1.1一元二次方程(原卷版+解析)

1.1一元二次方程教材知识总结教材知识总结一元二次方程的有关概念

1．一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．【点拨】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.

2．一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

【点拨】(1)只有当时，方程才是一元二次方程；

(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.看例题，涨知识看例题，涨知识【例题1】下列方程是一元二次方程的是（

）A．x（x+3）=0 B．﹣4y=0 C．2x=5 D．a+bx+c=0【例题2】若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（

）．A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【例题3】已知方程，有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（

）．A．ab B． C． D．课后习题巩固一下课后习题巩固一下一、单选题1．若a是的一个根，则的值是（

）A．5 B．6 C．7 D．82．一元二次方程的常数项是（

）A．－1 B．1 C．－6 D．63．下列方程是关于的一元二次方程的是（

）A． B． C． D．4．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．5．一元二次方程的二次项系数是（

）A．1 B．3 C． D．46．是下列哪个方程的解（

）A． B． C． D．二、填空题7．若关于x的一元二次方程有一个根为1，则k的值为____________．8．已知a2＋4a﹣1＝0，则的值是__________．9．请写出一个符合以下所有条件的一元二次方程：（1）二次项的系数为负数；（2）一个实数根为的整数部分，另一个实数根为－4，则这个一元二次方程可以是______．（任意写一个符合条件的即可）．10．若m是方程的一个根，则代数式的值等于______．三、解答题11．把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．(1)（2x﹣1）（3x＋2）＝x2＋2；(2)．12．已知a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，求的值．13．已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，问：（1）k为何值时，此方程是一元一次方程？（2）k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．1.1一元二次方程教材知识总结教材知识总结一元二次方程的有关概念

1．一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．【点拨】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.

2．一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

【点拨】(1)只有当时，方程才是一元二次方程；

(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.看例题，涨知识看例题，涨知识【例题1】下列方程是一元二次方程的是（

）A．x（x+3）=0 B．﹣4y=0 C．2x=5 D．a+bx+c=0【答案】A【分析】根据含有一个未知数且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程去判定即可．【解析】∵x（x+3）=0，∴＋3x=0，∴A是一元二次方程；∵﹣4y=0中，含有两个未知数，∴B不是一元二次方程；∵2x=5是一元一次方程，∴C不是一元二次方程；∵a+bx+c=0中，没有说明a≠0，∴D不是一元二次方程；故选A．【例题2】若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（

）．A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】A【分析】对一元二次方程变形，设t＝x＋2得到，利用的一个根是可得t＝2022，从而求出x即可．【解析】解：对于一元二次方程即，设t＝x＋2，则可得，而关于x的一元二次方程的一个根是，所以有一个根为t＝2022，所以x＋2＝2022，解得x＝2020，所以一元二次方程必有一根为x＝2020，故选：A．【例题3】已知方程，有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（

）．A．ab B． C． D．【答案】C【分析】根据方程根的定义，代入化简计算即可．【解析】∵方程，有一个根是，∴，∴，∵，∴，∴，故选：C．课后习题巩固一下课后习题巩固一下一、单选题1．若a是的一个根，则的值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】直接把a的值代入得出a2-2a=7，再整体代入即可得出答案．【解析】解：∵a是方程x2−2x−7=0的一个根，∴a2-2a-7=0，即a2-2a=7，∴a2-2a+1=7+1=8．故选：D．2．一元二次方程的常数项是（

）A．－1 B．1 C．－6 D．6【答案】A【分析】化成一元二次方程的一般形式，就可以解决本题．【解析】解：原方程可化为：．是二次项，系数为2；-6x是一次项，-6是一次项系数；-1是常数项．故选：A．3．下列方程是关于的一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解析】是一元二次方程，故A正确,符合题意；是分式方程，故B错误，不符合题意；是二元一次方程，故C错误，不符合题意；是一元一次方程，故D错误，不符合题意；故选：A．4．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义，方程二次项系数不等于零，求解即可．【解析】解：由题意，得m-3≠0，∴m≠3，故选：A．5．一元二次方程的二次项系数是（

）A．1 B．3 C． D．4【答案】A【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再得出答案即可．【解析】解∶∵，∴，∴一元二次方程的二次项系数是1．故选∶A．6．是下列哪个方程的解（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把x＝1代入各选项进行验算即可得解．【解析】解：A、5−1＝4≠6，故本选项错误；B、，，4≠6，故本选项错误；C、当x=1时，x-1=0即分式的分母为0，故本选项错误；D、，故本选项正确．故选：D．二、填空题7．若关于x的一元二次方程有一个根为1，则k的值为____________．【答案】-2【分析】把x=1代入方程得到，然后解关于k的方程即可．【解析】把x=1代入方程得到，解得k=-2．故答案为：-2．8．已知a2＋4a﹣1＝0，则的值是__________．【答案】18【分析】原方程是整式方程，求的是分式的值，故将整式方程的两边除以a变出分式，再把原分式配方可得．【解析】解：∵a＝0不是方程的解，∴两边都除以a得，移项，得，＝（﹣4）2+2＝16+2＝18．故答案为：18．9．请写出一个符合以下所有条件的一元二次方程：（1）二次项的系数为负数；（2）一个实数根为的整数部分，另一个实数根为－4，则这个一元二次方程可以是______．（任意写一个符合条件的即可）．【答案】(答案不唯一，满足要求即可）【分析】先确定出的整数部分，再利用因式分解的方法写出符合条件的一元二次方程即可．【解析】∵＜＜，∴3＜＜4，∴2＜-1＜3，∴的整数部分为2，即方程的一个根为2，∵方程的另一个根为-4，且二次项系数为负数，∴方程可以写为，答案不唯一，故答案为：，（答案不唯一）．10．若m是方程的一个根，则代数式的值等于______．【答案】2022【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将代入原方程即可求的值．【解析】解：把代入方程，可得：，即．故答案为：2022．三、解答题11．把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．(1)（2x﹣1）（3x＋2）＝x2＋2；(2)．【答案】(1)5x2+x﹣4＝0，二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4(2)2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1【分析】根据多项式的乘法化简，再化为一元二次方程的一般形式，进而求得二次项系数、一次项系数以及常数项．【解析】(1)化简后为5x2+x﹣4＝0，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4；(2)化简后为2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1．12．已知a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，求的值．【答案】【分析】根据a为方程的解，将x＝a代入方程求出a2﹣a的值，代入原式计算即可得到结果．【解析】解：由题意将x＝a代入方程得：a2﹣a﹣1＝0，即a2﹣a＝1，则原式＝＝．13．已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，问：（1）k为何值时，此方程是一元一次方程？（2）k为何值时，此方