析教师出示教材配套应用示意图，逐图讲解课文案例：

案例1：工厂传送带做成默比乌斯带形态，传送带两面都能均匀磨损，延长使用寿命；

案例2：打印机色带采用默比乌斯带结构，墨粉均匀消耗，避免单面快速磨损；

案例3：科技馆三叶扭结雕塑、艺术设计纹样，均由默比乌斯带演变设计而来。

师同步互动提问：普通双面传送带和默比乌斯带传送带相比，存在什么缺点？结合课文文字回答。

生：普通传送带只有一面接触滚轮，单面磨损严重，使用寿命短，默比乌斯带可以双面循环使用。

学生结合生活经验补充同类案例，完整读懂课文全部拓展阅读内容，打通数学实验与现实生活的联系。【设计意图】落实课文拓展文本学习，融合数学史、跨学科生活应用内容，丰富学生数学视野，强化应用意识。（五）整合两课时教材全部内容，构建完整知识框架师：两课时完整完成《神奇的默比乌斯带》课文所有操作、实验、拓展内容，我们汇总课文全部核心知识点，形成统一梳理清单：

1.制作规范：长方形纸条扭转180∘后两端粘接，得到默比乌斯带；直接粘接无扭转是普通双侧圆环。

2.基础特征：默比乌斯带为单侧曲面，1个面、1条边；普通圆环2个面、2条边。

3.裁剪实验规律：沿二等分中线剪开得到单个大环；沿三等分线剪开得到相互扣合的一大一小连环。

4.拓展知识师带领学生完整通读整篇课文，对照清单回顾每一段图文对应的实验与结论，同桌互相抽查默比乌斯带制作、特征、裁剪规律三类核心知识点，理清课文由制作到验证、再到拓展应用的编排逻辑。【设计意图】结构化整合两课时教材全部内容，梳理课文编排递进逻辑，形成完整单元拓展实践知识体系，完成课文学习闭环。六、全文总结两课时完整研读人教版四年级上册《平行四边形和梯形》单元综合实践课文《神奇的默比乌斯带》，严格依托教材操作示意图、四组探究实验、拓展阅读文本完成分层动手探究，整体学习收获分为三层：第一，熟练掌握课文标准默比乌斯带制作流程，通过画线、触摸两组基础实验牢固掌握”1个面、1条边”的单侧曲面核心特征，能清晰区分默比乌斯带与普通双侧纸环的结构差异，突破传统双面图形固有认知；第二，完整完成教材二等分、三等分两组裁剪探究实验，严格遵循“猜想—动手操作—验证现象